八年級數(shù)學(xué)上冊專題13.1 軸對稱+專題13.2 畫軸對稱圖形（教師版）

專題13.1軸對稱+專題13.2畫軸對稱圖形目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.理解軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的概念，弄清他們之間的區(qū)別與聯(lián)系；2.掌握軸對稱的性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題；3.理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定；4.會用尺規(guī)作出線段的垂直平分線，能運(yùn)用線段的垂直平分線解決實(shí)際問題。知識精講知識精講知識點(diǎn)01軸對稱及其性質(zhì)【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的定義：一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.注意：軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫對稱點(diǎn)

注意：軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.軸對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)

軸對稱的性質(zhì)：若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．【知識拓展1】辨別軸對稱圖形例1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）下列四幅照片中，主體建筑的構(gòu)圖不對稱的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、主體建筑的構(gòu)圖對稱，故本選項(xiàng)不符合題意；B、主體建筑的構(gòu)圖不對稱，故本選項(xiàng)符合題意；C、主體建筑的構(gòu)圖對稱，故本選項(xiàng)不符合題意；D、主體建筑的構(gòu)圖對稱，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·海南·八年級期末）2022年冬奧會在北京舉行，以下歷屆冬奧會會徽是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對稱軸位置．【知識拓展2】生活中的軸對稱（鏡面、剪紙等）例2．（2022·河北八年級期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【答案】B【分析】利用軸對稱畫圖可得答案．【詳解】解：如圖所示，，球最后落入的球袋是2號袋，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫出圖形．【即學(xué)即練】1．（2022·江西上饒·八年級期末）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．將一張正方形紙片按圖1，圖2中的方式沿虛線依次對折后，再沿圖3中的虛線裁剪，最后將圖4中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】依據(jù)翻折變換，將圖4中的紙片按順序打開鋪平，即可得到一個圖案．【詳解】解：將圖4中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是：故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了剪紙問題，解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到對稱軸．一般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．2．（2022·浙江溫州·一模）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號和電梯運(yùn)行方向．當(dāng)電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為______．【答案】15【分析】根據(jù)鏡面成像的原理：左右相反，即可得到答案．【詳解】解：由鏡面成像的原理可知電梯所在的樓層為15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鏡面成像，熟知鏡面成像的原理是解題的關(guān)鍵．【知識拓展3】利用軸對稱的性質(zhì)求角度（長度）例3．（1）（2022·河南·八年級階段練習(xí)）如圖，和關(guān)于直線AB對稱，和關(guān)于直線AC對稱，CD與AE交于點(diǎn)F，若，，則的度數(shù)為________．【答案】105°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得∠DAE和∠EAC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠CFE．【詳解】解：∵，，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=135°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知∠BAE=∠DAC=∠BAC=135°，∠DCA=∠ACB=15°，∴∠DAE=∠BAE+∠DAC+∠BAC-360=45°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=90°，∴．故答案為：105°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握軸對稱圖形對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．（2）（2022?，綿陽市八年級期末）如圖所示，點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對稱點(diǎn)分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周長為8cm，則CD為cm．【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知PM＝CM，PN＝DN，再由△PMN的周長為8cm，即可求得CD的長度．【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對稱點(diǎn)分別為C、D，∴PM＝CM，PN＝DN，∴PN+PN+MN＝CM+DN+MN，∴△PMN的周長＝CD，∵△PMN的周長為8cm，∴CD＝8cm，故答案為：8．【即學(xué)即練】1.（2022?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點(diǎn)D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝°．【分析】根據(jù)∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．【解答】解：∵△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案為：72．2.（2022?深圳模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到：AD＝DE，AC＝CE，結(jié)合已知條件和三角形周長公式解答．【解答】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周長＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故選：B．