2024屆河南洛陽(yáng)市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆河南洛陽(yáng)市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當(dāng)時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)變形正確的是（）A． B．C． D．2．已知直線l的參數(shù)方程為x=t+1，y=t-1，（tA．0° B．45° C．903．三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系是()A． B．C． D．4．已知是離散型隨機(jī)變量，，則（）A． B． C． D．5．已知變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．7 B．8 C．9 D．106．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│8．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．10．因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，上面的推理錯(cuò)誤的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是11．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選．那么不同的組隊(duì)形式有_________種．14．某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件，這種零件有、兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響，若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為.按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品，任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù)，則______.15．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同站法種數(shù)為．16．“”是“”的_______條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個(gè)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點(diǎn),設(shè)1)證明：PE⊥BC；2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．18．（12分）某中學(xué)高中畢業(yè)班的三名同學(xué)甲、乙、丙參加某大學(xué)的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量，請(qǐng)寫出所有可能的取值，并求的值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為5，求實(shí)數(shù)的值；（3）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．21．（12分）已知曲線，直線：（為參數(shù)）.（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（II）過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，的最大值與最小值．22．（10分）中國(guó)已經(jīng)成為全球最大的電商市場(chǎng)，但是實(shí)體店仍然是消費(fèi)者接觸商品和品牌的重要渠道.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡介于10歲到60歲的消費(fèi)者200人，對(duì)他們的主要購(gòu)物方式進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.現(xiàn)對(duì)調(diào)查對(duì)象的年齡分布及主要購(gòu)物方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下圖表：主要購(gòu)物方式年齡階段網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)購(gòu)物實(shí)體店購(gòu)物總計(jì)40歲以下7540歲或40歲以上55總計(jì)（1）根據(jù)已知條件完成上述列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為消費(fèi)者主要的購(gòu)物方式與年齡有關(guān)？（2）用分層抽樣的方法從通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)購(gòu)物的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取8人，然后再?gòu)倪@8名消費(fèi)者中抽取5名進(jìn)行答謝.設(shè)抽到的消費(fèi)者中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.臨界值表：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：假設(shè)當(dāng)，能被13整除，當(dāng)應(yīng)化成形式，所以答案為A考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法2、B【解題分析】

將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得出該直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角?！绢}目詳解】直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【題目點(diǎn)撥】本題考查利用直線的參數(shù)方程求直線的傾斜角，參數(shù)方程化為普通方程是常用方法，而參數(shù)方程化為普通方程有兩種常見(jiàn)的消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。3、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【題目詳解】,故故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．4、B【解題分析】

根據(jù)題意，由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可得則只有兩個(gè)變量，進(jìn)而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，則則只有兩個(gè)變量，則，得，即，則，則.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望以及方差與方差性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得答案．【題目詳解】作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，有最大值為9，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的解法。6、B【解題分析】

由函數(shù)為的偶函數(shù)，得出該函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合性質(zhì)得出，比較、、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系．【題目詳解】由函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，且有，則，，，，且，，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小，考查中間值法比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，再利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性等基本性質(zhì)將自變量置于同一單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性來(lái)比較大小關(guān)系，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中等題．7、A【解題分析】

本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【題目詳解】因?yàn)閳D象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．【題目點(diǎn)撥】利用二級(jí)結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；8、A【解題分析】

由已知可得對(duì)任意的恒成立，設(shè)則當(dāng)時(shí)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又在上不合題意；當(dāng)時(shí)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故選A.9、D【解題分析】

利用直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義離心率計(jì)算公式即可得出．【題目詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關(guān)系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).10、A【解題分析】

由于三段論的大前提“對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是錯(cuò)誤的，所以選A.【題目詳解】由于三段論的大前提“對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是錯(cuò)誤的，只有當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)才是增函數(shù)，故答案為：A【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查三段論，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)一個(gè)三段論，只有大前提正確，小前提正確和推理形式正確，結(jié)論才是正確的.11、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則.在有兩個(gè)不相等實(shí)根求解.【題目詳解】因?yàn)樗?因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根.即，令，則.在遞增，在遞減.其圖象如下:∴，∴.故選：:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.12、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計(jì)算求得結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進(jìn)行排列．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：分三種情況討論，分別求出甲乙都入選、甲不入選，乙入選、甲乙都不入選,，相應(yīng)的情況不同的組隊(duì)形式的種數(shù)，然后求和即可得出結(jié)論.詳解：若甲乙都入選，則從其余人中選出人，有種，男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有種，故共有種；若甲不入選，乙入選，則從其余人中選出人，有種，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有種，故共有種；若甲乙都不入選，則從其余6人中選出人，有種，再全排，有種，故共有種，綜上所述，共有，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問(wèn)題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題，解答這類問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過(guò)程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.14、1【解題分析】

設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，得到，求得的值，進(jìn)而得到，可得分布列和的值，得到答案．【題目詳解】由題意，設(shè)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，由題意，得，解得，所以，即一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)為合格品的概率為，依題意知，所以．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，其中解答中根據(jù)概率的計(jì)算公式，求得的值，得到隨機(jī)變量是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．15、．【解題分析】試題分析：老師必須站在正中間,則老師的位置是指定的；甲同學(xué)不與老師相鄰，則甲同學(xué)站兩端，故不同站法種數(shù)為：，故填：．考點(diǎn)：排列組合綜合應(yīng)用．16、必要不充分【解題分析】

解出的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.【題目詳解】，或“”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【題目點(diǎn)撥】本題考查充分、必要條件充分、必要條件的三種判斷方法:(1)定義法：根據(jù)進(jìn)行判斷．(2)集合法：根據(jù)成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解題分析】分析：（1）以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PE⊥BC；（2）求出平面PEH的法向量和＝(1,0，－1)，利用向量法能求出直線PA與平面PEH所成角的正弦值．詳解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，(1)證明：設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因?yàn)椤ぃ剑?＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.18、（1）；（2）所有可能的取值為、、、，.【解題分析】

（1）計(jì)算出三名同學(xué)考核均為合格的概率，利用對(duì)立事件的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）根據(jù)題意得出所有可能的取值為、、、，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率計(jì)算公式能求出．【題目詳解】（1）由題意知，三名同學(xué)考核均為合格的概率為，因此，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率為；（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值有、、、，則，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中等題．19、（1）；（2）；（3），【解題分析】

（1）令由得進(jìn)而求解；（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求解；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．【題目詳解】（1）令，則，解得，即（2）由（1）知，，在上單調(diào)遞增，，，解得或（舍。（3），即令，，由和函數(shù)圖象可知，對(duì)，恒成立，，在，為增函數(shù)，且圖象是由向右平移3個(gè)單位得到的，所以在，恒成立，只需，即，的取值范圍為，.【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)型不等式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、不等式恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.20、（1），，；（2），證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項(xiàng)公式（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即由（1）知即證當(dāng)時(shí)命題成立；由①②可證成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列的通項(xiàng)公式.21、（I）；（II）最大值為，最小值為.【解題分析】試題分析：（I）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，得橢圓的參數(shù)方程為，消去參數(shù)即得直線的普通方程為；（II）關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系．過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線，垂足為，則在中，，故將的最大值與最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)，到定直線的最大值與最小值問(wèn)題處理．試題解析：（I）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線的普通方程為．（II）曲線C上任意一點(diǎn)到的距離為．則．其中為銳角，且．當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為．當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為．【考點(diǎn)定位】