福建省龍巖市武平一中、長汀一中、漳平一中等六校2024屆數學高二第二學期期末達標檢測試題含解析

福建省龍巖市武平一中、長汀一中、漳平一中等六校2024屆數學高二第二學期期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．02．直線與圓有兩個不同交點的充要條件是（）A． B． C． D．3．如圖，，分別是邊長為4的等邊的中線，圓是的內切圓，線段與圓交于點.在中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．4．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，則閱讀過《西游記》的學生人數為（）A． B． C． D．5．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題6．已知是函數的零點，是函數的零點，且滿足，則實數的最小值是（）.A．-1 B． C． D．7．已知函數是定義在上的函數，且滿足，其中為的導數，設，，，則、、的大小關系是A． B． C． D．8．已知命題p：?x∈R，2x>0；q：?x0∈R，x＋x0＝－1．則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(┐p)∧(┐q) C．(┐p)∧q D．p∧(┐q)9．設函數滿足則時，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值10．已知為虛數單位，復數滿足，則的共軛復數()A． B． C． D．11．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知y與x及與的成對數據如下，且y關于x的回歸直線方程為，則關于的回歸直線方程為（）x12345y2345710203040502030405070A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數f(x)=-13x3+1214．若存在過點1,0的直線與曲線y=x3和y=ax2+15．命題“，”的否定是______.16．命題“”為假命題，則實數的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過原點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，四邊形的周長與面積分別為12與.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，求原點到的中垂線的最大距離.18．（12分）已知函數，為的導函數．（1）證明：在上存在唯一零點．（2）若，恒成立，求的取值范圍．19．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.20．（12分）已知關于x的方程的兩個根是、.（1）若為虛數且，求實數p的值；（2）若，求實數p的值.21．（12分）設圓的圓心為A，直線過點B（1,0）且與軸不重合，交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（Ⅰ）證明：為定值，并寫出點E的軌跡方程；（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點，過B且與垂直的直線與C1交于P,Q兩點，求證：是定值，并求出該定值.22．（10分）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，已知點為線段上靠近點的三等分點．求點的坐標：若點在軸上，且直線與直線垂直，求點的坐標．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

寫設橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），利用點到直線的距離公式，結合三角函數性質能求出橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值．【題目詳解】解：設橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），則點M到直線x+2y﹣4＝1的距離：d|5sin（θ+α）﹣4|，∴當sin（θ+α）時，橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值dmin＝1．故選D．【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系、橢圓的參數方程以及點到直線的距離、三角函數求最值，屬于中檔題．2、A【解題分析】

由已知條件計算圓心到直線的距離和半徑進行比較，即可求出結果【題目詳解】圓，圓心到直線的距離小于半徑，由點到直線的距離公式：，，故選【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，根據題意將其轉化為圓心到直線的距離，然后和半徑進行比較，較為基礎．3、A【解題分析】

利用等邊三角形中心的性質，求得內切圓的半徑和陰影部分面積，再根據幾何概型計算公式計算出所求的概率.【題目詳解】在中，，，因為，所以，即圓的半徑為，由此可得圖中陰影部分的面積等于，的面積為，故所求概率.故選A.【題目點撥】本題考查幾何概型問題，考查數據處理能力和應用意識.屬于中檔題.4、B【解題分析】

根據題意畫出韋恩圖即可得到答案．【題目詳解】根據題意閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，得到的韋恩圖如圖，所以閱讀過《西游記》的學生人數為人故選B.【題目點撥】本題考查利用韋恩圖解決實際問題，屬于簡單題．5、C【解題分析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結論．解：由于x=10時，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據復合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點：全稱命題；復合命題的真假．6、A【解題分析】

先根據的單調性確定出最小值從而確定出的值，再由不等式即可得到的范圍，根據二次函數零點的分布求解出的取值范圍.【題目詳解】因為，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，又因為，所以，因為對應的，且有零點，（1）當時，或，所以，所以，所以，（2）當時，或，此時，所以，綜上可知：，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查利用導數判斷函數的零點以及根據二次函數的零點分布求解參數范圍，屬于綜合性問題，難度較難.其中處理二次函數的零點分布問題，除了直接分析還可以采用畫圖象的方法進行輔助分析.7、A【解題分析】

構造函數，根據的單調性得出結論．【題目詳解】解：令，則，在上單調遞增，又，，即，即故選：．【題目點撥】本題考查了導數與函數的單調性，考查函數單調性的應用，屬于中檔題．8、D【解題分析】分析：分別判斷p，q的真假即可.詳解：指數函數的值域為(0，＋∞)，對任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p為真命題；x2＋x＋1＝2＋>0恒成立,不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故q為假命題，則p∧q，┐p為假命題，┐q為真命題，┐p∧┐q，┐p∧q為假命題，p∧┐q為真命題．故選：D.點睛：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了指數函數的性質與二次函數方面的知識.9、D【解題分析】

