2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)番禺中學高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)番禺中學高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點P的極坐標是，則過點P且平行極軸的直線方程是A． B． C． D．2．若函數(shù)沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C． D．3．如圖，某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．4．高三畢業(yè)時，甲，乙，丙等五位同學站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（）A． B． C． D．5．已知圓,在圓中任取一點,則點的橫坐標小于的概率為（）A． B． C． D．以上都不對6．已知樣本數(shù)據(jù)點集合為，樣本中心點為，且其回歸直線方程為，則當時，的估計值為（）A． B． C． D．7．口袋中裝有5個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任意取出3個小球，以表示取出球的最大號碼，則()A． B． C． D．8．已知集合，則等于()A． B． C． D．9．已知點M的極坐標為，下列所給出的四個坐標中能表示點M的坐標是()A． B． C． D．10．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．11．設，則二項式展開式的所有項系數(shù)和為（）A．1 B．32 C．243 D．102412．二項式展開式中，的系數(shù)是（

）A． B． C．

D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在上隨機地取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為__________．14．下表為生產(chǎn)產(chǎn)品過程中產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)耗能（噸）的幾組相對應數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得到關于的線性回歸方程為，則__________．15．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件.再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.給出下列結論：①P（B）25；②P（B|A1）511；③事件B與事件A1相互獨立；④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1,A2,A3中究竟哪一個發(fā)生有關；其中正確的有（）②④①③②④⑤②③④⑤16．某種飲料每箱裝6聽，若其中有2聽不合格，質(zhì)檢員從中隨機抽出2聽，則含有不合格品的概率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，為實數(shù).（1）若，求；（2）若，求實數(shù)，的值.18．（12分）已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），，求一個以為根的實系數(shù)一元二次方程．19．（12分）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.20．（12分）甲、乙、丙3人均以游戲的方式?jīng)Q定是否參加學校音樂社團、美術社團，游戲規(guī)則為：①先將一個圓8等分（如圖），再將8個等分點，分別標注在8個相同的小球上，并將這8個小球放入一個不透明的盒子里，每個人從盒內(nèi)隨機摸出兩個小球、然后用摸出的兩個小球上標注的分點與圓心構造三角形.若能構成直角三角形，則兩個社團都參加；若能構成銳角三角形，則只參加美術社團；若能構成鈍角三角形，則只參加音樂社團；若不能構成三角形，則兩個社團都不參加.②前一個同學摸出兩個小球記錄下結果后，把兩個小球都放回盒內(nèi)，下一位同學再從盒中隨機摸取兩個小球．（1）求甲能參加音樂社團的概率；（2）記甲、乙、丙3人能參加音樂社團的人數(shù)為隨機變量，求的分布列、數(shù)學期望和方差21．（12分）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在是減函數(shù).22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，求證：在上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個正零點、，求的取值范圍，并證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：把點的極坐標化為直角坐標，求出過點且平行極軸的直線直角坐標方程，再把它化為極坐標方程．詳解：把點的極坐標化為直角坐標為故過點且平行極軸的直線方程是，

化為極坐標方程為，

故選D．點睛：本題主要考查把點的極坐標化為直角坐標，把直角坐標方程化為即坐標方程的方法，屬于基礎題．2、A【解題分析】

由已知函數(shù)解析式可得導函數(shù)解析式，根據(jù)導函數(shù)不變號，函數(shù)不存在極值點，對討論，可得答案．【題目詳解】∵，∴，①當時，則，在上為增函數(shù)，滿足條件；②當時，則，即當時，恒成立，在上為增函數(shù)，滿足條件綜上，函數(shù)不存在極值點的充要條件是：．故選：A．【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，本題是一道基礎題．3、C【解題分析】

根據(jù)三視圖知幾何體為上下底面為等腰直角三角形，高為的三棱臺，計算體積得到答案.【題目詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體為上下底面為等腰直角三角形，高為的三棱臺，故.故選：.【題目點撥】本題考查了三視圖求體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.4、B【解題分析】

記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算出和，再利用條件概率公式可計算出所求事件的概率．【題目詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學形成四個元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學形成三個元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，解這類問題時，要弄清各事件事件的關系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算相應事件的概率，并靈活利用條件概率公式計算出所求事件的概率，考查計算能力，屬于中等題．5、C【解題分析】分析：畫出滿足條件的圖像，計算圖形中圓內(nèi)橫坐標小于的面積，除以圓的面積。詳解：由圖可知，點的橫坐標小于的概率為，故選C點睛：幾何概型計算面積比值。6、D【解題分析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點，可得，然后代值計算，可得結果.【題目詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當當時，故選：D【題目點撥】本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點，屬基礎題.7、A【解題分析】

首先計算各個情況概率,利用數(shù)學期望公式得到答案.【題目詳解】故.故本題正確答案為A.【題目點撥】本題考查了概率的計算和數(shù)學期望的計算,意在考查學生的計算能力.8、D【解題分析】分析：求出集合，，即可得到.詳解：故選D.點睛：本題考查兩個集合的交集運算，屬基礎題.9、D【解題分析】

