北京市101中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

北京市101中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙、丙三人到三個不同的景點(diǎn)旅游，每人只去一個景點(diǎn)，設(shè)事件為“三個人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“甲獨(dú)自去一個景點(diǎn)，乙、丙去剩下的景點(diǎn)”，則等于（）A． B． C． D．2．定義1分的地球球心角所對的地球大圓弧長為1海里．在北緯45°圈上有甲、乙兩地，甲地位于東經(jīng)120°，乙位于西經(jīng)150°，則甲乙兩地在球面上的最短距離為（）A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里3．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．將4名學(xué)生分配到5間宿舍中的任意2間住宿，每間宿舍2人，則不同的分配方法有（）A．240種 B．120種 C．90種 D．60種5．甲乙丙丁四名學(xué)生報名參加四項(xiàng)體育比賽，每人只報一項(xiàng)，記事件“四名同學(xué)所報比賽各不相同”，事件“甲同學(xué)單獨(dú)報一項(xiàng)比賽”，則()A． B． C． D．6．“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)(大前提)，而是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤在于A．大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯 B．小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯C．推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯 D．大前提和小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯7．若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是（）A． B． C． D．8．關(guān)于x的不等式的解集中，恰有3個整數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．（4,5）9．已知集合，則A． B．C． D．R10．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．11．拋物線和直線所圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．12．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積,求其直徑的一個近似公式,人們還用過一些類似的近似公式,根據(jù)判斷,下列近似公式中最精確的一個是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某籃球運(yùn)動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個球的概率為________(用數(shù)值作答).14．給出定義：對于三次函數(shù)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.已知函數(shù).設(shè).若則__________．15．某單位在名男職工和名女職工中，選取人參加一項(xiàng)活動，要求男女職工都有，則不同的選取方法總數(shù)為______.16．甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市；乙說：我沒去過城市.丙說：我們?nèi)齻€去過同一城市.由此可判斷乙去過的城市為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的直角坐標(biāo)方程為.求圓的極坐標(biāo)方程；設(shè)圓與圓：交于兩點(diǎn)，求.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．20．（12分）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時，求證：．(2)若函數(shù)在為增函數(shù)，求的取值范圍.21．（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的值.22．（10分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

這是求甲獨(dú)自去一個景點(diǎn)的前提下，三個人去的景點(diǎn)不同的概率，求出相應(yīng)的基本事件的個數(shù)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】甲獨(dú)自去一個景點(diǎn)，則有3個景點(diǎn)可選，乙、丙只能在剩下的兩個景點(diǎn)選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，對應(yīng)的基本事件有種；另外，三個人去不同景點(diǎn)對應(yīng)的基本事件有種，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率，確定相應(yīng)的基本事件個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案?！绢}目詳解】地球表面上從甲地（北緯45°東經(jīng)120°）到乙地（北緯45°西經(jīng)150°），乙兩地對應(yīng)的AB的緯圓半徑是,經(jīng)度差緯90°，所以AB=R,球心角為60°，最短距離為【題目點(diǎn)撥】求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案。3、D【解題分析】

連結(jié)，可證明是平行四邊形，則，故的余弦值即為異面直線和所成角的余弦值，利用余弦定理可得結(jié)果.【題目詳解】連結(jié)，由題得，故是平行四邊形，，則的余弦值即為所求，由，可得，，故有，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線的夾角的余弦值和余弦定理，常見的方法是平移直線，讓兩條直線在同一平面中，再求夾角的余弦值.4、D【解題分析】

根據(jù)分步計數(shù)原理分兩步：先安排宿舍，再分配學(xué)生，繼而得到結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意可以分兩步完成：第一步：選宿舍有10種；第二步：分配學(xué)生有6種；根據(jù)分步計數(shù)原理有：10×6＝60種．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合及計數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用，考查了分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

求出，根據(jù)條件概率公式即可得解.【題目詳解】由題：，.故選：D【題目點(diǎn)撥】此題考查求條件概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出AB的概率和B的概率，根據(jù)條件概率公式計算求解.6、A【解題分析】試題分析：大前提：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)錯誤，只有在時才是增函數(shù)考點(diǎn)：推理三段論7、D【解題分析】分析：根據(jù)賦值框中對累加變量和循環(huán)變量的賦值，先判斷后執(zhí)行，假設(shè)滿足條件，依次執(zhí)行循環(huán)，到累加變量S的值為35時，再執(zhí)行一次k=k+1，此時判斷框中的條件不滿足，由此可以得到判斷框中的條件．詳解：框圖首先給累加變量S賦值1，給循環(huán)變量k賦值1．判斷1＞6，執(zhí)行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判斷9＞6，執(zhí)行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判斷8＞6，執(zhí)行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判斷7＞6，執(zhí)行S=28+7=35，k=6；判斷6≤6，輸出S的值為35，算法結(jié)束．所以判斷框中的條件是k＞6？．故答案為:D.點(diǎn)睛：本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時，算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

