山東省蓬萊第二中學2024屆數學高二第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

山東省蓬萊第二中學2024屆數學高二第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數為奇函數的是（）A． B． C． D．2．若雙曲線的一條漸近線經過點，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．3．設是曲線上的一個動點，記此曲線在點點處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．4．已知為等腰三角形，滿足，，若為底上的動點，則A．有最大值 B．是定值 C．有最小值 D．是定值5．已知為虛數單位，則復數的虛部是A． B．1 C． D．6．設函數在上可導，其導函數為，且函數在處取得極大值，則函數的圖象可能是A． B．C． D．7．已知，且，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．8．若曲線在處的切線，也是的切線，則（）A． B．1 C．2 D．9．從1、2、3、4、5、6中任取兩個數，事件：取到兩數之和為偶數，事件：取到兩數均為偶數，則（）A． B． C． D．10．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．11．中國古代數學名著《九章算術?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個長方體沿不在同一表面上的相對兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．12．對任意實數，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當m=___________時，點B橫坐標的絕對值最大．14．若x,y滿足約束條件x+y-3≥0x-2y≤0，則函數z=x+2y的最小值為__________15．用反證法證明命題“如果，那么”時，假設的內容應為_____．16．設函數，則滿足的的取值范是____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列滿足，，.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.18．（12分）已知函數.（1）討論函數在上的單調性；（2）當時，若時，求證：.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數的最大值為.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.20．（12分）已知定點及直線,動點到直線的距離為,若.(1)求動點的軌跡C方程；(2)設是上位于軸上方的兩點,坐標為,且,的延長線與軸交于點,求直線的方程.21．（12分）若，求證：．22．（10分）已知曲線的參數方程為（為參數）.以軸正半軸為極軸，以坐標原點為極點建立極坐標系，點的極坐標為，過點的直線與曲線相交于，兩點.（1）若直線的斜率，求直線的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：由題意得，令，則，所以函數為奇函數，故選A．考點：函數奇偶性的判定．2、D【解題分析】因為雙曲線的一條漸近線經過點（3，-4），故選D.考點：雙曲線的簡單性質【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質，在解決有關雙曲線問題時，需結合漸近線從數形結合上找突破口.與漸近線有關的結論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設為；（2）若漸近線方程為，則可設為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小．另外解決不等式恒成立問題關鍵是等價轉化，其實質是確定極端或極限位置.3、B【解題分析】分析：求出原函數的導函數，利用基本不等式求出導函數的值域，結合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當且僅當時上式“=”成立．，即曲線在點點處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點睛：本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題．4、D【解題分析】

設是等腰三角形的高.將轉化為，將轉化為，代入數量積公式后，化簡后可得出正確選項.【題目詳解】設是等腰三角形的高，長度為.故.所以選D.【題目點撥】本小題主要考查向量的線性運算，考查向量的數量積運算，還考查了化歸與轉化的數學思想方法.屬于基礎題.5、A【解題分析】試題分析：根據題意，由于為虛數單位，則復數，因此可知其虛部為-1，故答案為A.考點：復數的運算點評：主要是考查了復數的除法運算，屬于基礎題。6、D【解題分析】

因為-2為極值點且為極大值點，故在-2的左側附近>0，-2的右側<0,所以當x>-2且在-2的右側附近時，排除BC，當x<-2且在-2的左側附近時，，排除AC，故選D7、C【解題分析】

分析：由推導出，從而，由此能求出向量在向量方向上的投影.詳解：，且，，，向量在向量方向上的投影為，故選C.點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數量積公式，屬于中檔題.平面向量數量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.8、C【解題分析】

求出的導數，得切線的斜率，可得切線方程，再設與曲線相切的切點為（m，n），得的導數，由導數的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得m，n，進而得到b的值．【題目詳解】函數的導數為y＝ex，曲線在x＝0處的切線斜率為k＝=1，則曲線在x＝0處的切線方程為y﹣1＝x；函數的導數為y＝，設切點為（m，n），則＝1，解得m＝1，n＝1，即有1＝ln1+b，解得b＝1．故選A．【題目點撥】本題主要考查導數的幾何意義，求切線方程，屬于基礎題．9、D【解題分析】

根據條件概率公式可得解.【題目詳解】事件分為兩種情況：兩個均為奇數和兩個數均為偶數，所以，，由條件概率可得：，故選D.【題目點撥】本題考查條件概率，屬于基礎題.10、A【解題分析】

