離散型隨機(jī)變量及其分布列,高考?xì)v年真題

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【考點(diǎn)34】離散型隨機(jī)變量及其分布列

2009年考題

1、（2009廣東高考）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如右表.

若EX=0,DX=1?則a=,b=.

【解析】由題知a+/?+c=U,-a+c+—=0,

126

I123xa+l2xc+22x-=1,解得ab.

12124

答案：a-—,b

124

2、（2009上海高考）某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量J

表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.

C2inr'r'in

【解析】4可取0,1,2,因此P（g=0）=-4=—,P（J=1）=二^=一，

C；21C；21

P（A2）=W=LE>OA+1XW+2XL±

Cy212121217

4

答案：-

7

3、（2009山東高考）在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球

得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在

A處的命中率q1為0.25,在B處的命中率為q2,該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用J表

示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為

02345

P0.03P1P2P3P4

（1）求q2的值;

（2）求隨機(jī)變量占的數(shù)學(xué)期望EJ;

（3）試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小。

【解析】（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立，且

P(A尸0.25,P(A)=0.75,P(B)=q2,P(B)=1一%.

根據(jù)分布列知：4=0時(shí)萬(wàn)歷=P(1)P(歷尸(萬(wàn))=0.75(1-%)2=0.03,所以1一名=02,q2=0.8.

(2)當(dāng)g=2時(shí),P尸P(ABB+~ABB)=P(ABB)+P(ABB)

=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)=0.75q2(l-^2)x2=L5q2(1-q2)=0.24

當(dāng)］=3時(shí),P2=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.25(1—％了=0.01,

當(dāng)自=4時(shí),P3=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=O.75%2=0.48,

當(dāng)g=5時(shí),P4=P(ABB+AB)=P(ABB)+P(A5)

=P(A)尸(歷尸(B)+P(A)P(B)=0.25%(1-%)+0.25^=0.24

所以隨機(jī)變量二的分布列為

02345

P0.030.240.010.480.24

隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望=0x0.03+2x0.24+3x0.01+4x0.48+5x0.24=3.63

(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率為P(BBB+BBB+BB)

22

=P(BBB)+P(BBB)+P(BB)=2(1-^2)?2+^2=0.896;

該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過(guò)3分的概率為0.48+0.24=0.72.

由此看來(lái)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大.

4、(2009天津高考)在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3

件，求：

(I)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(II)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。

【解析】(I)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等

品的結(jié)果數(shù)為C；C；"，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)=

室二k=0,l,2,3.

Cio

所以隨機(jī)變量X的分布列是

X0123

1

P7217

244040120

79171Q

X的數(shù)學(xué)期望EX=Ox—+lx—+2x—+3x—=—

24404012010

(II)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”

為事件Ai“恰好取出2件一等品“為事件A2,”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A”A2,

C3C3371

A3彼此互斥，且A=AiUA?UA3而P(A)=^-,P(A2)=P(X=2)=^,P(A3)=P(X=3)=

120

所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)=P(AI)+P(A2)+P(A3)=

37,131

——+——+---=---

4040120120

5、(2009浙江高考)在1,2,3,…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù).

(I)求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率；

(II)設(shè)J為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為1,2,3,則有兩組相鄰的數(shù)

1,2和2,3,此時(shí)J的值是2).求隨機(jī)變量J的分布列及其數(shù)學(xué)期望

c'c210

【解析】(I)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A,則P(A)=匕;

C；21

(II)隨機(jī)變量二的取值為0,1,24的分布列為

012

5]_1

P

n212

所以J的數(shù)學(xué)期望為EJ=0x^5+lx：1+2x=1=j2

6、(2009遼寧高考)

某人向一目射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為-o該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積

3

之比為1：3：6。擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比。

(I)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列；

(II)若目標(biāo)被擊中2次，Z表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求尸(A)

【解析】(I)依題意X的分列為

x0|「廠34

16；32?248f

81I8?；81而si............6分

(II)設(shè)A1表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分"，i=l,2.