知識點(diǎn)02垂直平分線的性質(zhì)與判定【知識點(diǎn)】定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．注意：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.【知識拓展1】利用垂直平分線求角度（長度）例1.（1）（2022?成都市高新區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，連接AE、AF，若△AEF的周長為2，則BC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．無法確定【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)三角形的周長公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周長＝2．故選：A．（2）（2022?綿陽市八年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．80°【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA＝OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出答案即可．【解答】解：連接OA，∵點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，∵∠BOC＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，即∠BAC＝50°，∵點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠α＝180°﹣130°＝50°，故選：C．【即學(xué)即練1】1.（2022·江蘇淮安·八年級期中）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線交于點(diǎn)D，連接．若，，則的周長為（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，進(jìn)而可得△ACD的周長．【詳解】解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周長=CD+AD+AC=4+10=14，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．2．（2022·天津八年級期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r，的大小=____（度）．【答案】50【分析】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，可知此時最小，此時，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．【詳解】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．【知識拓展2】線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例2．（2022·山西晉中·八年級期中）2022年左權(quán)縣將傾力打造澤城村“中國北方國際寫生基地”，實(shí)現(xiàn)“山水-寫生-消費(fèi)-產(chǎn)業(yè)“的全鏈條發(fā)展，為方便百姓利用直播帶貨，助推家鄉(xiāng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，中國移動通信公司已經(jīng)資助建設(shè)5G直播倉。目前，政府為更好地服務(wù)農(nóng)民，將在村莊A、B、C之間的空地上新建一座倉庫P．已知A、B、C恰好在三條公路的交點(diǎn)處，要求倉庫Р到村莊A、B、C的距離相等，則倉庫P應(yīng)選在（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵倉庫Р到村莊A、B、C的距離相等，∴倉庫P應(yīng)選在三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)距離相等，是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022·山東濟(jì)南市·八年級期末）如圖，若記北京為地，莫斯科為地，雅典為地．若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到、、三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】A【分析】依題意，對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型化處理，需要尋找一個點(diǎn)，到三點(diǎn)的距離相等；結(jié)合三角形垂直平分線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題，對建立貨物中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地距離相等；進(jìn)行數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為：在△ABC中找一點(diǎn)到三點(diǎn)距離相等；依據(jù)三角形垂直平分線的性質(zhì)，可知，三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個點(diǎn)的距離相等；∴中轉(zhuǎn)倉位于三邊垂直平分線的交點(diǎn)；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形垂直平分線、角平分線、高線、中線的性質(zhì)，重點(diǎn)在掌握實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型化．【知識拓展3】線段的垂直平分線的判定例3．（2022.江蘇八年級期中）如圖，中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)P．（1）求證：．（2）點(diǎn)P是否也在邊的垂直平分線上？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得，PA=PB，PB=PC，則PA=PB=PC．（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，可得點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【詳解】解：（1）證明：∵邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．（2）∵PA=PC，∴點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：（1）線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等；（2）和一條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．【即學(xué)即練3】1．（2022·河南開封·一模）如圖，平面內(nèi)不共線三點(diǎn)A，B，C，操作如下：步驟1：連接BC，以點(diǎn)B為圓心，以CB的長為半徑畫?。徊襟E2：連接AC，以點(diǎn)A為圓心，以AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；步驟3：連接CD，且過A，B作直線則A，B一定在線段CD的垂直平分線上，依據(jù)是____________．