函數滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為.又在單調遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點：1、利用導數研究函數的單調性；2、利用導數研究函數的極值及函數的求導法則.【方法點睛】本題主要考察抽象函數的單調性以及函數的求導法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結論進行類比、聯想、抽象、概括，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.本題通過觀察導函數的“形狀”，聯想到函數，再結合條件判斷出其單調性，進而得出正確結論.10、A【解題分析】由，得，故選A.11、D【解題分析】因為，由題設可得在上恒成立，令，則，又，且，故，所以問題轉化為不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函數，則，應選答案D．點睛：本題的求解過程自始至終貫穿著轉化與化歸的數學思想，求函數的導數是第一個轉化過程，換元是第二個轉化過程；構造二次函數是第三個轉化過程，也就是說為達到求出參數的取值范圍，求解過程中大手筆地進行三次等價的轉化與化歸，從而使得問題的求解化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數學思想的威力．12、D【解題分析】

先由題意求出與，根據回歸直線過樣本中心，即可得出結果.【題目詳解】由題意可得：，，因為回歸直線方程過樣本中心，根據題中選項，所以關于的回歸直線方程為.故選D【題目點撥】本題主要考查回歸直線方程，熟記回歸直線方程的意義即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(-【解題分析】試題分析：f'(x)=-x2+x+2a=-f'(23)=2a+29考點：利用導數判斷函數的單調性．14、-1或-【解題分析】分析：先求出過點1,0和y=x2詳解：設直線與曲線y=x2的切點坐標為則函數的導數為f'x則切線斜率k=3x則切線方程為y-x∵切線過點1,0，∴-x即2x解得x0=0或①若x0=0，此時切線的方程為此時直線與y=ax2即ax則Δ=1542②若x0=32代入y=ax2+消去y可得ax又由Δ=0，即9+4×9解可得a=-1，故a=-1或a=-2564，故答案為-1或點睛：應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：(1)已知切點Ax0,fx0求斜率k,即求該點處的導數k=f'x0；(2)己知斜率k求切點Ax1,fx1,即解方程15、【解題分析】

特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.【題目詳解】解：由題意知，原命題的否定是：.故答案為:.【題目點撥】本題考查了命題的否定.易錯點是混淆了命題的否定和否命題的概念.這類問題的常見錯誤是沒有改變量詞，或者對于大于的否定變成了小于.16、【解題分析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）不妨設點是第一象限的點，由四邊形的周長求出，面積求出與關系，再由點在直線上，得到與關系，代入橢圓方程，求解即可；（2）先求出直線斜率不存在時，原點到的中垂線的距離，斜率為0時與橢圓只有一個交點，直線斜率存在時，設其方程為，利用與圓相切，求出關系，直線方程與橢圓方程聯立，求出中點坐標，得到的中垂線方程，進而求出原點到中垂線的距離表達式，結合關系，即可求出結論.【題目詳解】（1）不妨設點是第一象限的點，因為四邊形的周長為12，所以，，因為，所以，得，點為過原點且斜率為1的直線與橢圓的交點，即點在直線上，點在橢圓上，所以，即，解得或（舍），所以橢圓的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線為，線段的中垂線為軸，原點到軸的距離為0.當直線的斜率存在時，設斜率為，依題意可設，因為直線與圓相切，所以，設，，聯立，得，由，得，又因為，所以，所以，所以的中點坐標為，所以的中垂線方程為，化簡，得，原點到直線中垂線的距離，當且僅當，即時，等號成立，所以原點到的中垂線的最大距離為.【題目點撥】本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系、點到直線的距離，利用基本不等式求最值，考查邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

(1)求出,設，求,由的單調性及零點存在定理說明在區(qū)間上存在唯一零點,即證得在上存在唯一零點.(2)將恒成立問題,轉化為函數的最值問題,利用導數研究函數的單調性,從而求得最值即可.【題目詳解】（1）證明：設，則，．令，則．∵當時，，則為增函數，且，，∴存在，使得，∴當時，；當時，．即在上單調遞減，在上單調遞增．又∵，，∴在區(qū)間上存在唯一零點，即在區(qū)間上存在唯一零點．（2）解：當時，；當時，．設，，即，∵，∴，∴在上單調遞減，∴，∴．綜上所述，的取值范圍為．【題目點撥】本題考查導數的運算、零點存在性定理的應用,以及利用導數證明不等式恒成立問題,難度較大.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結合線面角的正弦值和同角三角函數基本關系可得線面角的余弦值.【題目詳解】(1)如圖所示，連結，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質定理可得：平面，故，由三棱柱的性質可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結合?平面，故.(2)在底面ABC內作EH⊥AC，以點E為坐標原點，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系.設，則，,，據此可得：，由可得點的坐標為，利用中點坐標公式可得：，由于，故直線EF的方向向量為：設平面的法向量為，則：，據此可得平面的一個法向量為，此時，設直線EF與平面所成角為，則.【題目點撥】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、(1).(2)或.【解題分析】分析：（1