黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為。若射線與曲線和曲線分別交于兩點(diǎn)（除極點(diǎn)外），則等于（）A． B． C．1 D．2．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．3．已知曲線，給出下列命題：①曲線關(guān)于軸對稱；②曲線關(guān)于軸對稱；③曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；④曲線關(guān)于直線對稱；⑤曲線關(guān)于直線對稱，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．5．下列四個(gè)不等式：①；②；③；④，其中恒成立的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．46．如果函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B． C．或 D．或8．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-9．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，則A∩CA．{4,5} B．{3,4,5} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}11．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則12．我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有（）A．300種 B．150種 C．120種 D．90種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè),則等于_________.14．若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______.15．中，，則邊上中線的長為_____．16．的展開式中的系數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（I）當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值，井求此時(shí)直線的方程.18．（12分）已知函數(shù).[來源:]（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程是．（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積．20．（12分）在國家積極推動(dòng)美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的政策背景下，各地根據(jù)當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)資源打造了眾多特色紛呈的鄉(xiāng)村旅游勝地.某人意圖將自己位于鄉(xiāng)村旅游勝地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季隨機(jī)選取100天，對當(dāng)?shù)匾延械牧g不同價(jià)位的民宿進(jìn)行跟蹤，統(tǒng)計(jì)其出租率（），設(shè)民宿租金為（單位：元/日），得到如圖所示的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖.（1）若用“出租率”近似估計(jì)旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金為388元的那間民宿在淡季內(nèi)的三天中至少有2天閑置的概率.（2）①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪個(gè)更適合于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？根據(jù)判斷結(jié)果求回歸方程；②若該地一年中旅游淡季約為280天，在此期間無論民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，則每天需要再付出的日常支出成本.試用①中模型進(jìn)行分析，旅游淡季民宿租金約定為多少元時(shí)，該民宿在這280天的收益達(dá)到最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；.參考數(shù)據(jù)：記，，，，，，，，，.21．（12分）一輛汽車前往目的地需要經(jīng)過個(gè)有紅綠燈的路口.汽車在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過），遇到紅燈的概率為（必須停車）.假設(shè)汽車只有遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值.（1）求汽車在第個(gè)路口首次停車的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的共軛復(fù)數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

把分別代入和，求得的極經(jīng)，進(jìn)而求得，得到答案．【題目詳解】由題意，把代入，可得，把代入，可得，結(jié)合圖象，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡單的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合法的解題思想方法，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.3、C【解題分析】

根據(jù)定義或取特殊值對曲線的對稱性進(jìn)行驗(yàn)證，可得出題中正確命題的個(gè)數(shù).【題目詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于軸對稱，命題①正確；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于軸對稱，命題②正確；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，命題③正確；在曲線上取點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，則曲線不關(guān)于直線對稱，命題④錯(cuò)誤；在曲線上取點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，則曲線不關(guān)于直線對稱，命題⑤錯(cuò)誤.綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線對稱性的判定，一般利用對稱性的定義以及特殊值法進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.4、B【解題分析】如圖所示軸與函數(shù)圍成的面積為,因此故選B.5、C【解題分析】

依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，得到答案.【題目詳解】①，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確②，時(shí)不成立，錯(cuò)誤③，時(shí)等號(hào)成立.正確④，時(shí)等號(hào)成立，正確故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式性質(zhì)，絕對值不等式，均值不等式，綜合性較強(qiáng)，是不等式的?？碱}型.6、A【解題分析】

由零點(diǎn)存在性定理得出“若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”舉反例即可得出正確答案.【題目詳解】由零點(diǎn)存在性定理可知，若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)而若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則不一定成立，比如在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分而不必要條件故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.7、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，注意討論的正負(fù)．【題目詳解】的終邊上一點(diǎn)，則，，所以.故應(yīng)選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義，解題時(shí)要注意分類討論，即按參數(shù)的正負(fù)分類．8、C【解題分析】分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin(π4+α)詳解：因?yàn)閏os(則0<π4+α<則sin[(故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及兩角差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，其中熟記三角恒等變換的公式是化簡求值的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.9、D【解題分析】

試題分析：，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.10、C【解題分析】

通過補(bǔ)集的概念與交集運(yùn)算即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得CUB=x|x<3，故【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的運(yùn)算，難度很小.11、C【解題分析】