【答案】線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理【分析】連接BD，AD，根據(jù)垂直平分線的判定即可解答；【詳解】解：如圖，連接BD，AD，∵AC=AD，BC=BD，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得：A，B一定在線段CD的垂直平分線上；故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理；【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．2．（2022?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點(diǎn)M交BE于點(diǎn)G，AD平分∠MAC，交BC于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F．求證：線段BF垂直平分線段AD．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝∠BAM，根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即線段BF垂直平分線段AD．【知識拓展4】線段的垂直平分線的作圖例4．（2022·廣東九年級期末）如圖，在中，．（1）作邊的垂直平分線，與，分別相交于點(diǎn)，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用基本作作圖，作線段AB的垂直平分線即可；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AE＝BE，則∠EAB＝∠B＝60°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠AEC的度數(shù)．【詳解】（1）分別以，為圓心，大于長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)；作經(jīng)過以上兩點(diǎn)的直線，分別交線段于，交于，直線即為所求．（2）解：是線段的垂直平分線，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．【即學(xué)即練4】4．（2022·西城區(qū)·八年級期中）小宇遇到了這樣一個問題：已知：如圖，，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，且滿足．求作：線段OB上的一點(diǎn)C，使的周長等于線段的長．以下是小宇分析和求解的過程，請補(bǔ)充完整：首先畫草圖進(jìn)行分析，如圖1所示，若符合題意得點(diǎn)C已經(jīng)找到，即得周長等于OB的長，那么由，可以得到．對于這個式子，可以考慮用截長得辦法，在BC上取一點(diǎn)D，使得，那么就可以得到．若連接AD，由．（填推理依據(jù)）．可知點(diǎn)C在線段AD得垂直平分線上，于是問題得解法就找到了．請根據(jù)小宇得分析，在圖2中完成作圖（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）．【答案】BC，DC，線段的垂直平分線的判定【分析】在線段BO上截取BD=OA，連接AD，作線段AD的垂直平分線交OD于點(diǎn)C，連接AC，△AOC即為所求．【詳解】解：如圖，△AOC即為所求．故答案為：BC，DC，線段的垂直平分線的判定．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．知識點(diǎn)03畫軸對稱圖形【知識點(diǎn)】若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．因此只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸．軸對稱圖形的對稱軸作法相同．關(guān)于x（y）軸對稱的兩個點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系：

已知P點(diǎn)坐標(biāo)，則它關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示：即關(guān)于軸的對稱的兩點(diǎn)，坐標(biāo)的關(guān)系是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．

已知P點(diǎn)坐標(biāo)為，則它關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，如上圖所示．

即關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系是：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【知識拓展1】關(guān)于x（y）軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)例1．（2022·新疆·八年級期末）已知點(diǎn)A(a，2)與點(diǎn)B(3，b)關(guān)于x軸對稱，則a+2b＝（

）A．-4 B．-1 C．-2 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出a、b，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A(a，2)與點(diǎn)B(3，b)關(guān)于x軸對稱，所以a=3，b=?2，∴a+2b=3+2×(?2)=-1．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【即學(xué)即練1】1．（2022·貴州·金沙縣八年級期末）若點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是，則m＋n的值是（

）A．4 B．－4 C．－2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)列式求出m，n，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是，∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，∴m＝－1，n＝－3，∴m＋n＝－1－3＝－4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【知識拓展2】軸對稱變換作圖例2．（2022·湖北荊門·八年級期中）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示：(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△AB1C1；并寫出B1的坐標(biāo)；(2)將△ABC向右平移8個單位，畫出平移后的△A1B2C2，并寫出B2的坐標(biāo)；(3)在（1）、（2）的基礎(chǔ)上，寫出△AB1C1與△A1B2C2有怎樣的位置關(guān)系？(4)在y軸上有一點(diǎn)P，使得PB+PC最小，請畫出點(diǎn)P；（用虛線保留畫圖的痕跡）(5)在y軸上有一點(diǎn)Q，使得QB－QC最大，請畫出點(diǎn)Q．（用虛線保留畫圖的痕跡）【答案】(1)作圖見解析，B1（3，2）(2)作圖見解析，B2（5，2）；(3)由圖可知△AB1C1與△A1B2C2關(guān)于直線x＝4對稱；(4)作圖見解析(5)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，順次連接，則△AB1C1即為所求，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)B1（的坐標(biāo)即可；（2）將點(diǎn)向右平移8個單位，得到，順次連接，則△A1B2C2即為所求，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)即可；（3）觀察圖形即可求解．