2024屆河南省鄭州市第五中學高二數(shù)學第二學期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆河南省鄭州市第五中學高二數(shù)學第二學期期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一次數(shù)學考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．設(shè)為方程的解.若，則n的值為（）A．1 B．2 C．3 D．43．“因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，而函數(shù)是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱”.在上述演繹推理中，所以結(jié)論錯誤的原因是（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．大前提與推理形式都錯誤4．如圖，向量對應(yīng)的復數(shù)為，則復數(shù)的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．5．函數(shù)，則在點處的切線方程為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖像為曲線C，若曲線C存在與直線垂直的切線，則實數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．7．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x34y12對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是A． B． C． D．8．已知某隨機變量的概率密度函數(shù)為則隨機變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．9．設(shè)為虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則（）．A．2 B．-2 C． D．10．已知函數(shù)的圖象如圖，設(shè)是的導函數(shù)，則（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，m,n滿足m<n且f(m)=n-m，f(n)=m-nA．f(x)+x<n B．f(x)+x>mC．f(x)-x<0 D．f(x)-x>012．已知函數(shù)有兩個不相同的零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在圓中：半徑為的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，最大值為.類比到球中：半徑為的球的內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，最大值為__________．14．設(shè)空間兩直線、滿足（空集），則直線、的位置關(guān)系為________15．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若，且，則數(shù)列的公比__________.16．已知曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，點到直線：的距離比到點的距離大2.（1）求點的軌跡的方程；（2）請指出曲線的對稱性，頂點和范圍，并運用其方程說明理由.18．（12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示，已知這100位顧客中一次購物量超過7件的顧客占.一次購物量1至3件4至7件8至11件12至15件16件及以上顧客數(shù)（人）272010結(jié)算時間（/人）0.511.522.5（1）確定，的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；（2）從收集的結(jié)算時間不超過的顧客中，按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求至少有1人的結(jié)算時間為的概率.（注：將頻率視為概率）19．（12分）某手機代工廠對生產(chǎn)線進行升級改造評估，隨機抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進行對比，改造前、后手機產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關(guān)：手機產(chǎn)量部手機產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）.參考公式：隨機變量的觀測值計算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）已知函數(shù)（且）的圖象過定點P，且點P在直線（，且）上，求的最小值．21．（12分）等差數(shù)列的前項和為，求數(shù)列前項和.22．（10分）已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）記與的面積分別為和，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

通過假設(shè)法來進行判斷?！绢}目詳解】假設(shè)甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設(shè)乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設(shè)成立，第一名是丙。本題選C?！绢}目點撥】本題考查了推理能力。解決此類問題的基本方法就是假設(shè)法。2、B【解題分析】

由題意可得，令，由，可得，再根據(jù)，即可求解的值.【題目詳解】有題意可知是方程的解，所以，令，由，所以，再根據(jù)，可得，故選B.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，以及函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，其中解答中合理吧方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，利用零點的判定定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】分析：因為函數(shù)不是偶函數(shù)，是一個非奇非偶函數(shù)，所以小前提錯誤.詳解：因為,所以，所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，所以小前提錯誤.故答案為：B.點睛：本題主要考查演繹推理中的三段論和函數(shù)奇偶性的判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平.4、B【解題分析】

由已知求得，代入，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】解：由圖可知，，，復數(shù)的共軛復數(shù)是．故選：．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】分析：先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：因為，所以所以切線方程為選A.點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.6、A【解題分析】

求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義以及直線垂直的等價條件，轉(zhuǎn)化為有解，即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意，函數(shù)的導數(shù)，若曲線C存在與直線垂直的切線，則切線的斜率為，滿足，即有解，因為有解，又因為，即，所以實數(shù)的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及方程的有解問題，其中解答中把曲線存在與直線垂直的切線，轉(zhuǎn)化為有解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.7、D【解題分析】

根據(jù)的數(shù)值變化規(guī)律推測二者之間的關(guān)系，最貼切的是二次關(guān)系.【題目詳解】根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以得出，近似增加一個單位時，的增量近似為2.5，3.5，4.5，6，比較接近，故選D.【題目點撥】本題主要考查利用實驗數(shù)據(jù)確定擬合曲線，求解關(guān)鍵是觀察變化規(guī)律，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).8、B【解題分析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【題目詳解】由隨機變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．【題目點撥】隨機變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機變量在這一區(qū)間上概率．9、D【解題分析】

整理得：，由復數(shù)為純虛數(shù)列方程即可得解．【題目詳解】因為又它是純虛數(shù)，所以，解得：故選D【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的除法運算，還考查了復數(shù)的相關(guān)概念，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

由題意，分析、、所表示的幾何意義，結(jié)合圖形分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義：表示函數(shù)在處切線的斜率，表示函數(shù)在處切線的斜率，，為點和點連線的斜率，結(jié)合圖象可得：，故選：D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，涉及直線的斜率比較，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

設(shè)A(m,n-m)，B(n,m-n)，求出直線AB的方程，根據(jù)f(x)的開口方向可得到f(x)與直線AB【題目詳解】設(shè)A(m,n-m)，B(n,m-n)，則直線AB的方程為y=-2x+m+n，即A,B為直線y=-2x+m+n與f(x)的圖像的兩個交點，由于f(x)圖像開口向上，所以當m<x<n時，f(x)<-2x+m+n，即f(x)+x<-x+m+n<n【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，求出AB直線是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，邏輯推理能力及計算能力，難度中等.12、C【解題分析】

