河南省名校2024屆高二數(shù)學第二學期期末經典試題含解析

河南省名校2024屆高二數(shù)學第二學期期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)，則（）A． B． C． D．2．過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與軸的交點坐標為，則該雙曲線的標準方程可能為（）A． B． C． D．3．已知集合，，則A． B． C． D．4．給出下列四個命題：①若，則；②若，且，則；③若復數(shù)滿足，則；④若，則在復平面內對應的點位于第一象限.其中正確的命題個數(shù)為（）A． B． C． D．5．觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81256．用反證法證明命題“若，則”時，正確的反設為（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥07．已知橢圓方程為x24+y225=1，將此橢圓繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為V1，滿足y≥-5A．V2=C．V2=54V8．若函數(shù)滿足：對任意的，都有，則函數(shù)可能是A． B． C． D．9．設M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點，且曲線C在點M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-10．下列關于積分的結論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正11．已知集合，，下列結論成立的是A． B． C． D．12．已知函數(shù)，下面結論錯誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)的圖像關于直線對稱 D．函數(shù)是奇函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的兩個焦點為，若為其右支上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為．14．若一個圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側面積是底面積的_________倍；15．已知地球的半徑約為6371千米，上海的位置約為東經、北緯，開羅的位置約為東經、北緯，兩個城市之間的距離為______．（結果精確到1千米）16．設函數(shù)，.若，且的最小值為-1，則實數(shù)的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式;(2)解關于的不等式．18．（12分）（學年上海市楊浦區(qū)高三數(shù)學一模）如圖所示，用總長為定值的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開.（1）設場地面積為，垂直于墻的邊長為，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定這個函數(shù)的定義域；（2）怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？19．（12分）羽毛球比賽中采用每球得分制，即每回合中勝方得1分，負方得0分，每回合由上回合的勝方發(fā)球．設在甲、乙的比賽中，每回合發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各回合發(fā)球的勝負結果相互獨立．若在一局比賽中，甲先發(fā)球．（1）求比賽進行3個回合后，甲與乙的比分為的概率；（2）表示3個回合后乙的得分，求的分布列與數(shù)學期望．20．（12分）選修4-5：不等式選講.（1）當時，求函數(shù)的最大值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域．當?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個入口P（點P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點分別是B，P．當新建的兩條公路總長最小時，投資費用最低．設∠POA＝，公路MB，MN的總長為．（1）求關于的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）當為何值時，投資費用最低？并求出的最小值．22．（10分）中國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，作為國家戰(zhàn)略性空間基礎設施，我國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)不僅對國防安全意義重大，而且在民用領域的精準化應用也越來越廣泛.據(jù)統(tǒng)計，2016年衛(wèi)星導航與位置服務產業(yè)總產值達到2118億元，較2015年約增長.下面是40個城市北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)與位置服務產業(yè)的產值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求產值小于500萬元的城市個數(shù)；（2）在上述抽取的40個城市中任取2個，設為產值不超過500萬元的城市個數(shù)，求的分布列及期望和方差.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由題意結合復數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解：由復數(shù)的運算法則可得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、A【解題分析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關系，結合選項求解即可【題目詳解】直線的方程為，令，得.因為，所以，只有選項滿足條件.故選：A【題目點撥】本題考查直線與雙曲線的位置關系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.3、C【解題分析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點睛：集合題也是每年高考的必考內容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.4、B【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的乘方運算，結合特殊值即可判斷①；由復數(shù)性質，不能比較大小可判斷②；根據(jù)復數(shù)的除法運算及模的求法，可判斷③；由復數(shù)的乘法運算及復數(shù)的幾何意義可判斷④.【題目詳解】對于①，若，則錯誤，如當時，所以①錯誤；對于②，虛數(shù)不能比較大小，所以②錯誤；對于③，復數(shù)滿足，即，所以，即③正確；對于④，若，則，所以，在復平面內對應點的坐標為，所以④正確；綜上可知，正確的為③④，故選：B.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的幾何意義與運算的綜合應用，屬于基礎題.5、C【解題分析】

根據(jù)，分析次數(shù)與末四位數(shù)字的關系，歸納其變化規(guī)律求解.【題目詳解】因為，觀察可知的末四位數(shù)字3125，的末四位數(shù)字5625，的末四位數(shù)字8125，的末四位數(shù)字0625，又，則的末四位數(shù)字為0625.故選：C【題目點撥】本題主要考查數(shù)列中的歸納推理，還考查了理解辨析推理的能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】

根據(jù)反證法的要求，反設時條件不變，結論設為相反，從而得到答案.【題目詳解】命題“若，則”，要用反證法證明，則其反設需滿足條件不變，結論設為相反，所以正確的反設為，故選C項.【題目點撥】本題考查利用反證法證明時，反設應如何寫，屬于簡單題.7、C【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，分別求出橢圓繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為V1與滿足y≥-50≤x≤2y≤52【題目詳解】在同一平面直角坐標系中畫出橢圓與旋轉體如圖，橢圓繞y軸旋轉一周所得的旋轉體為橢球，其體積為V1滿足y≥-50≤x≤2y≤5其體積V2=π×2故選：C．【題目點撥】本題主要考查了旋轉體的體積及學生的計算能力，屬于中檔題．8、A【解題分析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【題目詳解】對于，，對．對于，，不對．對于，，不對．對于，，不對，故選A．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的解析式的性質以及指數(shù)的運算、對數(shù)的運算、兩角和的正弦公式，意在考查對基本運算與基本公式的掌握與應用，以及綜合應用所學知識解答問題的能，屬于基礎題．9、D【解題分析】