（4）連接BC1，交y軸于點(diǎn)P，連接BC，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知則點(diǎn)P即為所求（5）延長BC交y軸于點(diǎn)Q，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得Q點(diǎn)即為所求（1）作圖見解析，B1（3，2）（2）作圖見解析，B2（5，2）；（3）由圖可知△AB1C1與△A1B2C2關(guān)于直線x＝4對稱；（4）作圖見解析連接BC1，交y軸于點(diǎn)P，連接BC，∵PC1=PC，PC+PB=PC1+PB≥BC1當(dāng)B，P，C1三點(diǎn)共線時，PB+PC最?。?）作圖見解析延長BC交y軸于點(diǎn)Q，∵QB-QC≤BC當(dāng)B，C，Q三點(diǎn)共線時，取得最大值【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，軸對稱作圖，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，軸對稱的性質(zhì)求最值，兩點(diǎn)之間線段最短求最值，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022·云南·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△．(2)請直接寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：．(3)求△ABC的面積．(4)在x軸上畫出點(diǎn)P，使QA＋QC最小．【答案】(1)見解析(2)（1，2）(3)4(4)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)（3）根據(jù)網(wǎng)格利用割補(bǔ)法即可求出△ABC的面積；（4）連接C交x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可使得QA＋QC最?。?）解：如圖所示，△即為所求；；（2）解：點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）；故答案為：（1，2）；（3）解：△ABC的面積=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；（4）解：如圖．點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．【知識拓展3】設(shè)計(jì)軸對稱圖案例3．（2022?武漢模擬）如圖，在5×5的小正方形網(wǎng)格中有4個涂陰影的小正方形，它們組成一個軸對稱圖形．現(xiàn)在移動其中一個小正方形到空白的小正方形處，使得新的4個陰影的小正方形組成一個軸對稱圖形，不同的移法有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種【分析】根據(jù)對稱性判斷出（2，三）的運(yùn)動方法，可得結(jié)論．【解答】解：移動（2，三）到（1，三），（3，三），（5，三），（5，二），（5，四）共5種不同的方法，故一共有4×5＝20（種）不同的方法，故選：D．【即學(xué)即練3】3．（2022?宛城區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)A、B、C都在方格紙的格點(diǎn)上．（1）若把線段BC平移后，對應(yīng)線段恰好為AM，請畫出線段AM；（2）請你再找一個格點(diǎn)D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個軸對稱圖形，并畫出對稱軸．（請分別在下圖及備用圖中盡可能多地設(shè)計(jì)出不同的圖形，格點(diǎn)D分別用D1、D2、D3、…表示）．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)作出圖形即可．（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，線段AM即為所求．（2）如圖，點(diǎn)D以及對稱軸，如圖所示．能力拓展能力拓展考法01利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊（翻折）問題【典例1】（2022·四川成都·七年級期中）把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊成圖①，再沿HF折疊成圖②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，則∠C''FE＝_______．【答案】【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，所以，接著再利用折疊的性質(zhì)得到，然后計(jì)算即可．【詳解】四邊形為長方形，，，，方形紙條沿折疊成圖①，，，長方形沿折疊成圖②，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．變式1．（2022·廣西防城港·八年級期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為、，若CD//BE，，則的度數(shù)是________．【答案】##30度【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可得到∠1=∠3=∠4=15°，進(jìn)而得出∠2=30°．【詳解】解：如圖，分別延長EB、DB到F，G，由于紙帶對邊平行，∴∠1=∠4=15°，∵紙帶翻折，∴∠3=∠4=15°，∴∠DBF=∠3+∠4=30°，∵CDBE，∴∠2=∠DBF=30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．變式2．（2022·浙江·浦江縣第五中學(xué)一模）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】第一次翻折可得，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折疊，可得，，由∠DCN=45°，可得，則，再求的周長即可．【詳解】如圖，第一次折疊，如圖②，，，，由折疊的性質(zhì)，，，第二次折疊，如圖③，，，，，，，，，的周長，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，對應(yīng)兩次翻折求出∠EDM=45°是解題的關(guān)鍵．考法02線段的垂直平分線的綜合運(yùn)用【典例2】（2022·石家莊九年級二模）如圖，在中，D為BC中點(diǎn)，交的平分線AE于E，于F，交AC的延長線于G．（1）求證：；（2）若，，求AF的長．【答案】（1）見解析；（2）4【分析】（1）連接BE、EC，證明即可；（2）證明，則，繼而求得的長【詳解】（1）證明：如圖，連接BE、EC，∵，D為BC中點(diǎn)，∴，∵，，且AE平分，∴，在和中，，（HL）∴．（2）解：在和中，，∴（HL），∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的證明，全等三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的周長為6．（1）與的數(shù)量關(guān)系為．（2）求的長．（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．【答案】（1）；（2）6；（3）5．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得；（2）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的周長公式、等量代換即可得；（3）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的周長公式可得，由此即可得出答案．