對函數(shù)求導得，當時，原函數(shù)單調(diào)遞增，不能有兩個零點，不符合題意，當時，為最小值，函數(shù)在定義域上有兩個零點，則，即，又，則在上有唯一的一個零點，由，那么，構(gòu)造新函數(shù)，求導可得g(a)單調(diào)性，再由，即可確定f(x)在上有一個零點，則a的范圍可知．【題目詳解】函數(shù)的定義域為，且.①當時，成立，所以函數(shù)在為上增函數(shù)，不合題意；②當時，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；當時，，所以函數(shù)在上為減函數(shù).此時的最小值為，依題意知，解得.由于，，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上有唯一的一個零點.又因為，所以.，令，當時，，所以.又，函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷，所以函數(shù)在上有唯一的一個零點.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選C.【題目點撥】本題考查已知函數(shù)有兩個不同零點，利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．通過求導逐步縮小參數(shù)a的范圍，題中為的最小值且，解得，，先運用零點定理確定點a右邊有唯一一個零點，同理再通過構(gòu)造函數(shù)，求導討論單調(diào)性的方法確定點a左邊有另一個唯一一個零點，最終得出參數(shù)范圍，題目有一定的綜合性．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當邊長等于時，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，棱長為詳解：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當邊長時，解得時，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，當棱長,解得時，正方體的體積為點睛：類比推理，理會題意抓住題目內(nèi)在結(jié)構(gòu)相似的推導過程，不要僅模仿形式上的推導過程。14、平行或異面【解題分析】

根據(jù)空間線線的位置關(guān)系判斷即可.【題目詳解】解：因為，則直線、沒有交點，故直線、平行或異面.故答案為：平行或異面.【題目點撥】本題考查空間線線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.15、2【解題分析】

本題可以點把轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于公比的一元二次方程，再根據(jù)遞增數(shù)列得出結(jié)論?！绢}目詳解】，或因為等比數(shù)列為遞增數(shù)列所以【題目點撥】要注意一個遞增的等比數(shù)列，它的公比大于1。16、【解題分析】

由題意可得直線的斜率為，再由垂直可得曲線在處的切線斜率為，對曲線求導令導函數(shù)為可得的值.【題目詳解】解：直線的斜率為,可得曲線在處的切線為，，當，，可得，可得，故答案：.【題目點撥】本題考查了直線與直線的垂直關(guān)系及導函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用、導數(shù)的計算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）對稱性：曲線關(guān)于軸對稱；頂點：；范圍：曲線在直線右側(cè)，且右上方和右下方無限延伸.理由見解析【解題分析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意列出等量關(guān)系，化簡整理，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)由拋物線向右平移一個單位得到，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）由題意可得：動點到直線的距離與到的距離相等，設(shè)，則，化簡整理，可得，所以點的軌跡的方程為；（2）由（1）得的方程為；即由拋物線向右平移一個單位得到；所以曲線也關(guān)于軸對稱，頂點為，范圍為，.【題目點撥】本題主要考查求軌跡方程，以及軌跡的性質(zhì)，熟記軌跡方程的求法，以及拋物線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.18、（1），，；（2）【解題分析】

（1）由條件可得，從而可求出，的值，再計算顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值

（2）結(jié)算時間不超過的顧客有45人，則按分層抽樣抽取5人，從結(jié)算時間為的人中抽取2人，從結(jié)算時間為的人中抽取3人，列舉出基本事件數(shù)，再列舉出至少有1人結(jié)算時間為所包含基本事件數(shù)，用古典概率可求解.【題目詳解】解：（1）由已知得，∴，，∴.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，

所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，

顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，

其估計值為.（2）結(jié)算時間不超過共有45人，其中結(jié)算時間為的有18人，

結(jié)算時間為的有27人，

結(jié)算時間為的人數(shù)：結(jié)算時間為的人數(shù)，

則按分層抽樣抽取5人，從結(jié)算時間為的人中抽取人，

從結(jié)算時間為的人中抽取人.記抽取結(jié)算時間為的2人分別為，，

抽取結(jié)算時間為的3人分別為，，，

表示抽取的兩人為，，基本事件共有10個：，，，，，，

，，，.記至少有1人結(jié)算時間為為事件，包含基本事件共有7個：，，，，，，，∴，故至少有1人結(jié)算時間為的概率.【題目點撥】本題考查統(tǒng)計中求平均數(shù)和分層抽樣以及用古典概率公式計算概率,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）0.1（2）有的把握認為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關(guān)，詳見解析（3）（百部）【解題分析】

（1）由改造前的頻率分布直方圖計算前五個小長方形的面積即可得到答案．（2）由頻率分布直方圖補充表格，計算隨機變量的觀測值與臨界值表中的數(shù)據(jù)比較即可得結(jié)論．（3）先估計中位數(shù)所在區(qū)間，然后利用中位數(shù)左右兩側(cè)長方形面積相等列式計算即可．【題目詳解】解：（1）改造前手機產(chǎn)量低于5000部的頻率為，