由于和是終邊相同的角，故點M的極坐標也可表示為．【題目詳解】點M的極坐標為，由于和是終邊相同的角，故點M的坐標也可表示為，故選D．【題目點撥】本題考查點的極坐標、終邊相同的角的表示方法，屬于基礎題．10、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.11、C【解題分析】

根據(jù)定積分求得，得出二項式，再令，即可求得展開式的所有項的系數(shù)和，得到答案.【題目詳解】由題意，可得，所以二項式為，令，可得二項式展開式的所有項系數(shù)和為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了微積分基本定理的應用，以及二項展開式的系數(shù)問題，其中解答中熟記定積分的計算，以及二項式的系數(shù)的求解方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、B【解題分析】通項公式：，令，解得，的系數(shù)為，故選B.【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點】直線與圓位置關系；幾何概型【名師點睛】本題是高考?？贾R內(nèi)容，考查幾何概型概率的計算.本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點，涉及點到直線距離的計算.本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等.14、【解題分析】分析：首先求得樣本中心點，然后利用回歸方程的性質(zhì)求得實數(shù)a的值即可.詳解：由題意可得：，，線性回歸方程過樣本中心點，則：，解得：.點睛：本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、②④【解題分析】試題解析：：由題意可知A1,A2,AP(B|A3=P(A1)P(B|A1考點：相互獨立事件，條件概率．【方法點晴】本題主要考查了相互獨立事件，條件概率的求法等，解題的關鍵是理解題設中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率公式，本題較為復雜，正確理解事件的內(nèi)涵是解題的突破點．解答本題的關鍵是在理解題意的基礎上判斷出A1,A2,A3是兩兩互斥的事件，根據(jù)條件概率公式得到P(B|A116、【解題分析】

含有不合格品分為兩類：一件不合格和兩件不合格，分別利用組合公式即可得到答案.【題目詳解】質(zhì)檢員從中隨機抽出2聽共有種可能，而其中含有不合格品共有種可能，于是概率為：.【題目點撥】本題主要考查超幾何分布的相關計算，難度不大.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）-3，2【解題分析】分析：（1）利用復數(shù)乘法的運算法則以及共軛復數(shù)的定義化簡，利用復數(shù)模的公式求解即可；（2）利用復數(shù)除法的運算法則將，化為，由復數(shù)相等的性質(zhì)可得，從而可得結果.詳解：（1）∵，∴.∴，∴；（2）∵，∴.∴，解得，∴，的值為：-3，2.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分18、【解題分析】

先由求出復數(shù)，再由求出復數(shù)，計算出其復數(shù)，可得出以復數(shù)為根的實系數(shù)方程為，化簡后可得出結果.【題目詳解】由，得，，.，，因此，以復數(shù)為一個根的實系數(shù)方程為，即，即.【題目點撥】本題考查復數(shù)形式的乘法與除法運算，考查實系數(shù)方程與虛根之間的關系，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）在中由余弦定理得，再由正弦定理能求出；（2），四邊形ABCD的面積，由此能求出結果．【題目詳解】（1）在平面四邊形中，，，，．中，由余弦定理可得：，∵，∴．（2）中，，【題目點撥】本題考查角的正弦值、四邊形面積的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、(1)；(2)分布列見解析；數(shù)學期望；方差【解題分析】

（1）先求得基本事件的總數(shù)為，然后計算出與圓心構成直角三角形或鈍角三角形的取法數(shù)之和，再利用古典概型概率計算公式，求得所求概率.（2）利用二項分布概率計算公式，計算出分布列，并求得數(shù)學期望和方差.【題目詳解】解：（1）從盒中隨機摸出兩個小球，即是從8個等分點中隨機選取兩個不同的分點，共有種，其中與圓心構成直角三角形的取法有8種:，與圓心構成鈍角三角形的取法有種:.所以甲能參加音樂社團的概率為：.（2）由題意可知：，的可能取值為：0,1,2,3.所以的分布列為：0123數(shù)學期望方差【題目點撥】本小題主要考查古典概型概率計算，考查二項分布分布列、期望和方差的計算，屬于中檔題.21、證明過程見解析.【解題分析】

按照單調(diào)性的定義進行證明，先設是上任意兩個實數(shù)，則，然后用差比的方法，結合，比較出，這樣就證明出函數(shù)在是減函數(shù).【題目詳解】設是上任意兩個實數(shù)，則，，，所以有，因此函數(shù)在是減函數(shù).【題目點撥】本題考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性，用差比的方法比較出的大小關系是解題的關鍵，一般在差比比較過程中，往往會用到因式分解、配方法、通分法等方法.22、（1）見證明；（2）實數(shù)的取值范圍是，證明見解析.【解題分析】

（1）由題意得出在區(qū)間上恒成立，由得出，構造函數(shù)，證明在區(qū)間上恒成立即可；（2）由利用參變量分離法得出，將題意轉(zhuǎn)化為當直線與函數(shù)在上有兩個交點時求的取值范圍，利用數(shù)形結合思想求解即可，然后由題意得出，取自然對數(shù)得，等式作差得，利用分析得出所證不等式等價于，然后構造函數(shù)證明即可.【題目詳解】（1），.由題意知，不等式在區(qū)間上恒成立，由于，當時，，構造函數(shù)，其中，則，令，得.當時，；當時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，，所以，.所以