【解析】（1）因?yàn)榈拇怪逼椒志€交于點(diǎn)，所以，故答案為：；（2）因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，是的垂直平分線，所以，，因?yàn)榈闹荛L為6，所以，所以；（3）因?yàn)槭沁叺拇怪逼椒志€，是邊的垂直平分線，所以，，因?yàn)榈闹荛L為16，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式等知識點(diǎn)，掌握理解垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式2．（2022?平頂山期中）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線DN交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)N，DF⊥AC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M．求證：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明；（2）證明△MDE≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵DN是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，在△MDE和△CAE中，，∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·江蘇南通·中考真題）下面由北京冬奧會比賽項(xiàng)目圖標(biāo)組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對稱軸位置．2．（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是(

)A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)光反射定律可知，反射光線、入射光線分居法線兩側(cè)，反射角等于入射角并且關(guān)于法線對稱，由此推斷出結(jié)果．【詳解】連接EF，延長入射光線交EF于一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作EF的垂線NM，如圖所示：由圖可得MN是法線，為入射角因?yàn)槿肷浣堑扔诜瓷浣牵谊P(guān)于MN對稱由此可得反射角為所以光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱中光線反射的問題，根據(jù)反射角等于入射角，在圖中找出反射角是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東棗莊·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若AE＝5，EC＝2，則BC的長是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝5，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝5，∴EB＝EA＝5，∴BC＝EB＋EC＝5＋2＝7，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．4.（2022?雁塔區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OB、OA的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，則∠MPN的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．120° D．140°【分析】首先證明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得結(jié)論．【解答】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)是P1，P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)是P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，∵∠AOB＝40°，∴∠P2PP1＝140°，∴∠P1+∠P2＝40°，∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，故選：B．5.（2022?惠來縣期末）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“進(jìn)一步精簡鄉(xiāng)鎮(zhèn)機(jī)構(gòu)和財政供養(yǎng)人員，積極穩(wěn)妥地調(diào)整鄉(xiāng)鎮(zhèn)建制，有條件的可實(shí)行并村”．《中共中央國務(wù)院關(guān)于積極發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)扎實(shí)推進(jìn)社會主義新農(nóng)村建設(shè)的若干意見》中明確提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點(diǎn)，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”．以上兩個政策出臺后，山東陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計(jì)劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處B．三個角的平分線的交點(diǎn)處 C．三角形三條高線的交點(diǎn)處D．三角形三條中線的交點(diǎn)處【分析】根據(jù)性的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵電動車充電樁到三個出口的距離都相等，∴充電樁應(yīng)該在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：A．6.（2022?扎蘭屯市期末）如果點(diǎn)A（m+2，m﹣1）在x軸上，那么點(diǎn)B（m+3，m﹣2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)點(diǎn)A（m+2，m﹣1）在x軸上，可求出m的值，進(jìn)而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)和所在的象限，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A（m+2，m﹣1）在x軸上，∴m﹣1＝0，即m＝1，∴m+3＝4，m﹣2＝﹣1，∴點(diǎn)B（4，﹣1），∴點(diǎn)B（4，﹣1）在第四象限，∴點(diǎn)B（4，﹣1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第一象限，故選：A．7．（2022·河南漯河市·）如圖，與關(guān)于直線對稱，下列判斷錯誤的是（）A．B．直線垂直平分線段C．D．【答案】D【分析】先根據(jù)對稱的性質(zhì)求得∠C，然后利用三角內(nèi)角和定理即可求得；再利兩個圖形成的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱∴∠C=∠C＇=30°∴,故A正確；∵與關(guān)于直線對稱∴直線垂直平分線段，，即B、C正確；的延長線交于一點(diǎn)且該點(diǎn)在對稱軸上，故D錯誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個圖形成軸對稱的性質(zhì)，掌握對應(yīng)邊的延長線交于一點(diǎn)且該點(diǎn)在對稱軸上是解答本題的關(guān)鍵．