2024屆山西省大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

2024屆山西省大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx的圖象與直線y＝2x+m相切，則實數(shù)m的值為（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e2．設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（μ，σ2），函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點(diǎn)的概率是0.5，則μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能確定3．某次考試共有12個選擇題，每個選擇題的分值為5分，每個選擇題四個選項且只有一個選項是正確的，學(xué)生對12個選擇題中每個題的四個選擇項都沒有把握，最后選擇題的得分為分，學(xué)生對12個選擇題中每個題的四個選項都能判斷其中有一個選項是錯誤的，對其它三個選項都沒有把握，選擇題的得分為分，則的值為()A． B． C． D．4．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個數(shù)x,則≥的概率是（）A． B． C． D．6．如圖所示是一個幾何體的三視圖，則其表面積為（）A． B．C． D．7．已知雙曲線的離心率為，則m=A．4 B．2 C． D．18．已知6個高爾夫球中有2個不合格，每次任取1個，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為（）A． B． C． D．9．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交曲線左支于A，B兩點(diǎn)，△F2AB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線的離心率為e，則e2＝（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（）A． B． C． D．11．已知，是雙曲線的上、下兩個焦點(diǎn)，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）附：隨機(jī)變量，則有如下數(shù)據(jù)：，，.A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，平行軸的直線與圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），與交于點(diǎn)，則周長的取值范圍是____________14．高一、高二、高三三個年級共有學(xué)生1500人，其中高一共有學(xué)生600人，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取30人作為樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為_______．15．已知X的分布列為X－101Pa設(shè)，則E(Y)的值為________16．設(shè)圓錐的高是，母線長是，用過圓錐的頂點(diǎn)的平面去截圓錐，則截面積的最大值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；(2)全體站成一排，女生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生互不相鄰．18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點(diǎn).（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)，在曲線上，求的值.19．（12分）在的展開式中，求：(1)第3項的二項式系數(shù)及系數(shù)；(2)含的項．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求：（1）圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）圓C的極坐標(biāo)方程．21．（12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示，已知這100位顧客中一次購物量超過7件的顧客占.一次購物量1至3件4至7件8至11件12至15件16件及以上顧客數(shù)（人）272010結(jié)算時間（/人）0.511.522.5（1）確定，的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；（2）從收集的結(jié)算時間不超過的顧客中，按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的結(jié)算時間為的概率.（注：將頻率視為概率）22．（10分）已知點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在橢圓E上，且；（1）當(dāng)時，求的面積；（2）當(dāng)時，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為（s，t），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得s，t，進(jìn)而求得m．【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為（s，t），f（x）＝xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1+lnx，可得切線的斜率為1+lns＝2，解得s＝e，則t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查直線方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】試題分析：由題中條件：“函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點(diǎn)”可得ξ＞4，結(jié)合正態(tài)分布的圖象的對稱性可得μ值．解：函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點(diǎn)，即二次方程x2+4x+ξ=0無實根得ξ＞4，∵函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點(diǎn)的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正態(tài)曲線的對稱性知μ=4，故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．3、A【解題分析】

依題意可知同學(xué)正確數(shù)量滿足二項分布，同學(xué)正確數(shù)量滿足二項分布，利用二項分布的方差計算公式分別求得兩者的方差，相減得出正確結(jié)論.【題目詳解】設(shè)學(xué)生答對題的個數(shù)為，則得分（分），，，所以，同理設(shè)學(xué)生答對題的個數(shù)為，可知,，所以，所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項分布的識別，考查方差的計算，考查閱讀理解能力，考查數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用.已知隨機(jī)變量分布列的方差為，則分布列的方差為.4、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，代入-x檢驗即可判斷是奇函數(shù)或偶函數(shù)；根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像即可判斷函數(shù)是否為增函數(shù)．【題目詳解】A．在定義域上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)；B．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；C．在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；D．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

先解不等式，確定解集的范圍，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型計算概率.【題目詳解】因為，所以，解得，所以.【題目點(diǎn)撥】幾何概型中長度模型（區(qū)間長度）的概率計算：.6、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可得對應(yīng)的三棱錐，逐個計算其側(cè)面積和底面積可得其表面積.【題目詳解】將三視圖復(fù)原后得到的幾何體即為如圖所示的三棱錐，其中是棱長為4的正方體的頂點(diǎn)，為正方體的底面中心，注意到所以，，，因此該三棱錐的表面積等于.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖，要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，注意復(fù)原前后點(diǎn)、線、面的關(guān)系．7、B【解題分析】

根據(jù)離心率公式計算．【題目詳解】由題意，∴，解得．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由方程確定．8、B【解題分析】

記事件第一次取到的是合格高爾夫球，事件第二次取到不合格高爾夫球，由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，然后即可求出答案.【題目詳解】記事件第一次取到的是合格高爾夫球事件第二次取到不合格高爾夫球由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)所以故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查的是條件概率，較簡單.9、D【解題分析】

