福建省龍巖市武平一中、長汀一中、漳平一中等六校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達標檢測試題含解析

福建省龍巖市武平一中、長汀一中、漳平一中等六校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．02．直線與圓有兩個不同交點的充要條件是（）A． B． C． D．3．如圖，，分別是邊長為4的等邊的中線，圓是的內(nèi)切圓，線段與圓交于點.在中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．4．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，則閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題6．已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，且滿足，則實數(shù)的最小值是（）.A．-1 B． C． D．7．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且滿足，其中為的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是A． B． C． D．8．已知命題p：?x∈R，2x>0；q：?x0∈R，x＋x0＝－1．則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(┐p)∧(┐q) C．(┐p)∧q D．p∧(┐q)9．設(shè)函數(shù)滿足則時，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值10．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．11．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知y與x及與的成對數(shù)據(jù)如下，且y關(guān)于x的回歸直線方程為，則關(guān)于的回歸直線方程為（）x12345y2345710203040502030405070A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)f(x)=-13x3+1214．若存在過點1,0的直線與曲線y=x3和y=ax2+15．命題“，”的否定是______.16．命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過原點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，四邊形的周長與面積分別為12與.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，求原點到的中垂線的最大距離.18．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）證明：在上存在唯一零點．（2）若，恒成立，求的取值范圍．19．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.20．（12分）已知關(guān)于x的方程的兩個根是、.（1）若為虛數(shù)且，求實數(shù)p的值；（2）若，求實數(shù)p的值.21．（12分）設(shè)圓的圓心為A，直線過點B（1,0）且與軸不重合，交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（Ⅰ）證明：為定值，并寫出點E的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點，過B且與垂直的直線與C1交于P,Q兩點，求證：是定值，并求出該定值.22．（10分）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，已知點為線段上靠近點的三等分點．求點的坐標：若點在軸上，且直線與直線垂直，求點的坐標．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

寫設(shè)橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），利用點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)能求出橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值．【題目詳解】解：設(shè)橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），則點M到直線x+2y﹣4＝1的距離：d|5sin（θ+α）﹣4|，∴當(dāng)sin（θ+α）時，橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值dmin＝1．故選D．【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程以及點到直線的距離、三角函數(shù)求最值，屬于中檔題．2、A【解題分析】

由已知條件計算圓心到直線的距離和半徑進行比較，即可求出結(jié)果【題目詳解】圓，圓心到直線的距離小于半徑，由點到直線的距離公式：，，故選【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，然后和半徑進行比較，較為基礎(chǔ)．3、A【解題分析】

利用等邊三角形中心的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓的半徑和陰影部分面積，再根據(jù)幾何概型計算公式計算出所求的概率.【題目詳解】在中，，，因為，所以，即圓的半徑為，由此可得圖中陰影部分的面積等于，的面積為，故所求概率.故選A.【題目點撥】本題考查幾何概型問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.屬于中檔題.4、B【解題分析】

根據(jù)題意畫出韋恩圖即可得到答案．【題目詳解】根據(jù)題意閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，得到的韋恩圖如圖，所以閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為人故選B.【題目點撥】本題考查利用韋恩圖解決實際問題，屬于簡單題．5、C【解題分析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復(fù)合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結(jié)論．解：由于x=10時，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點：全稱命題；復(fù)合命題的真假．6、A【解題分析】

先根據(jù)的單調(diào)性確定出最小值從而確定出的值，再由不等式即可得到的范圍，根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求解出的取值范圍.【題目詳解】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，又因為，所以，因為對應(yīng)的，且有零點，（1）當(dāng)時，或，所以，所以，所以，（2）當(dāng)時，或，此時，所以，綜上可知：，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點以及根據(jù)二次函數(shù)的零點分布求解參數(shù)范圍，屬于綜合性問題，難度較難.其中處理二次函數(shù)的零點分布問題，除了直接分析還可以采用畫圖象的方法進行輔助分析.7、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【題目詳解】解：令，則，在上單調(diào)遞增，又，，即，即故選：．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．8、D【解題分析】分析：分別判斷p，q的真假即可.詳解：指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，對任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p為真命題；x2＋x＋1＝2＋>0恒成立,不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故q為假命題，則p∧q，┐p為假命題，┐q為真命題，┐p∧┐q，┐p∧q為假命題，p∧┐q為真命題．故選：D.點睛：本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)方面的知識.9、D【解題分析】