8.（2022?沙坪壩區(qū)校級期中）小明從鏡子中看到電子鐘顯示的時間是20：51，那么實(shí)際時間為．【分析】用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與20：51成軸對稱，所以此時實(shí)際時刻為12：05．故答案為：12：05．9．（2022·湖北·通山縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是________．【答案】20°##20度【分析】由題意根據(jù)∠CAB=180°-∠C-∠B和垂直平分線性質(zhì)，求出∠CAB，∠DAB進(jìn)而依據(jù)∠CAD=∠CAB-∠DAB求出即可．【詳解】解：∵∠C=100°，∠B=30°，∴∠CAB=180°-∠C-∠B=180°-100°-30°=50°，由作圖可知，MN垂直平分線段AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=50°-30°=20°.故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，三角形內(nèi)角和定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．10.（2022?道縣期末）在4×4的方格中有五個同樣大小的正方形（陰影）如圖擺放，移動標(biāo)號為①的正方形到空白方格中，使其與其余四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法有3種．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．【解答】解：如圖所示，新圖形是一個軸對稱圖形．故答案為：3．11.（2022?沭陽縣校級開學(xué)）如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根據(jù)線段的垂直平分線的判定證明結(jié)論．【解答】證明：連接PQ，在△BQP和△CRQ中，，∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．12．（2022·云南·三模）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．、、三點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）作出關(guān)于軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作出關(guān)于對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）圖見解析，；（2）圖見解析，【分析】（1）作點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)、、，得到，再寫出的坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)、、，得到，再寫出的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）如圖所示，；（2）如圖所示，．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形和點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握在平面直角坐標(biāo)系中畫軸對稱圖形的方法．13.（2022?碑林區(qū)校級期中）在△ABC中，∠C＞∠B、請用尺規(guī)作圖法，在AB上找一點(diǎn)P，使∠PCB＝∠B．（保留作圖痕跡，不寫作法．）【分析】作線段BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求作．題組B能力提升練1．（2022·四川宜賓·八年級期末）如圖，三條筆直的公路兩兩相交，交點(diǎn)分別在點(diǎn)A、B、C處，有兩戶村民分別在點(diǎn)D和點(diǎn)E處，現(xiàn)準(zhǔn)備建造一個蓄水池，要求水池到兩條公路AB、BC的距離相等，且到兩戶村民D、E的距離相等，則水池修建的位置應(yīng)該是（

）A．在∠B的平分線與DE的交點(diǎn)處B．在線段AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn)處C．在∠B的平分線與DE的垂直平分線的交點(diǎn)處D．在∠A的平分線與DE的垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到水池修建在∠ABC的平分線上，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到水池修建在DE的垂直平分線上，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：作∠ABC的平分線和DE的垂直平分線，它們相交于P點(diǎn)，如圖，則水池修建的位置應(yīng)該為P點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．2.（2022?石城縣模擬）如圖是由三個全等的菱形拼接而成的圖形，若平移其中一個菱形，與其他兩個菱形重新拼接（無覆蓋，有公共頂點(diǎn)），并使拼接成的圖形為軸對稱圖形，則平移的方式共有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：如圖，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得軸對稱圖形．把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得軸對稱圖形．共有8種方法．故選：D．3．（2022·江西·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F是DE上任意一點(diǎn)，△BCF的周長的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于，關(guān)于直線為對稱，所以和重合時，最小，最小值等于，即可求得的周長的最小值．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，關(guān)于直線為對稱，和重合時，最小，即的周長的最小值，是線段的垂直平分線，，的最小值，的最小周長，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．4．（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是∠BAC的平分線與線段AC的垂直平分線的交點(diǎn)，OD⊥AB于點(diǎn)D，OF⊥AC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC【答案】C【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，利用三角形全等的判定定理和性質(zhì)可得出，即可得出選項(xiàng)．【詳解】解∵在中，點(diǎn)O是的平分線與線段AC的垂直平分線的交點(diǎn)，OD⊥AB，OF⊥AC，∴，，故A、B選項(xiàng)成立；，，，在△AOD與△AOF中，，∴，同理可得：，∴，，，∴，∴，故D選項(xiàng)成立，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)，熟練掌握這些基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．5.（2022?