2024屆天津市寶坻一中等七校高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆天津市寶坻一中等七校高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中的系數(shù)為A． B． C． D．2．函數(shù)在處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．3．若，都是實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．一位母親根據(jù)兒子歲身高的數(shù)據(jù)建立了身高與年齡(歲)的回歸模型，用這個模型預測這個孩子歲時的身高，則正確的敘述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下5．展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．356．ΔABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，則（）A． B． C． D．7．設函數(shù)的定義域為，若對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則當函數(shù)，時，定積分的值為（）A． B． C． D．8．已知定義域為的函數(shù)滿足‘’，當時，單調(diào)遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實數(shù)C．恒大于0 D．恒小于09．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足(1－i)·z＝2i，是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則下列關于復數(shù)z的說法正確的是()A．z＝1－i B．C． D．復數(shù)z在復平面內(nèi)表示的點在第四象限10．“－1≤x≤1”是“xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知函數(shù)，則()A． B．e C． D．112．己知弧長的弧所對的圓心角為弧度，則這條弧所在的圓的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列中，有，，數(shù)列前項和為，且則_______．14．隨機變量，變量，是__________．15．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于________________．16．若函數(shù)為奇函數(shù)，則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四面體中，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值.18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C:，直線：，直線：以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的參數(shù)方程以及直線，的極坐標方程；（2）若直線與曲線C分別交于O、A兩點，直線與曲線C交于O、B兩點，求△AOB的面積.19．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在原點處的切線方程.（2）當時，求函數(shù)的零點個數(shù);20．（12分）已知.（1）求證：恒成立；（2）試求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，，且，其中，求證：恒成立.21．（12分）如圖，在以為頂點的多面體中，平面，，.（1）請在圖中作出平面，使得且，并說明理由；（2）證明：.22．（10分）某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎勵元；共兩只球都是綠色，則獎勵元；若兩只球顏色不同，則不獎勵．（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先求出二項式展開式的通項，再令x的指數(shù)為4得到r的值，即得的展開式中的系數(shù).詳解：由題得二項展開式的通項為,令10-3r=4,所以r=2,所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查二項式展開式中某項的系數(shù)的求法，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)的展開式中的系數(shù)為,不是,要把二項式系數(shù)和某一項的系數(shù)兩個不同的概念區(qū)分開.2、D【解題分析】

計算函數(shù)在處的切線斜率，根據(jù)斜率計算離心率.【題目詳解】切線與一條漸近線平行故答案選D【題目點撥】本題考查了切線方程，漸近線，離心率，屬于常考題型.3、A【解題分析】分析：先證明充分性，兩邊同時平方即可，再證明必要性，取特值，從而判斷出結(jié)果。詳解：充分性：將兩邊平方可得：化簡可得：則，故滿足充分性必要性：，當時，，故不滿足必要性條件則是的充分而不必要條件故選點睛：本題考查了充分條件與必要條件的判定，可以根據(jù)其定義進行判斷，在必要性的判定時采用了取特值的方法，這里也要熟練不等式的運用4、A【解題分析】

由線性回歸方程的意義得解.【題目詳解】將代入線性回歸方程求得由線性回歸方程的意義可知是預測值，故選．【題目點撥】本題考查線性回歸方程的意義，屬于基礎題.5、C【解題分析】

利用多項式乘法將式子展開,根據(jù)二項式定理展開式的通項即可求得的系數(shù).【題目詳解】根據(jù)二項式定理展開式通項為則展開式的通項為則展開式中的項為則展開式中的系數(shù)為故選:C【題目點撥】本題考查了二項定理展開式的應用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎題.6、D【解題分析】

邊化角，再利用三角形內(nèi)角和等于180°，全部換成B角，解出即可【題目詳解】（）【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎題．7、D【解題分析】分析：根據(jù)的定義求出的表達式，然后根據(jù)定積分的運算法則可得結(jié)論．詳解：由題意可得，當時，，即．所以．故選D．點睛：解答本題時注意兩點：一是根據(jù)題意得到函數(shù)的解析式是解題的關鍵；二是求定積分時要合理的運用定積分的運算性質(zhì)，可使得計算簡單易行．8、D【解題分析】

由且，不妨設，，則，因為當時，單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)滿足，所以，所以，即.故選：D.9、C【解題分析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求出z，然后逐一核對四個選項得答案．【題目詳解】復數(shù)在復平面內(nèi)表示的點在第二象限，故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．10、A【解題分析】

首先畫出函數(shù)y=x+1+x-1的圖像，求解不等式【題目詳解】如圖:y=x+1由圖像可知x+1+x-1≥2恒成立，所以解集是R，x-1≤x≤1是R的真子集，所以“故選A.【題目點撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，屬于基礎題型.11、C【解題分析】

先求導，再計算出，再求.【題目詳解】由題得，所以.故選：C.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和基本的計算能力，屬基礎題.12、D【解題分析】