根據判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進而求得正三棱錐的體積.【題目詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質，考查向量加法運算，考查幾何體外接球有關問題的求解，屬于中檔題.11、B【解題分析】

首先根據題意得到“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【題目詳解】由題知：“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，如圖所示：設外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【題目點撥】本題主要考查三棱柱的外接球，同時考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.12、B【解題分析】考點：絕對值不等式；函數恒成立問題．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，問題轉化為求f（x）的最小值．解：（1）設f（x）=|x+2|-|x-1|，則有f（x）=，當x≤-2時，f（x）有最小值-1；當-2≤x≤1時，f（x）有最小值-1；當x≥1時，f（x）=1．綜上f（x）有最小值-1，所以，a＜-1．故答案為B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】分析:先根據條件得到A,B坐標間的關系，代入橢圓方程解得B的縱坐標，即得B的橫坐標關于m的函數關系，最后根據二次函數性質確定最值取法.詳解：設，由得因為A,B在橢圓上,所以，與對應相減得，當且僅當時取最大值.點睛：解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經常出現，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數關系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數，然后借助于函數最值的探求來使問題得以解決.14、5.【解題分析】分析：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合圖象，得到目標函數經過點B時，目標函數取得最小值，即可求解．詳解：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數z=x+2y，則y=-1由圖象可知當取可行域內點B時，目標函數取得最小值，由x+y-3=0x-2y=0，解得B(1,2)此時函數的最小值為z=1+2×2=5．點睛：本題主要考查簡單線性規(guī)劃．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數賦予幾何意義；求目標函數的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數的意義．常見的目標函數有：（1）截距型：形如z=ax+by.求這類目標函數的最值常將函數z=ax+by轉化為直線的斜截式：y=-abx+zb，通過求直線的截距zb的最值間接求出z的最值；（2）15、或【解題分析】假設的內容應是否定結論，由否定后為.16、.【解題分析】分析：畫出函數的圖象，利用函數的單調性列出不等式轉化求解即可.詳解：函數的圖象如圖：滿足，可得或，解得.故答案為：.點睛：本題考查分段函數的應用，函數的單調性以及不等式的解法，考查計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由數列恒等式，結合等比數列的求和公式，可得所求；（2）求得，運用數列的分組求和和錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，可得所求和．【題目詳解】（1），當時，而，符合上式，所以數列的通項公式為（2），設，，相減可得，化簡可得，可求和得：【題目點撥】本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的分組求和和裂項相消求和，考查化簡運算能力，屬于中檔題．18、（1）當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）對求導后討論的范圍來判斷單調性；（2）構造函數，借助得到，設，使得，設，根據該函數性質即可證明【題目詳解】（1）由題意可知，，，（i）當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；（ii）當時，令，得，①當，即時，在上恒成立，所以函數在上單調遞減；②當，即時，在上，，函數在上單調遞增；在上，，函數在上單調遞減.綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.（2）證明：令，由題意可得，不妨設.所以，于是.令，，則，，.令，則，在上單調遞增，因為，所以，且，所以，即.【題目點撥】本題考察（1）用分類討論的方法判斷函數單調性；（2）多變量不等式要先化為單變量不等式，利用綜合法證明猜想19、（1）2（2）2【解題分析】

試題分析：（1）根據絕對值定義，將函數化為分段函數形式，分別求各段最大值，最后取各段最大值的最大者為的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.試題解析：（1）由于當時，，當時，，當時，所以.（2）由已知,有，因為(當時取等號)，(當時取等號)，所以，即，故的最大值為2.20、（1）（2）【解題分析】

（1）直接把條件用坐標表示，并化簡即可；（2）設，由可得的關系，的關系，再結合在曲線上，可解得，從而能求得的方程．【題目詳解】（1）設，則由，知又，∴由題意知：∴∴∴點的軌跡方程為（2）設，∵∴為中點，∵∴∴又，∴又，∴∵，∴，∴∴直線方程為【題目點撥】本題考查橢圓的軌跡方程，直線與橢圓的位置關系，求軌跡方程用的是直接法，另外還有定義法、相關點法、參數法、交軌法等．21、見解析【解題分析】

引入函數，展開，其中，，是整數，，注意說明的唯一性，這樣有，，然后計算即可.【題目詳解】證明：因為，所以，由題意，首先證明對于固定的，滿足條件的是唯一的．假設，則，而，矛盾。所以滿足條件的是唯一的．下面我們求及的值：因為，顯然．又因為，故，即．所以令，，則，，又，所以．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，解題關鍵是引入函數，展開，其中，，是整數，，于是