B1表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分"，i=l,2.

依題意知P(At)=P(Bi)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,A=AlBiuAiBlU4瓦UA2B2,

所求的概率為P(A)=P(4瓦)+)+P(A0P+尸⑷坊)

P(4瓦)+p(A)m)+P(4)尸(即+尸(4)尸(員)

0.1x0.9+0.9x0.1+0.1x0.1+0.3x0.3=0.28......12分

7、(2009福建高考)從集合｛1,2,3,4,5｝的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)。

（1）記性質(zhì)r：集合中的所有元素之和為10,求所取出的非空子集滿足性質(zhì)r的概率;

（2）記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為求J的分布列和數(shù)學(xué)期望

【解析】（1）記”所取出的非空子集滿足性質(zhì)r”為事件A

基本事件總數(shù)n=C；+C；++C；+=31

事件A包含的基本事件是｛1,4,5｝、｛2,3,5｝、｛1,2,3,4｝

事件A包含的基本事件數(shù)m=3

所以/?（A）=———

n31

（II）依題意，4的所有可能取值為1,2,3,4,5

C15C21()C31()

又p("l)=g=2_,pC=2)=JJ,PC=3)=%=」

313131313131

r45C51

故J的分布列為:

&12345

P5101051

3?31313131

51010,5180

■而EA=1x---F2x---1-3x---F4x---F5x—=—

313131313131

8、（2009安徽高考）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過(guò)疫區(qū).

B肯定是受A感染的.對(duì)于C,因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感

染的概率都是L.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是在這種假定之下，B、C、D中直接

23?■

受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量.寫(xiě)出X的分布列（不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程），并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）.

【解析】隨機(jī)變量X的分布列是

X123

1￡

P

326

X的均值為EX=1X』+2XL+3XL=11

3266

附：X的分布列的一種求法

共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是1：

6

①②③④⑤@

A-B

A—B—C—DA—B—CA—B—CA—B—DA—C—D館

LDLDLB

在情形①和②之下，A直接感染了一個(gè)人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個(gè)人；在情形⑥之下,

A直接感染了三個(gè)人。

9、（2009全國(guó)I）甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假

設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前2局中，甲、乙

各勝1局。

（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；

（II）設(shè)歲表示從第3局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求自得分布列及數(shù)學(xué)期望。

【解析】（1）記A,表示事件：第，局甲獲勝，i=3,4,5;與表示事件：第，局乙獲勝，）=3,4

B表示事件：甲獲勝，因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，

甲獲勝2局，從而8=44+嗎444+444，由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

5

故尸（8）=/（441）+P（鳥(niǎo)44）+「（4844）

=p（A）p（4）+P（4）P（A4）P（A）+P（A）P（84）P（A）

=0.6x0.6+0.4x0.6x0.6+0.6x0.4x0.6=0.648

（2）自的取值可以為2,3,由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

故PG=2）=p（44+冬4）=尸（44）+口冬與）=

PWP（AJ+P（B3）P（BJ

=0.6x0.6+0.4x0.4=0.52

p（g=3）=1-尸4=2）=1-0.52=0.48

所以隨機(jī)變量J的分布列為

423

P0.520.48

隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望Eq=2P/=2)+3P(&=3)=2x0.52+3x0.48=2.48

10、（2009北京高考）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇

到紅燈的概率都是工，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.

3

（I）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；

（n）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間g的分布列及期望.

