第三章(第五節(jié))

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁(yè)/共頁(yè)互相自立的隨機(jī)變量若事件滿意,則稱(chēng)與互相自立.隨機(jī)變量互相自立的定義定義7設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)隨意實(shí)數(shù)有,則稱(chēng)與互相自立,簡(jiǎn)稱(chēng)自立.自立判別定理:設(shè),分離是,的分布函數(shù),則與互相自立,隨意,隨意.二.離散型隨機(jī)變量互相自立判別定理:定理一設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律為則與互相自立的充要條件是:.三.延續(xù)型隨機(jī)變量互相自立判別定理:定理二設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為.分離是關(guān)于和的邊沿概率密度,則與互相自立的充要條件是:,(幾乎到處).證實(shí),,,, 與互相自立, ,(幾乎到處)四.有限多個(gè)或可列個(gè)隨機(jī)變量的互相自立性定義設(shè)為個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)隨意實(shí)數(shù)，元函數(shù)稱(chēng)為個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)..定義8設(shè)為個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)隨意實(shí)數(shù)，成立則稱(chēng)個(gè)隨機(jī)變量互相自立.定理個(gè)隨機(jī)變量互相自立對(duì)隨意實(shí)數(shù)，成立.定理三設(shè)是維延續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為,的概率密度為,則互相自立.定義9設(shè)為可列無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)隨機(jī)變量,若對(duì)隨意的正整數(shù)，及隨意互不相同的正整數(shù)，都互相自立，則稱(chēng)可列無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)隨機(jī)變量互相自立.例1設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,(1)求邊沿分布函數(shù);(2)求的概率密度,邊沿概率密度;(3)驗(yàn)證隨機(jī)變量與互相自立.解(1);;(2);;;(3)顯然,對(duì)隨意實(shí)數(shù),恒有,所以與互相自立.(或顯然,對(duì)隨意實(shí)數(shù),成立,所以與互相自立)例2設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律為YX012-10.10.20.120.20.10.3(1)求關(guān)于和關(guān)于的邊沿分布律;(2)驗(yàn)證與是否自立？解(1)關(guān)于和關(guān)于的邊沿分布律如表YX012-10.10.20.10.420.20.10.30.60.30.30.4(2),,,顯然,由定理一知,與不自立.例3設(shè),(1)求,,(2)試證:與互相自立的充要條件是.解由題設(shè)條件知,的概率密度為,,(1)由第四節(jié)例2知,;(2)充足性(即由與自立)若則,,因此,與自立.須要性若與自立,則對(duì)隨意實(shí)數(shù),成立,異常地對(duì)有,即,從而.證畢.例4某型號(hào)鉆頭的壽命(以鉆進(jìn)深度m為單位)順從參數(shù)的指數(shù)分布.欲打一口深為500m的井,求恰好需用兩只鉆頭的概率.解設(shè)第一只鉆頭的壽命為,第二只鉆頭的壽命為,則與自立且有相同的指數(shù)分布.由題意知,,故的概率密度為,由題意知“恰好需用兩只鉆頭”,.例5設(shè)隨機(jī)變量與自立且同順從分布.求:(1)的概率密度;(2)的二次方程有實(shí)根的概率;(3)隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率密度.解由題設(shè)條件知,,,,(1)因?yàn)榕c自立,由定理二得的概率密度,,,顯然有對(duì)稱(chēng)性;(2)令的二次方程有實(shí)根,,又,所以;(3),(A)當(dāng)時(shí),,(B)當(dāng)時(shí),,(C)當(dāng)時(shí),記，,于是,.例6接連不斷地?cái)S一顆勻稱(chēng)的骰子,直到浮上點(diǎn)數(shù)大于2為止,以表示擲骰子的次數(shù).以表示最后一次擲出的點(diǎn)數(shù).求二維隨機(jī)變量的分布律;(2)求關(guān)于,的邊沿分布律;(3)證實(shí)與互相自立.解依題意知,的可能取值為;的可能取值為3,4,5,6設(shè)第次擲時(shí)出1點(diǎn)或2點(diǎn),第次擲時(shí)出點(diǎn),則,,,“擲骰子次,最后一次擲出點(diǎn),前次擲出1點(diǎn)或2點(diǎn)”,(各次擲骰子浮上的點(diǎn)數(shù)互相自立)于是的分布律為,,.(例如)(2),;,;(或由題意知,“擲骰子次,最后一次擲出的點(diǎn)數(shù)大于2,前次擲出1點(diǎn)或2點(diǎn)”,于是,;“在擲出點(diǎn)數(shù)大于2的條件下,擲出的是點(diǎn)”,于是,)(3)因?yàn)?即成立,.所以與互相自立.例設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,,（1）求關(guān)于的邊沿概率密度；（2）求關(guān)于的邊沿概率密度；（3