剛體動(dòng)力學(xué)7.3碰撞0806

前言剛體的平面運(yùn)動(dòng)非慣性基下剛體動(dòng)力學(xué)碰撞剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)理論力學(xué)CAI版權(quán)所有,2000(c)上海交通大學(xué)工程力學(xué)系理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)碰撞2024/2/81理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)碰撞前言基本假設(shè)、恢復(fù)因數(shù)

碰撞中剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞2024/2/82理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)碰撞前言基本假設(shè)、恢復(fù)因數(shù)

碰撞中剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞2024/2/83理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)前言如一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物體，突然對(duì)其施加約束，物體的速度也會(huì)發(fā)生突變?cè)诹W(xué)上凡物體的速度或動(dòng)量發(fā)生突變的現(xiàn)象均稱為碰撞本節(jié)將根據(jù)動(dòng)力學(xué)的基本原理對(duì)碰撞現(xiàn)象進(jìn)行描述，討論碰撞運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律

剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/前言碰撞是物體運(yùn)動(dòng)的特殊形式特點(diǎn)是在很短的時(shí)間間隔內(nèi)物體的速度發(fā)生突然的變化如工程中的鍛鐵、打樁，生活中踢足球，捶釘子等2024/2/84理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/前言兩物體發(fā)生碰撞的時(shí)間間隔在千分之一到萬分之一秒之間在碰撞的時(shí)間間隔內(nèi)，速度有很大的變化故物體的加速度極大在碰撞的時(shí)間間隔內(nèi)，物體相互的作用力非常大這種在短暫時(shí)刻發(fā)生遠(yuǎn)大于普通力的力稱為碰撞力在巨大的碰撞力作用下，物體肯定產(chǎn)生變形，同時(shí)會(huì)發(fā)生聲、光與熱等物理現(xiàn)象。說明碰撞的物理現(xiàn)象很復(fù)雜碰撞過程中將有一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他運(yùn)動(dòng)形式的能量，機(jī)械能不守恒2024/2/85理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)碰撞前言基本假設(shè)、恢復(fù)因數(shù)

碰撞中剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞2024/2/86理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)基本假定、恢復(fù)因數(shù)在理論力學(xué)中不考慮碰撞時(shí)間間隔內(nèi)的所有物理過程主要討論在碰撞力的作用下物體在碰撞前后的速度的變化

剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)2024/2/87理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)基本假定1不考慮碰撞時(shí)間間隔中碰撞力的變化剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)碰撞的時(shí)間間隔碰撞力對(duì)物體的作用直接用碰撞力的沖量來描述碰撞力的沖量稱為碰撞沖量2024/2/88理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)基本假定2通常碰撞力是物體的普通作用力(如重力、彈性力等)的數(shù)百倍或數(shù)千倍在討論碰撞的效應(yīng)時(shí)只考慮碰撞力，其他的相互作用力均忽略

剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)2024/2/89理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)基本假定3由于碰撞的時(shí)間間隔t非常短，質(zhì)點(diǎn)的位移、剛體的位形變化非常小，而忽略不計(jì)，只考慮它們的速度的變化盡管該位形的變化很小，由于碰撞力很大，故碰撞力所作的功為一有限值，不能忽略剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)2024/2/810理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)正碰撞碰撞前后兩球中心的速度與兩中心連線重合稱為正碰撞接觸變形階段變形恢復(fù)階段正碰撞的兩個(gè)階段各階段位形不變剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)2024/2/811理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)動(dòng)量定理的積分形式接觸變形階段變形恢復(fù)階段2024/2/812理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)恢復(fù)因數(shù)接觸變形階段沖量變形恢復(fù)階段沖量牛頓認(rèn)為這兩個(gè)碰撞沖量的比為常數(shù)，且該常數(shù)與碰撞物體的材料性質(zhì)有關(guān)，與物體的形狀、大小與碰撞前的速度無關(guān)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)2024/2/813理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)未知量個(gè)數(shù)=方程數(shù)無恢復(fù)因數(shù)的條件無法解2024/2/814理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)恢復(fù)因數(shù)等于碰撞前后兩物體相對(duì)速度的絕對(duì)值之比剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)2024/2/815理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)e=0e=1變形不恢復(fù)變形完全恢復(fù)完全塑性碰撞完全彈性碰撞剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)接觸變形階段變形恢復(fù)階段相碰撞的材料鐵/鉛木/橡皮木/木鐵/鐵玻璃/玻璃恢復(fù)