【解析】（I）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A,因?yàn)槭录嗀等于事件

“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，

所以事件A的概率為P⑷=（1-/11一"，=土

（n）由題意，可得J可能取的值為0,2,4,6,8（單位："?加）.事件“g=2左”等價(jià)于事件“該學(xué)

生在路上遇到k次紅燈”（攵=0,1,2,3,4）,

?."(she凱|「(女=0,1,2,3,4),

/.即&的分布列是

402468

p1632881

8?8?278181

.?"的期望是塔=0x米+2x等+4x塔+6x條+8x小=樂(lè)

O1O1Z/O1O1J

11、（2009湖北高考）一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2,3,4,5；另一個(gè)盒

子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3,4,5,6。現(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上

面的數(shù)記為x；再?gòu)牧硪缓凶永锶稳∫粡埧ㄆ?，其上面的?shù)記為y,記隨機(jī)變量〃=x+y,求〃的分布列

和數(shù)學(xué)期望。

【解析】依題意，可分別取〃=5、6、…?11取，則有

11?3

P(n=5)=——=—=6)=77，P(7=7)=—

4x4161616

4321

pin=8)=—,p⑦=9)=-,p(7=10)=—,/>(7=11)=—

lolololo

rj的分布列為

77567891011

p1234321

16161616161616

lu1.234321

En=5x+6x+7x+8x+9x+10x+1lx=8.

16161616161616

12、(2009湖南高考)為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和

產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.J、現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任

236

選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。

(I)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；

(II)記4為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求J的分布列及數(shù)

學(xué)期望。

【解析】記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件4,瓦,6,i=i,

2,3.由題意知AA2A3相互獨(dú)立，片與坊相互獨(dú)立，GC2G相互獨(dú)立，4,8j，G(i，j，k=L2,3,

且i,j,k互不相同)相互獨(dú)立，且P(A)=',P(5,)=-,P(C,)=-

'213'6

(1)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率

P=3!P(4&C3)=6P(4)P(8,)P(C3)=6x,x■x-=-

2366

|)，且4=3-〃.

⑵方法1設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為〃，由已知，Z/-B(3,

.1a2

所以P(J=0)=P(〃=3)=C；P(J=1)=P(?7=2)=C；(-)3

9

I24

P(J=2)=P(7=1)=C；(-)(—)2=—P(J=3)=P(77=0)=Cf

故J的分布是

40123

p1248

279927

?248

4的數(shù)學(xué)期望Ej=0x——+lx-+2x-+3x——=2

279927

方法2第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件O,,

i=l,2,3,由此已知，DyD2,￡>3相互獨(dú)立，且

1]?

P(2)=P(A.+C.)=P(A)+P(C.)=—+-=-

''111263

221

所以久-6(3,§),既PC=K)=Cf(-)3-K,k=0,1,2,3.

故J的分布列是

0123

P1248

279927

13、(2009江西高考)某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)

方案進(jìn)行評(píng)審.假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是!.若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬(wàn)元

2

的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬(wàn)元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助，令J表示該公

司的資助總額.

(1)寫(xiě)出J的分布列；

(2)求數(shù)學(xué)期望

【解析】(1)」的所有取值為0,5,10,15,20,25,30

P-=0)=占P恁=5)=二.("IO)*p.=15)4

64326416

P《=20)=￡P(guān)C=25)=3p&=30)=上

643264

31551531

(2)￡4=5x—+10x—+15x—+20x—+25x—+30x—=15.

326416643264

14、(2009陜西高考)某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用4表示，楣統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量二的概率分

布如下：

40123

P0.10.32aa

(I)求a的值和J的數(shù)學(xué)期望；

(II)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次

的概率。

【解析】(1)由概率分布的性質(zhì)有0.1+0.3+2a+a=l,解答a=0.2

片的概率分布為

百0123

P0.10.30.40.2

垮=0x0.1+1x0.3+2x04+3x0.2=1.7

(2)設(shè)事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”事件4表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另外一個(gè)月被

投訴0次”；事件&表示“兩個(gè)月內(nèi)每月均被投訴1次”

則由事件的獨(dú)立性得

P(AJ=C'1P(&=0)=2x0.4x0.1=0.08

P(4)=[PG=I)]2=0.32=0.09

??.P(A)=P(A)+尸(4)=0.08+0.09=0.17

故該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率為0.17

15、(2009四川高考)為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省

外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱銀卡)。某旅游公司組織了一

個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中三是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有上持金

