新教材2023版高中數學第三章圓錐曲線的方程專項培優(yōu)章末復習課學生用書新人教A版選擇性必修第一冊

專項培優(yōu)③章末復習課考點一圓錐曲線的定義與標準方程(1)解決這類問題的關鍵是準確把握圓錐曲線的定義和標準方程．(2)通過對圓錐曲線的定義與標準方程的學習，提升學生的直觀想象、數學運算素養(yǎng)．例1(1)若雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距為25A．x24－y2＝1B．x2－yC．x24-y216(2)設F1，F2是橢圓4x249+y26＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PFA．22B．42C．4D．6(3)已知△ABC三個頂點都在拋物線x2＝8y上，且F為拋物線的焦點，若AF＝13(AB+AC)，則|AF|＋|BF|＋|CFA．6B．8C．10D．12考點二圓錐曲線的幾何性質(1)分析圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關系是求解圓錐曲線性質問題的關鍵．(2)通過對圓錐曲線幾何性質的學習，提升學生的邏輯推理、數學運算素養(yǎng)．例2(1)已知橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左頂點和上頂點分別為A，B，若AB的垂直平分線過EA．63B．33C．23(2)(多選)已知F1，F2為雙曲線C：x24-y2b2＝1(b>0)的左、右焦點，FA．|PF1|＝4B．雙曲線的離心率e＝5C.S△D．漸近線方程為y＝±12(3)邊長為1的等邊三角形AOB中，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是________．考點三直線與圓錐曲線的綜合問題角度1定點問題(1)求解直線和曲線過定點問題的基本解題模板是：把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對變量的任意一個值都成立，這時變量的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．(2)通過對圓錐曲線中的定點問題的學習，提升學生的數學建模、邏輯推理、數學運算素養(yǎng)．例3已知圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點(1，32)(1)經過點M(1，12)作一直線l1交橢圓于AB兩點，若點M為線段AB的中點，求直線l1(2)設橢圓C的上頂點為P，設不經過點P的直線l2與橢圓C交于C，D兩點，且PC·PD＝0，求證：直線l2過定點．角度2定值問題(1)解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或某些代數表達式的值，和題目中的變量無關，始終是一個確定的值，對于定值問題常見的解題模板有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再研究一般情況．同時，要掌握巧妙利用特殊值解決相關的定點、定值問題的方法，如將過焦點的弦特殊化，變成垂直于對稱軸的弦來研究等．(2)通過對圓錐曲線中的定值問題的學習，提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算素養(yǎng)．例4設點P為雙曲線E：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上任意一點，雙曲線E的離心率為3，右焦點與橢圓(1)求雙曲線E的標準方程；(2)過點P作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點A，B，求證：平行四邊形OAPB的面積為定值，并求出此定值．角度3最值問題(1)構建關于變量的目標函數，轉化為求函數的值域或最值，常利用二次函數的相關知識或基本不等式求解．面積、弦長、含變量的代數式的最值問題，常選用此法，解決問題時要注意自變量的取值范圍．(2)通過對圓錐曲線中的最值問題的學習，提升學生的數學建模、邏輯推理、數學運算素養(yǎng)．例5在平面直角坐標系xOy中，點A(12，1)在拋物線C：y2＝2px(1)求p的值；(2)若直線l與拋物線C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，y1y2<0，且OP·OQ＝3，求|y1|＋2|y2|的最小值．章末復習課考點聚焦·分類突破例1解析：(1)雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距為25，故2c且漸近線經過點(1，－2)，故－ba＝－2，故a＝1，b＝2，雙曲線方程為：x2－y2(2)易知a2＝494，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝254，a＝72，即c由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝7，又因為|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝5，所以△PF1F2為直角三角形，所以S△PF1F2＝12(3)由x2＝8y得焦點F(0，2)，準線方程為y＝－2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由AF＝13(AB+AC)得(－x1，2－y1)＝13(x2－x1，y2－y1)＋13(x3－x1，則2－y1＝13(y2－y1＋y3－y1)，化簡得y1＋y2＋y3＝6所以|AF|＋|BF|＋|CF|＝y1＋y2＋y3＋2×3＝6＋6＝12.答案：(1)B(2)D(3)D例2解析：(1)由題可知A(－a，0)，B(0，b)，C(0，－b)，因為AB的垂直平分線過E的下頂點C，所以|AC|＝|BC|，則a2+b2＝2b，解得：a＝3b，所以E的離心率e＝(2)如圖所示，雙曲線的左焦點為F1，右焦點為F2，由對稱性，取一條漸近線l：y＝b2x，F1關于漸近線的對稱點為P直線l與線段PF1的交點為A，連接PF2，因為點P與F1關于直線l對稱，則l⊥PF1，且A為PF1的中點，所以|AF1|＝b，|OA|＝a＝2，|PF2|＝2|AO|＝2a＝4，根據雙曲線的定義，有|PF1|－|PF2|＝2a＝4?|PF1|＝8，故A不正確；|PF1|＝8，即2b＝8?b＝4，所以e＝ca＝1+b2a2易知△F1PF2是以∠F1PF2為直角的直角三角形，所以S△F1PF2＝12×|PF1|×|PF2|＝12×4由于b＝4，所以漸近線方程為y＝±bax＝±2x，故D(3)設拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又A±32，12(不妨取點A在x軸上方)，則有14＝±32a，解得a＝±3答案：(1)A(2)BC(3)y2＝±36例3解析：(1)由題設橢圓的方程為x24+因為橢圓經過點1，32，所以14+34b所以橢圓的方程為x24＋y2設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1所以(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，由題得x1≠x2，所以(x1＋x2)＋4(y1＋y2)·y1-y所以2＋4×1×y1-y2x1-x2＝0，所以2＋∴kAB＝－12所以直線l1的斜率為－12(2)由題得P(0，1)當直線l2的斜率不存在時，不符合題意；當直線l2的斜率存在時，設直線l2的方程為y＝kx＋n(n≠1)，聯立方程組y=kx+nx24+y2=1，可得(4k2＋1)x2＋8knx＋所以Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，解得4k2＋1>n2①，設C(x3，y3)，D(x4，y4)，則x3＋x4＝－8kn4k2+1，x3x4因為PC·PD＝0，則(x3，y3－1)·(x4，y4－1)＝0，又y3＝kx3＋n，y4＝kx4＋n，所以(k2＋1)x3x4＋k(n－1)(x3＋x4)＋(n－1)2＝0③，由②③可得n＝1(舍)或n＝－35滿足條件①此時直線l2的方程為y＝kx－35故直線l2過定點0，例4解析：(1)c則a＝1，b＝2，c＝3.所以雙曲線E的標準方程為：x2－y22(2)設P點坐標為(x0，y0)，過P與漸近線平行的直線分別為l1，l2，方程分別為y－y0＝2(x－x0)，y－y0＝－2(x－x0)，聯立方程：y-y0同理可得：y-y0又漸近線方程為y＝±2x，則sin∠AOB＝22S?OAPB2=OA2OB又點P在雙曲線上，則2x02所以S?OAPB2＝1且此定值為22例5解析：(1)將A12，1代入拋物線C：y2解得：p＝1