錦江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BDA沿BD對折得到△BDE，若BE恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE【分析】由折疊的性質(zhì)直接判斷A；由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△EBF及△FBD≌△CBD，進(jìn)而得出BC＝BF，∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可判斷B；根據(jù)角的和差判斷C；再根據(jù)三角形的面積公式判斷D．【解答】解：如圖，延長ED交AB于點(diǎn)F，∵△BDA沿BD對折得到△BDE，∴△BDA≌△BDE，∴∠ABD＝∠DBE，DA＝DE，故A正確，不符合題意；由△BDA≌△BDE可知，∠A＝∠E，AB＝BE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（ASA），∴BC＝BF，在△FBD和△CBD中，，∴△FBD≌△CBD（SAS），∴∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDE＝2∠ABD，故B正確，不符合題意；∵∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+2∠ABD，∴∠BDE﹣∠ABD＝∠BDC+2∠ABD﹣∠ABD＝∠BDC+∠ABD＝∠BDC+∠DBC＝90°，故C正確，不符合題意；S△ABD?AB?DF，S△CDE?CE?CD，∴，故D錯誤，符合題意；故選：D．6．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，撐傘時，把傘“兩側(cè)的傘骨”和支架分別看作AB、AC和DB、DC，始終有AB=AC，DB=DC，請大家考慮一下傘桿AD所在的直線是B、C兩點(diǎn)的連線BC的____線．【答案】垂直平分【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理得出A、D都在線段BC的垂直平分線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線得出直線AD是線段BC的垂直平分線．【詳解】解：如圖，連接、，∵，∴點(diǎn)A在線段的垂直平分線上，點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，∴根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線得出直線是線段的垂直平分線，故答案為：垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．7．（2022·四川·成都七中階段練習(xí)）如圖，在長方形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，將長方形沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B落在平面內(nèi)的點(diǎn)處，其中折痕交邊所在直線于點(diǎn)F．若時，則____________．【答案】70°或110°【分析】分情況討論，分別根據(jù)折疊的性質(zhì)求出的大小，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：如圖1所示，由翻折性質(zhì)可得：，∵，∴，∴，又∵長方形中，∴，如圖2所示，由翻折性質(zhì)可得：，，∵，∴，∴，∴，∴，又∵長方形中，∴，綜上，為70°或110°，故答案為：70°或110°．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角的和差計(jì)算，正確畫出圖形分類求解是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC如圖放置，動點(diǎn)P從（0，3）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第5次碰到矩形的邊時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P第2014次碰到矩形的邊時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________．【答案】（1，4）；（5,0）【詳解】試題分析：如圖，根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P第5次碰到矩形的邊時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；（2）每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過6次反彈后動點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)（0，3），∵2014÷6=335…4，∴當(dāng)點(diǎn)P第2014次碰到矩形的邊時為第336個循環(huán)組的第4次反彈，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）．考點(diǎn)：1．探索規(guī)律題（圖形的變化類）；2．跨學(xué)科問題；3．點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2022·江蘇鹽城·三模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)為，∵是兩面互相平行的平面鏡，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)也為，又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線k與鏡面的夾角度數(shù)也為，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．10.（2022?雙流區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，動點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AC，BC對稱的點(diǎn)分別為P1，P2．則在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段P1P2的長的最小值是．【分析】連接CP，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到線段P1P2的長等于2CP，依據(jù)CP的最小值即可得出線段P1P2的長的最小值．【解答】解：如圖，連接CP，∵點(diǎn)P關(guān)于直線AC，BC對稱的點(diǎn)分別為P1，P2，∴P1C＝PC＝P2C，∴線段P1P2的長等于2CP，如圖所示，當(dāng)CP⊥AB時，CP的長最小，此時線段P1P2的長最小，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴CP4.8，∴線段P1P2的長的最小值是9.6，故答案為：9.6．11.（2022?博白縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解決問題；（2）只要證明AE＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD∠BAC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）證明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分線段EC，即直線AD是線段CE的垂直平分線．12．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1所示，S同學(xué)把一張6×6的正方形網(wǎng)格紙向上再向右對折兩次后按圖畫實(shí)線，剪去多余部分只留下陰影部分，然后展開攤平在一個平面內(nèi)得到了一幅剪紙圖案．