因數(shù)0.140.260.500.560.942024/2/816理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)碰撞前后的機(jī)械能損失碰撞前后有機(jī)械能損失e=0：完全塑性碰撞e=1：完全彈性碰撞損失為零損失最大碰撞前后勢(shì)能不變假定：碰撞前后剛體位形變化忽略不計(jì)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/基本假定恢復(fù)因數(shù)2024/2/817理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)碰撞前言基本假設(shè)、恢復(fù)因數(shù)

碰撞中剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞2024/2/818理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)碰撞中剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的碰撞問題剛體平面運(yùn)動(dòng)的碰撞問題剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化2024/2/819理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的碰撞問題剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化慣性基連體基運(yùn)動(dòng)分析受力分析碰撞理想約束力對(duì)無貢獻(xiàn)在點(diǎn)Pk的碰撞主動(dòng)力對(duì)有貢獻(xiàn)姿態(tài)坐標(biāo)其他非碰撞主動(dòng)力不計(jì)利用對(duì)定軸動(dòng)量矩定理的積分形式對(duì)定軸動(dòng)量矩2024/2/820理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體碰撞前后對(duì)該軸動(dòng)量矩的改變等于主動(dòng)碰撞力的沖量對(duì)該軸的矩之和假定(3)：碰撞前后剛體位形變化忽略不計(jì)與時(shí)間無關(guān)

沖量對(duì)點(diǎn)O的矩

2024/2/821理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/例[例]以速度為v0勻速運(yùn)動(dòng)的小車上有一邊長為l的方塊。當(dāng)小車突然停住時(shí)，方塊將繞底面的O點(diǎn)翻轉(zhuǎn)求此時(shí)方塊翻轉(zhuǎn)的角速度與方塊能量的損耗2024/2/822理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解[解]慣性基運(yùn)動(dòng)分析突變碰撞前瞬時(shí)滑塊的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O

的動(dòng)量矩碰撞后瞬時(shí)對(duì)點(diǎn)O

的動(dòng)量矩滑塊的平動(dòng)繞O的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)定正向沖量分析鉸O2024/2/823理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解滑塊的平動(dòng)繞O的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)突變滑塊的動(dòng)能機(jī)械能的改變碰撞前瞬時(shí)碰撞后瞬時(shí)2024/2/824理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)平面運(yùn)動(dòng)的碰撞問題剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化慣性基連體基運(yùn)動(dòng)分析受力分析碰撞理想約束力在點(diǎn)Pk的碰撞外力碰撞主動(dòng)力碰撞前瞬時(shí)碰撞后瞬時(shí)質(zhì)心速度剛體角速度質(zhì)心速度剛體角速度動(dòng)量對(duì)C

的動(dòng)量矩動(dòng)量對(duì)C

的動(dòng)量矩包括2024/2/825理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化動(dòng)量定理的積分形式在點(diǎn)Pk的碰撞外力碰撞前瞬時(shí)質(zhì)心速度碰撞后瞬時(shí)質(zhì)心速度動(dòng)量動(dòng)量2024/2/826理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩的積分形式假定(3)：碰撞前后剛體位形變化忽略不計(jì)與時(shí)間無關(guān)