利用弧長公式列出方程直接求解，即可得到答案．【題目詳解】由題意，弧長的弧所對的圓心角為2弧度，則，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查了圓的半徑的求法，考查弧長公式等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

首先根據(jù)是等比數(shù)列得到，根據(jù)代入求出的值，再根據(jù)求即可.【題目詳解】因為是等比數(shù)列，，所以.又因為，所以.因為，，所以.則.當時，，，即：，是以首項，的等比數(shù)列.所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查根據(jù)求數(shù)列的通項公式，同時考查等比中項的性質(zhì)，屬于中檔題.14、40【解題分析】分析：先根據(jù)二項分布得,再根據(jù)，得詳解：因為，所以，因為，所以點睛：二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式.15、.【解題分析】以AD,DC,DD1建立空間直角坐標系，則：得直線和所成角的余弦值等于16、1【解題分析】

由函數(shù)在時有意義，且為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出再代入求解即可.【題目詳解】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，故答案為：.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性，重點考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結(jié)，易證平面，從而得證；（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結(jié)．因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以，，，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．以，，為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，．設是平面的法向量，則，即，可?。O是平面的法向量，則，即，可?。驗?，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．設中點為，連結(jié)，，則，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設到平面距離為，因為四面體的體積，所以．在平面內(nèi)過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．點睛：本題主要考查空間位置關系的證明和空間角的計算，意在考查學生立體幾何和空間向量的基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.證明位置關系和求空間的角都有兩種方法，一是幾何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根據(jù)具體情況靈活選擇，提高解析效率.18、（1）：，：.（2）【解題分析】分析：（1）直接根據(jù)圓的參數(shù)方程求出曲線C的參數(shù)方程，利用極坐標公式求出直線，的極坐標方程.(2)先求出OA,OB,再利用三角形面積公式求的面積.詳解：（1）依題意，曲線：，故曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），因為直線：，直線：，故，的極坐標方程為：，：.（2）易知曲線的極坐標方程為，把代入，得，所以.把代入，得，所以.所以.點睛：（1）本題主要考查直角坐標方程、參數(shù)方程和極坐標的互化，考查極坐標的應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)第2問，化成直角坐標也可以解答，但是利用極坐標解答效率更高.19、（1）（2）函數(shù)零點個數(shù)為兩個【解題分析】

（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求解曲線在原點處的切線方程；（2）由（1），求得函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求解函數(shù)的零點個數(shù)．【題目詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，則，從而曲線在原點處的切線方程為．（2）由（1）知，令得或，從而函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當時，恒成立，所以在上沒有零點；當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，存在唯一零點；當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且，存在唯一零點．綜上，當時，函數(shù)零點個數(shù)為兩個.【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應用，著重考查了分類討論思想，推理與運算能力，屬于基礎題．20、(1)證明見解析；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間。(3)證明見解析【解題分析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，利用來證明所證不等式成立；（2）先解等式可得出函數(shù)的定義域，求出該函數(shù)的導數(shù)，利用（1）中的結(jié)論得出在定義域內(nèi)恒成立，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）證法一：利用分析法得出要證，即證，利用數(shù)學歸納法和單調(diào)性證明出對任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得證；證法二：利用數(shù)學歸納法證明，先驗證當時，不等式成立，即，再假設當時不等式成立，即，利用函數(shù)的單調(diào)性得出，由歸納原理證明所證不等式成立.【題目詳解】（1）令，則，由得，由得.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即恒成立；（2）由得或，函數(shù)的定義域為，因為，由（1）可知當時，恒成立，且，.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；（3）證法一：，要證，即證，即證，即證.先證對任意，，即，即.構(gòu)造函數(shù)，其中，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，對任意的，，即，.下面證明對任意的，.，.假設當時，，則當時，.由上可知，對任意的，.由（1）可知，當時，，，，因此，對任意的，；證法二：數(shù)學歸納法①當時，，，，，即成立；②假設當時結(jié)論成立，即成立.由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，又，，，當時結(jié)論成立綜合①②，恒成立.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)證明不等式以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用數(shù)學歸納法證明不等式，證明時應充分利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理能力，屬于難題.21、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）取中點，連接，則平面即為所求平面，可證明平面；（2）結(jié)合（1）先證明三角形是邊長為1的正三角形，然后證明，從而可知，由平面，可知，從而可知平面，即可證明.【題目詳解】（1）取中點，連接，則平面即為所求平面．∵，，∴且，∴四邊形是平行四邊形，則，∵平面，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，平面，且，∴平面平面，∵平面，∴平面，即.（2）由（1）四邊形是平行四邊形，則，，∵，∴三角形是邊長為1的正三角形，∵，，∴，∴，即，∵平面，平面，∴，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.【題目點撥】本題考查了平面與平面平行的判定，考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.22、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)