概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題-上海工程技術(shù)大學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題--上海工程技術(shù)大學(xué)匯報(bào)人：AA2024-01-20目錄contents概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)概率論基本概念01事件的定義與分類(lèi)了解樣本空間、隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等概念，能夠區(qū)分事件的類(lèi)型。概率的定義與性質(zhì)掌握概率的公理化定義，理解概率的非負(fù)性、規(guī)范性、可加性等基本性質(zhì)。古典概型與幾何概型熟悉古典概型和幾何概型的定義和計(jì)算方法，能夠運(yùn)用排列組合知識(shí)解決古典概型問(wèn)題。事件與概率條件概率的定義與計(jì)算理解條件概率的概念，掌握條件概率的計(jì)算方法，能夠運(yùn)用條件概率解決實(shí)際問(wèn)題。事件的獨(dú)立性了解事件獨(dú)立性的定義和性質(zhì)，能夠判斷兩個(gè)或多個(gè)事件是否相互獨(dú)立。乘法公式與全概率公式掌握乘法公式和全概率公式的應(yīng)用，能夠運(yùn)用這些公式計(jì)算復(fù)雜事件的概率。條件概率與獨(dú)立性030201貝葉斯公式的應(yīng)用掌握貝葉斯公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，能夠運(yùn)用貝葉斯公式進(jìn)行逆向概率的計(jì)算和推理。貝葉斯決策理論了解貝葉斯決策理論的基本思想和方法，能夠運(yùn)用貝葉斯決策理論進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的分析和解決。全概率公式的應(yīng)用理解全概率公式的含義和應(yīng)用條件，能夠運(yùn)用全概率公式計(jì)算某一事件發(fā)生的概率。全概率公式與貝葉斯公式隨機(jī)變量及其分布02定義取值可數(shù)的隨機(jī)變量，如投擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。分布律描述離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率，常用分布有0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等。數(shù)學(xué)期望與方差離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望表示其平均取值，方差表示取值的離散程度。離散型隨機(jī)變量01取值充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量，如測(cè)量某物體的長(zhǎng)度。定義02描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況，常用分布有均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。概率密度函數(shù)03連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差同樣表示其平均取值和取值的離散程度，計(jì)算時(shí)需用到積分。數(shù)學(xué)期望與方差連續(xù)型隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量的函數(shù)分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布通過(guò)已知隨機(jī)變量的分布，求其函數(shù)的分布，如X^2、sinX等。二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)，如Z=X+Y，需先求出(X,Y)的聯(lián)合分布，再求Z的分布。通過(guò)已知的隨機(jī)變量的分布，經(jīng)過(guò)一定的變換得到新的隨機(jī)變量的分布，如卷積公式等。變換法求分布多維隨機(jī)變量及其分布03設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，定義在樣本空間$Omega$上，如果存在一個(gè)從$Omega$到二維實(shí)數(shù)空間$R^2$的函數(shù)$(X,Y):OmegarightarrowR^2$，使得對(duì)任意$x,yinR$，事件${(X,Y)inB}$（其中$B$是$R^2$中的Borel集）的概率可由此函數(shù)確定，則稱(chēng)$(X,Y)$為二維隨機(jī)變量。對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱(chēng)為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。如果存在非負(fù)可積函數(shù)$f(x,y)$，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱(chēng)$f(x,y)$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。定義聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)分別定義為$F_X(x)=F(x,infty)$和$F_Y(y)=F(infty,y)$。邊緣概率密度函數(shù)如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣概率密度函數(shù)分別定義為$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。條件分布函數(shù)對(duì)于固定的$y$，如果$P{Y=y}>0$，則稱(chēng)條件概率$P{Xleqx|Y=y}=frac{P{Xleqx,Y=y}}{P{Y=y}}$為在給定$Y=y$的條件下，$X$的條件分布函數(shù)。類(lèi)似地，可以定義在給定$X=x$的條件下，$Y$的條件分布函數(shù)。條件概率密度函數(shù)如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，且對(duì)于固定的$y$，有$f_Y(y)>0$，則在給定$Y=y$的條件下，$X$的條件概率密度函數(shù)定義為$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。類(lèi)似地，可以定義在給定$X=x$的條件下，$Y$的條件概率密度函數(shù)。01020304邊緣分布與條件分布定義：設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，則稱(chēng)隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨(dú)立的。性質(zhì)：相互獨(dú)立的隨機(jī)變量具有以下性質(zhì)$P{XinA,YinB}=P{XinA}P{YinB}$對(duì)于任意Borel集$A,BsubseteqR$；$E[XY]=E[X]E[Y]$；$Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]$；如果$(X,Y)$與另一對(duì)隨機(jī)變量$(U,V)$相互獨(dú)立，且$(U,V)$也相互獨(dú)立，則$(X+U,Y+V)$也相互獨(dú)立。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量的數(shù)字特征04數(shù)學(xué)期望與方差數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的平均值，具有線性性質(zhì)、常數(shù)性質(zhì)、獨(dú)立性等。方差的定義和性質(zhì)方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的平均值，表示隨機(jī)變量取值的離散程度。