43

卡，在省內(nèi)游客中有士2持銀卡。

3

(I)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；

(II)在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量求J的分布列及數(shù)學(xué)期

望砧。

【解析】(I)由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡.設(shè)事

件B為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，

事件4為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，

事件A?為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。

I1I92736

P(B)=P(A)+P(A)=--1---=—

C36C363417085

QA

所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是翌。

85

........................................................................................6分

(II)J的可能取值為0,1,2,3

32

玖”。)—c」1，P(4=l)=c^'c"=3，

C；84C；14

C2cl15C3IS

P(g=2)=」^=上產(chǎn)e=3)=4=2

C；28Cl21

所以€的分布列為

0123

P13155

84142821

=0x—+lx—+2x—+3XA=2,...............................12分

84142821

16、(2009重慶高考)某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活

21

率分別為士和上，且各株大樹(shù)是否成活互不影響.求移栽的4株大樹(shù)中：

32

(I)兩種大樹(shù)各成活1株的概率；

(H)成活的株數(shù)J的分布列與期望.

【解析】設(shè)A,表示甲種大樹(shù)成活k株，k=0,1,2

8,表示乙種大樹(shù)成活/株，/=0,1,2

則劣,4獨(dú)立.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有

7111

P(4)=C3(W產(chǎn)，口與)=。匕(名(2產(chǎn)?

據(jù)此算得

144

尸(4)=不,m)=-，m)=T-

777

P回)=；,P(B,)=1,P(BJ=5?

412

>

(I)所求概率為P(Al?Bl)=P(Al)?f(Bl)=-x-=-.

(II)方法一：J的所有可能值為0,1,2,3,4,且

PG=O)=P(4?5°)=P(4)?P(BO)=：X；=E,

94Jo

P(^=l)=P(4*B.)+m*fio)=|x|+|xl=l,

114141

P(^=2)=P(4*B2)+P(A^,)+^(4.50)=-x-+-x-+-x-

=竺

~36，

41411

P(^=3)=P(A*B2)+m.S,)=-x-+-x-=-.

411

P(^=4)=P(A.52)=-X-=-.

綜上知自有分布列

01234

P1/361/613/361/31/9

從而，J的期望為

~1,1c13cl,17

E<f=Ox-----Fix—+2x-----F3X—+4x—=—

36636393

方法二：分布列的求法同上

令。，$分別表示甲乙兩種樹(shù)成活的株數(shù)，則

2|

B(2《)，3B⑵J)

O乙

241

故有玷=2x鼻二，砧2=2x^=1

oo乙

7

從而知EJ=EJi+5多=§

2008年考題

1、(2008山東高考)甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一

分，答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為42，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為2之，2之二1且各人正確

3332

與否相互之間沒(méi)有影響.用J表示甲隊(duì)的總得分.

(I)求隨機(jī)變量J分布列和數(shù)學(xué)期望；

(II)用4表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用3表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一

事件，求尸(N8).

【解析】(I)解法一：由題意知，J的可能取值為0,1,2,3,且

9179?

=0)=CfX(1--)3=—,=1)=X-X(1--)2=-,

P?=2)=C；X($2x(1-=[,尸C=3)=C；X(|)3=A.

所以自的分布列為

J0123

1248

p

279927

1248

J的數(shù)學(xué)期望為E^=Ox—+lx-+2x-+3x—=2.

279927

2

解法二：根據(jù)題設(shè)可知J?8(3,§)

702k

P/=k)=C；x(-)*x(l--)2-k=C；x手,k=0,1,2,3.

22

因?yàn)間?所以若=3x§=2

（II）方法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用。表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以

N3=CUO,且C、O互斥，又

…、八2,2、2八2、「21112111110

P(C)=Qx(-)-x(l--)x[-x-x-+-x-x-+-x-x-]=-.

P(0=隨x6x—等

由互斥事件的概率公式得

1043434

P（A8）=P（C）+P（°）=三+3=3=詬

方法二:用Ak表示“甲隊(duì)得A分”這一事件，用蜃表示“已隊(duì)得R分”這一事件,仁0,1,2己由于事件

為互斥事件，故事件

P(AB)=P(A3BUUA2Bl)=P(A3Btt)+P(A2Bl).