T同學(xué)說：“我不用剪紙，我直接在你的圖1②基礎(chǔ)上，通過‘逆向還原’的方式依次畫出相應(yīng)的與原圖形成軸對稱的圖形也能得出最后的圖案．”畫圖過程如圖2所示．對于圖3中的另一種剪紙方式，請仿照圖2中“逆向還原”的方式，在圖4①中的正方形網(wǎng)格中畫出還原后的圖案，并判斷它與圖2中最后得到的圖案是否相同．答：□相同；□不相同．（在相應(yīng)的方框內(nèi)打勾）【答案】不相同．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可得結(jié)論．【詳解】如圖，在圖4①中的正方形網(wǎng)格中畫出了還原后的圖案，它與圖2中最后得到的圖案不相同．故答：不相同．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案、剪紙問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱性質(zhì)．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，已知，，，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為（如圖所示）．則下列結(jié)論：①②的周長等于7③④，其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到，繼而得到，根據(jù)題意，據(jù)此判斷①錯誤；由折疊的性質(zhì)得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周長為：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判斷②；設(shè)點(diǎn)D到AB的距離為h，根據(jù)三角形面積公式得到，可判斷③；設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為m，根據(jù)三角形面積公式得到，可判斷④．【詳解】解：沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，不垂直AB，故①錯誤；由折疊的性質(zhì)可知DC=DE，BE=BC=6的周長為：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正確；設(shè)點(diǎn)D到AB的距離為h，，故③正確；設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為m，，故④錯誤，故選：Ｂ．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形周長的求法、三角形的面積公式等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（2022·湖南婁底·一模）一平面鏡以與水平面成45°角固定在水平面上，如圖所示，一個小球以的速度沿桌面向點(diǎn)O勻速滾去，則小球在平面鏡中的像是（

）A．以的速度，做豎直向上運(yùn)動 B．以的速度，做豎直向下運(yùn)動C．以的速度運(yùn)動，水平向左運(yùn)動 D．以的速度，水平向左運(yùn)動【答案】B【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解，鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物關(guān)于鏡面OC對稱，形狀大小，平移的速度相同，方向直線O點(diǎn)．【詳解】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的小球與現(xiàn)實(shí)中的小球關(guān)于鏡面對稱，∵∠AOC=45，∴∠BOC=45°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，則小球在平面鏡中的像是以1m/s的速度，做豎直向下運(yùn)動，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考察鏡面對稱，解題關(guān)鍵是熟練掌握鏡面對稱的性質(zhì)．3.（2022?邢臺三模）一張正方形紙片按圖1、圖2箭頭方向依次對折后，再沿圖3虛線裁剪得到圖4，把圖4展開鋪平的圖案應(yīng)是（）A．B． C．D．【分析】嚴(yán)格按照圖中的順序親自動手操作一下即可．【解答】解：嚴(yán)格按照圖中的順序向右對折，向上對折，從下面中間剪去一個半圓，展開得到的圖形是．故選：D4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·八年級期末）如圖，，C為OB上的定點(diǎn)，M，N分別為射線OA、OB上的動點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)E，作EN⊥OC交OA于點(diǎn)M，此時CM+MN=EM+MN=EN最短，進(jìn)而根據(jù)∠AOB=35°，和直角三角形兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N，交OA于點(diǎn)M，∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，根據(jù)垂線段最短，EN最短，∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟知直角三角形的兩個銳角互余是解題關(guān)鍵．5.（2022?荊州）若點(diǎn)P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】由P點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第四象限，得出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：∵點(diǎn)P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第四象限，∴點(diǎn)P在第一象限，∴，解得：﹣1＜a＜1，在數(shù)軸上表示為：，故選：C．6.（2022?濱州月考）如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)，依次作點(diǎn)P（﹣3，1）關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)P1，P1關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P2，P2關(guān)于y軸對稱點(diǎn)P3，P3關(guān)于直線y＝x對稱點(diǎn)P4，P4關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P5，P5關(guān)于y軸對稱點(diǎn)P6，…，按照上述變換規(guī)律繼續(xù)作下去，則點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)分別求出P1，P2，P2，P3；P4，P5，P6的坐標(biāo)，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．【解答】解：∵P（﹣3，1），∴點(diǎn)P關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)P1（1，﹣3），P1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2（1，3），P2關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P3（﹣1，3），P3關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)P4（3，﹣1），P4關(guān)于x