設(shè)，根據(jù)是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，以及雙曲線的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求得的關(guān)系式，即可求解.【題目詳解】由題意，設(shè)，如圖所示，因為是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．.10、D【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令，求得的值.【題目詳解】依題意，令得，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12、B【解題分析】

先將、用、表示，然后利用題中的概率求出的值.【題目詳解】由題意可知，，則，，，因此，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，解題時要將相應(yīng)的數(shù)用和加以表示，并利用正態(tài)曲線的對稱性列式求解，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

過點(diǎn)作垂直與拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義得，從而得出的周長為，考查直線與圓相切和過圓心，得出、、不共線時的范圍，進(jìn)而得出周長的取值范圍?！绢}目詳解】如下圖所示：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義得，圓的圓心為點(diǎn)，半徑長為，則的周長，當(dāng)直線與圓相切時，則點(diǎn)、重合，此時，；當(dāng)直線過點(diǎn)時，則點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，則。由于、、不能共線，則，所以，，即，因此，的周長的取值范圍是，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，考查三角形周長的取值范圍，在處理直線與拋物線的綜合問題時，若問題中出現(xiàn)焦點(diǎn)，一般要將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離利用定義轉(zhuǎn)化，利用共線求最值，有時也要注意利用臨界位置得出取值范圍，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題。14、12【解題分析】

由題得高一學(xué)生數(shù)為，計算即得解.【題目詳解】由題得高一學(xué)生數(shù)為.故答案為：12【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解題分析】

先利用頻率之和為求出的值，利用分布列求出，然后利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得出可得出答案．【題目詳解】由隨機(jī)分布列的性質(zhì)可得，得，，因此，.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)分布列的性質(zhì)、以及數(shù)學(xué)期望的計算與性質(zhì)，靈活利用這些性質(zhì)和相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、1【解題分析】

求出圓錐的底面半徑，假設(shè)截面與圓錐底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最大值．【題目詳解】解：∵圓錐的高是，母線長是，

∴底面半徑，設(shè)過圓錐頂點(diǎn)的平面SCD與圓錐底面交于CD，過底面中心O作OA⊥CD于E，

設(shè)，則，，∴截面SCD的面積，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3600（2）576（3）1440【解題分析】分析：（1）根據(jù)特殊元素“優(yōu)先法”，由分步計數(shù)原理計算可得答案；(2)根據(jù)“捆綁法”將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列即可；(3）利用“插空法”，先將4名女生全排列5個空位中任選3個空位排男生，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案.詳解：(1)甲為特殊元素．先排甲，有5種方法，其余6人有A種方法，故共有5×A＝3600種方法．(2)(捆綁法)將女生看成一個整體，與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有A種方法，再將4名女生進(jìn)行全排列，有A種方法，故共有A×A＝576種方法．(3)(插空法)男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A種方法，故共有A×A＝1440種方法．點(diǎn)睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).18、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將，代入，得再利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)得.由題意可設(shè)圓的方程，將點(diǎn)代入可得，即得的方程為，（2）先將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：，再將點(diǎn)，代入解得，最后計算的值．試題解析：解：（Ⅰ）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入，得即∴曲線的方程為（為參數(shù)），或.設(shè)圓的半徑為，由題意，圓的方程，（或）．將點(diǎn)代入，得，即，所以曲線的方程為或．（Ⅱ）因為點(diǎn)，在曲線上，所以，，所以．19、（1）第3項的系數(shù)為24＝240.（2）含x2的項為第2項，且T2＝－192x2.【解題分析】試題分析：(1)根據(jù)二項展開式的通項，即可求解第項的二項式系數(shù)及系數(shù)；（2）由二項展開式的痛項，可得當(dāng)時，即可得到含的系數(shù).試題解析：(1)第3項的二項式系數(shù)為C＝15，又T3＝C(2)42＝24·Cx，所以第3項的系數(shù)為24C＝240.(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的項為第2項，且T2＝－192x2.20、（1）．（2）．【解題分析】試題分析：利用消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程，再利用公式可把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.試題解析：（1）圓的直角坐標(biāo)方程為．5分（2）把代入上述方程，得圓的極坐標(biāo)方程為．10分考點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化，普通方程與極坐標(biāo)方程的互化.21、（1），，；（2）【解題分析】

（1）由條件可得，從而可求出，的值，再計算顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值

（2）結(jié)算時間不超過的顧客有45人，則按分層抽樣抽取5人，從結(jié)算時間為的人中抽取2人，從結(jié)算時間為的人中抽取3人，列舉出基本事件數(shù)，再列舉出至少有1人結(jié)算時間為所包含基本事件數(shù)，用古典概率可求解.【題目詳解】解：（1）由已知得，∴，，∴.該超市所有顧客一次購物的