求出導函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉化為斜率的范圍，斜率就是導數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點處的導數(shù)就是其圖象在該點處的切線的斜率．解題時要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關系，特別是正切函數(shù)的性質．10、D【解題分析】

結合定積分知識，對選項逐個分析可選出答案.【題目詳解】對于選項A，因為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對于選項B，因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對于選項C，因為在區(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對于選項D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項D不正確.故選D.【題目點撥】本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質，屬于基礎題.11、D【解題分析】由已知得，，則，故選D.12、D【解題分析】試題分析：,所以函數(shù)的最小正周期為,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),函數(shù)的圖像關于直線對稱,函數(shù)是偶函數(shù).考點：1.三角函數(shù)的周期性；2.三角函數(shù)的奇偶性；3.圖像得對稱軸；4.函數(shù)的單調性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設P點的橫坐標為x，根據(jù)|PF1|=2|PF2|，P在雙曲線右支（x≥a），利用雙曲線的第二定義，可得x關于e的表達式，進而根據(jù)x的范圍確定e的范圍．【題目詳解】∵,P在雙曲線右支(x?a)根據(jù)雙曲線的第二定義,可得，∴ex=3a∵x?a，∴ex?ea∴3a?ea，∴e?3∵e>1，∴1<e?3故答案為：.【題目點撥】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．14、1；【解題分析】

分別計算側面積和底面積后再比較．【題目詳解】由題意，，，∴．故答案為1．【題目點撥】本題考查圓錐的側面積，掌握側面積計算公式是解題關鍵．屬于基礎題．15、千米【解題分析】

設上海為點,開羅為點.求兩個城市之間的距離,即求兩城市在地球上的球面距離.由題意可知上海和開羅都在北緯的位置,即在同一緯度的圓上,計算出此圓的半徑,即可求.在三角形由余弦定理可求得,結合扇形弧長公式,即可求得兩個城市之間的距離.【題目詳解】設上海為點,開羅為點,地球半徑為根據(jù)緯度定義,設北緯所在圓的半徑為,可得:上海的位置約為東經,開羅的位置約為東經,故在北緯所在圓上的圓心角為:.在中得中,根據(jù)余弦定理可得:根據(jù)扇形弧長公式可得:劣弧故答案為:千米.【題目點撥】本題由經度,緯度求球面上兩點距離,根據(jù)題意畫出空間圖形,理解經度和緯度的定義是解本題關鍵,考查空間想象能力,屬于基礎題.16、2【解題分析】分析：先表示函數(shù)，再利用導數(shù)求函數(shù)最小值，最后根據(jù)的最小值為-1得實數(shù)的值.詳解：因為，設，則所以因為，所以當時，；當時，；即當時，.點睛：兩函數(shù)關系問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式或方程，從而求出參數(shù)的取值范圍或值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）令，得，求出的范圍，得出的范圍，再將代入題中函數(shù)解析式即可得出函數(shù)的解析式與定義域；（2）將所求不等式轉化為，然后解出該不等式組即可得出答案．【題目詳解】（1）令，則，，由題意知，即，則．所以，故．（2）由，得．由，得，因為，所以，由，得，即，，解得或.又，，所以或.故不等式的解集為.【題目點撥】本題第（1）問考查函數(shù)解析式的求解，對于簡單復合函數(shù)解析式的求解，常用換元法，但要注意新元的取值范圍作為定義域，第（2）問考查對數(shù)不等式的解法，一般要轉化為同底數(shù)對數(shù)來處理，借助對數(shù)函數(shù)的單調性求解，同時也要注意真數(shù)大于零這個隱含條件．18、（1），；（2）時，.【解題分析】（1）設平行于墻的邊長為，則籬笆總長，即，∴場地面積，.（2），，∴當且僅當時，.綜上，當場地垂直于墻的邊長為時，最大面積為.19、（1）0.1（2）見解析【解題分析】

（1）記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨立，設“2個回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，由互斥事件概率加法公式和相互獨立事件乘法公式求出比賽進行2個回合后，甲與乙的比分為2比1的概率；（2）的可能取值為0，1，2，2，分別求出相應的概率，由此求出的分布列和數(shù)學期望.【題目詳解】解：記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨立．（1）記“2個回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，則事件發(fā)生表示事件或或發(fā)生，且，，互斥．又，，．由互斥事件概率加法公式可得．答：2個回合后，甲與乙比分為2比1的概率為0.1．（2）因表示2個回合后乙的得分，則0，1，2，2．，，．．所以，隨機變量的概率分布列為01220.2160.10.2040.144故隨機變量的數(shù)學期望為=．答：的數(shù)學期望為1.276．【題目點撥】本題考查概率的求法、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.20、（1）4（2）【解題分析】分析：（1）利用絕對值三角不等式求函數(shù)的最大值.(2)先求，再解不等式即得實數(shù)的取值范圍.詳解：（1）當時，，由，故，所以，當時，取得最大值，且為.（2）對任意恒成立，即為，即即有，即為或，所以的取值范圍是.點睛：（1）本題主要考查絕對值三角不等式和不等式的恒成立，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)重要絕對值不等式：,使用這個不等式可以求絕對值函數(shù)的最值，先要確定是使用左邊還是右邊，如果兩個絕對值中間是“-”號，就用左邊，如果兩個絕對值中間是“+”號，就使用右邊.再確定中間的“±”號，不管是“+”還是“-”，總之要使中間是常數(shù).21