在點(diǎn)Pk的碰撞外力碰撞前瞬時(shí)碰撞后瞬時(shí)剛體角速度對(duì)C

的動(dòng)量矩2024/2/827理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體平面運(yùn)動(dòng)碰撞前后的動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化2024/2/828理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體平面運(yùn)動(dòng)碰撞前后的動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化對(duì)任意動(dòng)點(diǎn)D：?×√2024/2/829理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體平面運(yùn)動(dòng)碰撞前后的動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化對(duì)任意動(dòng)點(diǎn)D：2024/2/830理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化剛體平面運(yùn)動(dòng)碰撞前后的動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化對(duì)任意動(dòng)點(diǎn)D：2024/2/831理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/例[例]均質(zhì)桿OA質(zhì)量為m1，長為l，一端O由鉸鏈與機(jī)座相連。從水平位置下落，在鉛垂位置桿的另一端A撞擊一質(zhì)量為m2的方塊設(shè)點(diǎn)A與方塊的質(zhì)心C2在同一水平線上已知恢復(fù)因數(shù)為e求撞擊后桿的角速度與方塊的速度，桿對(duì)方塊的沖量2024/2/832理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解[解]慣性基桿由水平位置碰撞發(fā)生前桿的角速度勢(shì)能鉛垂位置重力機(jī)械能守恒動(dòng)能零勢(shì)面約束力不作功（1）撞擊后桿的角速度與方塊的速度2024/2/833理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)碰撞分析滑塊平動(dòng)桿角速度碰撞前瞬時(shí)碰撞后瞬時(shí)滑塊速度桿角速度滑塊速度沖量分析（桿滑塊系統(tǒng)）其他非碰撞力不計(jì)鉸O約束力沖量重力、摩擦力、滑塊的約束力設(shè)定正向設(shè)定正向設(shè)定正向2024/2/834理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解碰撞前后瞬時(shí)鉸O約束力沖量系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩2024/2/835理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解未知量(2)>方程數(shù)(1)附加方程恢復(fù)因數(shù)定義2024/2/836理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解（2）桿對(duì)滑塊的沖量碰撞前瞬時(shí)碰撞后瞬時(shí)滑塊速度滑塊速度動(dòng)量定理的積分形式2024/2/837理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解1．如圖所示，滑塊與桿AB鉸接，靜止放在光滑的水平面上。小球D以垂直于桿的速度v與桿AB的端點(diǎn)B發(fā)生碰撞?；謴?fù)因數(shù)為e=0.5?；瑝K與桿AB的質(zhì)量均為m，小球D的質(zhì)量為2m。求：（1）碰撞后滑塊A的速度和桿AB的角速度。（2）A處的約束沖量。vABD2024/2/838理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解1．如圖所示，滑塊與桿AB鉸接，靜止放在光滑的水平面上。小球D以垂直于桿的速度v與桿AB的端點(diǎn)B發(fā)生碰撞?；謴?fù)因數(shù)為e=0.5。滑塊與桿AB的質(zhì)量均為m，小球D的質(zhì)量為2m。求：（1）碰撞后滑塊A的速度和桿AB的角速度。（2）A處的約束沖量。vABD碰撞后瞬時(shí)滑塊速度解：速度分析碰撞前瞬時(shí)滑塊速度桿的角速度小球速度假定正向桿的角速度假定正向小球速度假定正向還需分析碰撞前后AB桿質(zhì)心和碰撞點(diǎn)B的速度碰撞前碰撞后2024/2/839理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解碰撞后瞬時(shí)速度分析碰撞前瞬時(shí)沖量分析A處鉸鏈B處碰撞2024/2/840理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解碰撞后瞬時(shí)速度分析碰撞前瞬時(shí)未知量2024/2/841理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/例[例]質(zhì)量為m，長為l的兩均質(zhì)桿OA與AB，以鉸A相連，一端O由鉸鏈與機(jī)座相連現(xiàn)在桿AB的質(zhì)心C2作用一水平?jīng)_量I求撞擊后兩桿的角速度與C2的速度2024/2/842理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解[解]慣性基以O(shè)A為對(duì)象定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析鉸O與A理想約束力沖量沖量分析設(shè)定正向?qū)c(diǎn)O的動(dòng)量矩定理的積分形式2024/2/843理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解以AB為對(duì)象平面一般運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析鉸A理想約束力沖量沖量分析設(shè)定正向?qū)c(diǎn)C的動(dòng)量矩定理的積分形式動(dòng)量定理的積分形式2024/2/844理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解未知量(4)>方程數(shù)(3)附加方程速度約束條件對(duì)于OA對(duì)于ABA為共點(diǎn)2024/2/845理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解，，約束有沖量2024/2/846理論力學(xué)CAI剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)/碰撞/剛體動(dòng)量與動(dòng)量矩的變化/解長為l的均質(zhì)桿OA和長為l的均質(zhì)桿AB用鉸鏈連接，如圖所示。桿AB在B端的銷子可以在鉛垂滑槽內(nèi)無摩擦滑動(dòng)。桿OA和AB的質(zhì)量均為m。初始系統(tǒng)靜止。求在桿AO的中點(diǎn)處作用垂直沖量I后，桿OA和AB的角速度。2024/2/8