方差具有非負(fù)性、常數(shù)性質(zhì)、齊次性等。常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差如二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差與兩個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差乘積的比值，用于衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)具有取值范圍在[-1,1]之間、對(duì)稱(chēng)性、無(wú)量綱性等。協(xié)方差的定義和性質(zhì)協(xié)方差是衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量變化趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，表示兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)偏離各自數(shù)學(xué)期望的程度。協(xié)方差具有對(duì)稱(chēng)性、線性性質(zhì)等。協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用如回歸分析、投資組合優(yōu)化等。矩的定義和性質(zhì)矩是描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，包括原點(diǎn)矩和中心矩。原點(diǎn)矩表示隨機(jī)變量取值的平均水平，中心矩表示隨機(jī)變量取值的離散程度和偏態(tài)。協(xié)方差矩陣的定義和性質(zhì)協(xié)方差矩陣是由多個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差組成的矩陣，用于描述多個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差矩陣具有對(duì)稱(chēng)性、正定性等。矩和協(xié)方差矩陣的應(yīng)用如多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)、主成分分析等。矩、協(xié)方差矩陣大數(shù)定律與中心極限定理05大數(shù)定律揭示了頻率穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。伯努利大數(shù)定律揭示了大量隨機(jī)變量的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的性質(zhì)。弱大數(shù)定律（辛欽大數(shù)定律）比弱大數(shù)定律更精細(xì)地刻畫(huà)了算術(shù)平均值的收斂性質(zhì)，要求收斂在概率1的意義下成立。強(qiáng)大數(shù)定律中心極限定理適用于非獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，給出了這些隨機(jī)變量之和的分布趨于正態(tài)分布的充分條件。李雅普諾夫定理表明當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)量增加時(shí)，它們的標(biāo)準(zhǔn)化和的分布趨于正態(tài)分布。獨(dú)立同分布的中心極限定理（林德伯格-列維定理）是二項(xiàng)分布的特例，指出當(dāng)二項(xiàng)分布的參數(shù)p和n都很大時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。德莫佛-拉普拉斯定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念06研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用大寫(xiě)字母表示，如$X$?？傮w樣本樣本容量從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，通常用小寫(xiě)字母表示，如$x_1,x_2,ldots,x_n$。樣本中個(gè)體的數(shù)目，用$n$表示。總體與樣本03常見(jiàn)的抽樣分布$chi^2$分布、$t$分布、$F$分布等。01統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。02抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣中的分布情況。統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布常用的統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s=sqrt{s^2}$，與樣本方差類(lèi)似，但單位與原始數(shù)據(jù)相同。樣本方差$s^2=frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2$，用于描述數(shù)據(jù)的離散程度。樣本均值$bar{x}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_i$，其分布近似于正態(tài)分布。樣本$k$階原點(diǎn)矩$a_k=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_i^k$，用于描述數(shù)據(jù)的形狀特征。樣本$k$階中心矩$m_k=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^k$，用于描述數(shù)據(jù)的偏態(tài)和峰態(tài)特征。參數(shù)估計(jì)07定義點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)的結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值表示，所以稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì)。方法矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法、最小二乘法等。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性、有效性、一致性。010203點(diǎn)估計(jì)方法置信區(qū)間法。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)置信水平、置信區(qū)間的長(zhǎng)度。定義區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差得到。區(qū)間估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)08假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想原假設(shè)與備擇假設(shè)根據(jù)問(wèn)題的背景提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，其中$H_0$通常表示沒(méi)有差異或沒(méi)有效應(yīng)，而$H_1$表示有差異或有效應(yīng)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)顯著性水平$alpha$確定拒絕域。決策規(guī)則根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，若落入拒絕域，則拒絕$H_0$，否則接受$H_0$。用于檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體的均值是否等于某個(gè)給定值。單樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體的方差是否等于某個(gè)給定值?？ǚ綑z驗(yàn)如Shapiro-Wilk檢驗(yàn)、Kolmogoro