函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進而得出正確結(jié)論.10、A【解題分析】由，得，故選A.11、D【解題分析】因為，由題設(shè)可得在上恒成立，令，則，又，且，故，所以問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函數(shù)，則，應(yīng)選答案D．點睛：本題的求解過程自始至終貫穿著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是第一個轉(zhuǎn)化過程，換元是第二個轉(zhuǎn)化過程；構(gòu)造二次函數(shù)是第三個轉(zhuǎn)化過程，也就是說為達到求出參數(shù)的取值范圍，求解過程中大手筆地進行三次等價的轉(zhuǎn)化與化歸，從而使得問題的求解化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數(shù)學(xué)思想的威力．12、D【解題分析】

先由題意求出與，根據(jù)回歸直線過樣本中心，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，，因為回歸直線方程過樣本中心，根據(jù)題中選項，所以關(guān)于的回歸直線方程為.故選D【題目點撥】本題主要考查回歸直線方程，熟記回歸直線方程的意義即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(-【解題分析】試題分析：f'(x)=-x2+x+2a=-f'(23)=2a+29考點：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．14、-1或-【解題分析】分析：先求出過點1,0和y=x2詳解：設(shè)直線與曲線y=x2的切點坐標為則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'x則切線斜率k=3x則切線方程為y-x∵切線過點1,0，∴-x即2x解得x0=0或①若x0=0，此時切線的方程為此時直線與y=ax2即ax則Δ=1542②若x0=32代入y=ax2+消去y可得ax又由Δ=0，即9+4×9解可得a=-1，故a=-1或a=-2564，故答案為-1或點睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點Ax0,fx0求斜率k,即求該點處的導(dǎo)數(shù)k=f'x0；(2)己知斜率k求切點Ax1,fx1,即解方程15、【解題分析】

特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.【題目詳解】解：由題意知，原命題的否定是：.故答案為:.【題目點撥】本題考查了命題的否定.易錯點是混淆了命題的否定和否命題的概念.這類問題的常見錯誤是沒有改變量詞，或者對于大于的否定變成了小于.16、【解題分析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）不妨設(shè)點是第一象限的點，由四邊形的周長求出，面積求出與關(guān)系，再由點在直線上，得到與關(guān)系，代入橢圓方程，求解即可；（2）先求出直線斜率不存在時，原點到的中垂線的距離，斜率為0時與橢圓只有一個交點，直線斜率存在時，設(shè)其方程為，利用與圓相切，求出關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出中點坐標，得到的中垂線方程，進而求出原點到中垂線的距離表達式，結(jié)合關(guān)系，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）不妨設(shè)點是第一象限的點，因為四邊形的周長為12，所以，，因為，所以，得，點為過原點且斜率為1的直線與橢圓的交點，即點在直線上，點在橢圓上，所以，即，解得或（舍），所以橢圓的標準方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，線段的中垂線為軸，原點到軸的距離為0.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，依題意可設(shè)，因為直線與圓相切，所以，設(shè)，，聯(lián)立，得，由，得，又因為，所以，所以，所以的中點坐標為，所以的中垂線方程為，化簡，得，原點到直線中垂線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以原點到的中垂線的最大距離為.【題目點撥】本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、點到直線的距離，利用基本不等式求最值，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

(1)求出,設(shè)，求,由的單調(diào)性及零點存在定理說明在區(qū)間上存在唯一零點,即證得在上存在唯一零點.(2)將恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最值即可.【題目詳解】（1）證明：設(shè)，則，．令，則．∵當(dāng)時，，則為增函數(shù)，且，，∴存在，使得，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又∵，，∴在區(qū)間上存在唯一零點，即在區(qū)間上存在唯一零點．（2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，．設(shè)，，即，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴．綜上所述，的取值范圍為．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、零點存在性定理的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題,難度較大.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.【題目詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點E為坐標原點，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可得點的坐標為，利用中點坐標公式可得：，由于，故直線EF的方向向量為：設(shè)平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，此時，設(shè)直線EF與平面所成角為，則.【題目點撥】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、(1).(2)或.【解題分析】分析：（1