34

243

2、（2008廣東高考）隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三

等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件

次品虧損2萬(wàn)元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為久

（1）求自的分布列；

（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即J的數(shù)學(xué)期望）;

（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為設(shè)，一等品率提高為70%.如果此時(shí)要求1件

產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？

【解析】J的所有可能取值有6,2,1,-2;P?=6）=筮=0.63,2（彳=2）=：*=0.25

PC=］）=22_=0.1,p?=—2）=4=0.02

,200200

故J的分布列為：

621-2

P0.630.250.10.02

(2)E&=6x0.63+2x0.25+1x0.1+(-2)x0.02=4.34

（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

E(x)=6x0.7+2x(1-0.7—0.01—x)+x+(-2)x0.01=4.76-x(0<x<0.29)

依題意，E(x)>4.73,即4.76-尤24.73,解得xW0.03所以三等品率最多為3%

3、(2008海南寧夏高考)A,8兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和

X2的分布列分別為

X\5%10%

0.80.2X]2%8%12%

P0.20.50.3

(I)在48兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，■和匕分別表示投資項(xiàng)目”和8所獲得的利潤(rùn)，求方差OH，

DY2；

(II)將x(O4xK100)萬(wàn)元投資4項(xiàng)目，100-x萬(wàn)元投資8項(xiàng)目，/(x)表示投資N項(xiàng)目所得利潤(rùn)的

方差與投資8項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求/(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，/(x)取到最小值.(注:

D(aX+b)=a2DX)

【解析】(I)由題設(shè)可知乂和X的分布列分別為

510

P0.80.22812

EY,=5x0.8+10x0.2=6,P0.20.50.3

0yl=(5—6)2*0.8+(10—6)~0.2=4,

◎=2x0.2+8x0.5+12x0.3=8,

。均=(2-8)2x0.2+(8-8)2x0.5+(12-8>x0.3=12.

100—x

丫

(II)/(%)=￡>+D2DY2

1007

=^y[x2+3(100-x)2]=(4x2-600x+3X1002),

當(dāng)》=更2=75時(shí)，/(x)=3為最小值.

2x4

4、(2008全國(guó)H)購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)。元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一

年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人

是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.999",.

(I)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p;

(II)設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位

投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元).

【解析】各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是P，記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為4，則

…(103p).

(I)記4表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則又發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)4=0,

P(A)=1-P(A)=1-=0)=1-(1-p)'°4,又P(A)=1—0.999“，故p=0.001.

(n)該險(xiǎn)種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和.

支出10000^+50000,

盈利7/=10000a-(10000^+50000),

盈利的期望為￡7=100004-10000E^-50000,

由4~6(1。4,10一3)知，=10000x10-3,

￡?7=104a-104￡^-5xl04=104a-104xl04xl0-3-5xl04.

助N0=10%—1。20-5x1(/2o

oa—10—520。“215(元).

故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元.

5、(2008北京高考)甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A,B,C,。四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗

位至少有一名志愿者.

(I)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；

(II)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；

(m)設(shè)隨機(jī)變量二為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求j的分布列.

1

【解析】(I)記甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)為事件當(dāng)，那么P(怎)=丁4=一，

C5A440

即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是

40

A41

(H)記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件E,那么P(E)=—y=—，

CM10

—9

所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P(E)=1-P(E)=—.

(HI)隨機(jī)變量J可能取的值為1,2.事件”=2”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù),

「2.3i

則P（J=2）=^^=L.

C；A：4

3

所以PC=l）=l—P（e=2）=—,J的分布列是

412

3]_

p

44

6、（2008四川高考）設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲種商品的概率為0.5,購(gòu)買乙種商品的概率為0.6,

且購(gòu)買甲種商品與購(gòu)買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買商品也是相互獨(dú)立的。

（I）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（H）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（III）記&表示