不等式等價轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，由此根據(jù)解集中恰有3個整數(shù)解，能求出的取值范圍?！绢}目詳解】關(guān)于的不等式，不等式可變形為，當(dāng)時，得，此時解集中的整數(shù)為2，3，4，則；當(dāng)時，得，，此時解集中的整數(shù)為-2，-1，0，則故a的取值范圍是，選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題難點(diǎn)在于分類討論解含參的二次不等式，由于二次不等式對應(yīng)的二次方程的根大小不確定，所以要對和1的大小進(jìn)行分類討論。其次在觀察的范圍的時候要注意范圍的端點(diǎn)能否取到，防止選擇錯誤的B選項(xiàng)。9、D【解題分析】

先解出集合與，再利用集合的并集運(yùn)算得出.【題目詳解】，，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的并集運(yùn)算，在計算無限數(shù)集時，可利用數(shù)軸來強(qiáng)化理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

利用函數(shù)的周期求出的值，利用逆向變換將函數(shù)的圖象向左平行個單位長度，得出函數(shù)的圖象，根據(jù)平移規(guī)律得出的值.【題目詳解】由于函數(shù)的周期為，，則，利用逆向變換，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以，因此，，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)周期的計算，同時也考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，本題利用逆向變換求函數(shù)解析式，可簡化計算，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.11、C【解題分析】

先計算拋物線和直線的交點(diǎn)，再用定積分計算面積.【題目詳解】所圍成的封閉圖形的面積是：故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生應(yīng)用能力和計算能力.12、B【解題分析】

利用球體的體積公式得，得出的表達(dá)式，再將的近似值代入可得出的最精確的表達(dá)式.【題目詳解】由球體的體積公式得，，，，，，與最為接近，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查球體的體積公式，解題的關(guān)鍵在于理解題中定義，考查分析問題和理解問題的能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

直接運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次，有次發(fā)生的事件的概率公式進(jìn)行求解.【題目詳解】投球10次，恰好投進(jìn)3個球的概率為,故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次，有次發(fā)生的事件的概率公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、-4037【解題分析】

由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù),令二階導(dǎo)數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進(jìn)而可求的解析式,求導(dǎo),當(dāng)代入導(dǎo)函數(shù)解得,計算求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,,兩式相加得,則.所以當(dāng)時,解得:,所以則.故答案為:-4037.【題目點(diǎn)撥】本題考查對新定義的理解,考查二階導(dǎo)數(shù)的求法,仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.15、.【解題分析】

在沒有任何限制的條件下，減去全是女職工的選法種數(shù)可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，全是女職工的選法種數(shù)為，因此，男女職工都有的選法種數(shù)為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合問題，利用間接法求解能簡化分類討論，考查計算能力，屬于中等題.16、A【解題分析】試題分析：由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過A城市或B城市，但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市，則乙只能是去過A，B中的任一個，再由丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市，則由此可判斷乙去過的城市為A考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)切線的斜率可求出,得，求導(dǎo)后解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間.（2）原不等式可化為恒成立，令，求導(dǎo)后可得函數(shù)的最小值，即可求解.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，又曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行所以，即，由且，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知不等式恒成立可化為恒成立即恒成立令當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以時，函數(shù)有最小值由恒成立得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值，恒成立問題，屬于中檔題.18、；4.【解題分析】

（1）直接通過即可得到答案；（2）可先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出兩圓交點(diǎn)，于是可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，可得圓的極坐標(biāo)方程為：即；圓的直角坐標(biāo)方程為：，聯(lián)立，兩式相減，可得，即代入第一條式子，可解得或，于是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化，圓的交點(diǎn)計算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度中等.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或或【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程互化原則、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可直接求得結(jié)果；（Ⅱ）為直線上一點(diǎn)，以為定點(diǎn)可寫出直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式，將直線參數(shù)方程代入曲線的普通方程進(jìn)行整理，從而利用參數(shù)的幾何意義可構(gòu)造方程，從而得到關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）由得：即曲線的普通方程為：由，得：直線的直角坐標(biāo)方程為：，即（Ⅱ）直線的參數(shù)方程可以寫為：（為參數(shù)）設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程可得：即：，解得：或或【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將距離之和轉(zhuǎn)變?yōu)轫f達(dá)定理的形式，從而可構(gòu)造出關(guān)于所求變量的方程，屬于?？碱}型.20、（1）見證明；（2）【解題分析】

(1)時，設(shè),對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值進(jìn)而得證；（2）原函數(shù)單調(diào)遞增，即恒成立，變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【題目詳解】（1）時，設(shè)．則，在單調(diào)遞增．即.(2)恒成立，即對恒成立．∵時，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）∴【題目點(diǎn)撥】這個題目考查了不等式證明問題以及恒成立求參的問題，不等式的證明，常見的方法是，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；恒成立求參，常采用的方法是變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解題分析】

(1)求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性即可.(2)由題可知在區(qū)間上恒成立可得,即可得再結(jié)合即可.【題目詳解】解：（1）由,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,則,因?yàn)?所以,又,所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題,同時也考查了利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)范圍的問題,需要利用恒成立問題求最值,屬于基礎(chǔ)題.22、（1）；（2）.【解