通過作圖的方法，可以逐一排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【題目詳解】如圖，相交，故A錯(cuò)誤如圖，相交，故B錯(cuò)誤D.如圖，相交，故D錯(cuò)誤故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線和平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，先選后排.①先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，2，2，注意去除重復(fù)部分；②后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據(jù)題意：分兩步計(jì)算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2；①分成1，1，3三組的方法有②分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點(diǎn)睛：對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設(shè)，則，則．應(yīng)填答案。14、【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義，先得到，化簡整理，得到，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，即，整理得，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)奇偶性求參數(shù)的問題，熟記偶函數(shù)的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達(dá)式，代入上式可以直接求出的長．【題目詳解】由余弦定理可知：,設(shè)，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應(yīng)用中點(diǎn)三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．16、243【解題分析】分析：先得到二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，然后根據(jù)組合的方式可得到所求項(xiàng)的系數(shù)．詳解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，∴展開式中的系數(shù)為.點(diǎn)睛：對于非二項(xiàng)式的問題，解題時(shí)可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問題處理，對于無法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問題，可根據(jù)組合的方式“湊”出所求的項(xiàng)或其系數(shù)，此時(shí)要注意考慮問題的全面性，防止漏掉部分情況．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）2；（Ⅱ），或.【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)，，由拋物線的定義得出，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用弦長公式并結(jié)合條件，得出，再利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值，求出此時(shí)和的值，可得出直線的方程．【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)，，所以，所以；（Ⅱ）設(shè)直線，由，得，所以，.所以.所以，所以，所以，此時(shí)，，所以或.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的弦長的最值問題，解決這類問題的常用辦法就是將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解，難點(diǎn)在于化簡計(jì)算，屬于中等題．18、【解題分析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)絕對值的幾何意義按，，分類討論得到：，然后分區(qū)間解不等式或或，得到的范圍分別為或或，所以；（2）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)：，，則由，轉(zhuǎn)化為，所以或，則或。試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以。故；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，所以。故。綜上可知。（2）∵，由題意有，∴，即?？键c(diǎn)：1.不等式的解法；2.不等式的性質(zhì)。19、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的普通方程為；（2）.【解題分析】

（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；根據(jù)直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到普通方程；（2）先由題意，先設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程化為，代入，根據(jù)參數(shù)下的弦長公式求出，再由點(diǎn)到直線距離公式，求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可求出三角形的面積.【題目詳解】（1）由得，即，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；由消去可得：，即直線的普通方程為；（2）因?yàn)橹本€與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，由可化為，代入得，，則有，，因此，又點(diǎn)到直線的距離為，因此的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及參數(shù)下的弦長問題，屬于?？碱}型.20、（1）（2）①更適合，②181元【解題分析】

（1）三天中至少有2天閑置的即為3天中有兩天閑置或者3天都閑置，又每天的出租率為0.2，根據(jù)二項(xiàng)分布的相關(guān)知識(shí)即可求出概率；（2）①根據(jù)散點(diǎn)圖的分布情況，各散點(diǎn)連線更貼近的圖象，故的擬合效果更好，代入公式求出回歸方程即可；②將收益表示為租金的函數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性處理即可．【題目詳解】（1）三天中至少有2天閑置的反面為3天中最多有一天能夠租出，又每天的出租率為0.2，所以3天中至少有2天閑置的概率：.（2）①根據(jù)散點(diǎn)圖的分布情況，各散點(diǎn)連線更貼近的圖象，故的擬合效果更好，依題意，，，所以，所以，所以回歸方程為.②設(shè)旅游淡季民宿租金為，則淡季該民宿的出租率，所以該民宿在這280天的收益：，所以，令得，，所以，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，存在最大值，所以旅游淡季民宿租金約定為181元時(shí)，該民宿在這280天的收益達(dá)到最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程，二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算公式，考查分析求解及轉(zhuǎn)化能力，屬于中等題.21、（1）;（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解題分析】

（1）汽車在第3個(gè)路口首次停車是指汽車在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出汽車在第3個(gè)路口首次停車的概率．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1）由題意知汽車在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，汽車在第3個(gè)路口首次停車的概率為：．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地