第10題 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用（原卷版）【2023高考】2022年高考數(shù)學(xué)真題逐題揭秘與以例及類（新高考全國Ⅰ卷）

第10題導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

一、原題呈現(xiàn)

【原題】已知函數(shù)/(x)=x3—X+1,則

A./(X)有兩個極值點B./(X)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D,直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

【答案】AC

【解析】由/(幻=/一》+1得/〈x)=3f-l,令/，(x)>0得工〉#或

令f\x)<0得〈手，所以/(x)在(—乎,當(dāng))上單調(diào)遞減，在(—8,-g),(管,+8)上單調(diào)遞增,

所以x=±且是極值點，故A正確；

3

因/(-日)=1+孚>0"g)=l-苧>0,/(-2)=-5<。.

所以，函數(shù)“力在-8,一理)」.有一個零點.

當(dāng)“也時,/(x)2/再>0,即函數(shù)〃x)在率+8上無零點，

綜上所述，函數(shù)"X)有一個零點，故B錯誤；

令h(x)=x3-x,則/?(-%)=(-x)3-(--V)=-x3+x=-/i(x).

則/?(x)是奇函數(shù),(0,0)是的對稱中心，

將〃(x)的圖象向上移動一個單位得到/*)的圖象，

所以點(0,1)是曲線y=/(幻的對稱中心，故C正確；

令/'(x)=3/_l=2,可得x=±l,又/⑴="—1)=1,

當(dāng)切點為(1,1)時，切線方程為y=2x-l,當(dāng)切點為(-1,1)時，切線方程為y=2x+3,

故D錯誤故選AC.

【就題論題】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，可以用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點，可以

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線，本題雖然涉及極值、零點、切線、對稱中心，但所選函數(shù)為同學(xué)們

熟悉的三次函數(shù)，故難度不大，求三次函數(shù)對稱中心有一個結(jié)論：設(shè)/'(X)的導(dǎo)函數(shù)為/"(X),方程/'(x)=0

的根為％,則(々>就是/(x)圖象的對稱中心.

二、考題揭秘

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.

【考情分析】導(dǎo)數(shù)在往年的高考中一般有1-2道客觀題，1道解答題，今年的試卷有5道題涉及導(dǎo)數(shù)，這雖

然體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性，但也確實有點反常，估計明年涉及導(dǎo)數(shù)的題會有3道左右。

【得分秘籍】

1.函數(shù)的單調(diào)性

在某個區(qū)間伍力)內(nèi)，如果/(x)>0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果那么函數(shù))'=/(x)在這個

區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

⑴確定函數(shù)4x)的定義域.

(2)求)(分

(3)解不等式/(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間.

(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

3.在某區(qū)間內(nèi)/(x)>0(/(x)<0)是函數(shù)段)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.可導(dǎo)函數(shù)段)在(9)上是

增(減)函數(shù)的充要條件是對Vxe①,圾都有/(x)NO(Ax)WO)且/(X)在m力)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

4.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題

⑴定義域優(yōu)先的原則:解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)注意“臨界點”和“間斷點”:在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義

域內(nèi)的間斷點.

(3)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“U”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開.

5.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

①求」(x)；

②求方程/(x)=0的根；

③考查了(X)在方程八》)=0的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號.如果左正右負(fù)，那么./U)在這個根處取得極大

值；如果左負(fù)右正，那么?r)在這個根處取得極小值.

6.對于極值的認(rèn)識

(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側(cè)區(qū)域而言的.極值點是區(qū)間內(nèi)部的點而不會是

端點.

(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.

(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點是導(dǎo)數(shù)為零的點，但是導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點，即“函數(shù)y=f(x)在一點的導(dǎo)數(shù)值為

零是函數(shù)y=f(x)在這點取極值的必要條件,而非充分條件.”所以已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù),根據(jù)極值點處

導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.

(4)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點xo處取得極值的充要條件是f(xo)=O,且在點xo左側(cè)和右側(cè)f(x)的符號不同.

(5)從曲線的切線角度看，曲線在極值點處切線的斜率為0,并且，曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為

7.函數(shù)“X)在(4,3有意義,則/(月在(4力)上有極值0/("在(氏3上不單調(diào)；在(〃力)沒有極

值Of(x)在(4力)上單調(diào).

8.函數(shù)的最值

在閉區(qū)間口⑸上連續(xù)的函數(shù)人x)在口⑸上必有最大值與最小值.求函數(shù)段)在［凡句上的最大值和最小值的步

驟

(1)求函數(shù)在(。力)內(nèi)的極值.

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值火4)班份.

⑶將函數(shù)火X)的極值與形)〃力比較淇中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

9.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零

點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.對于函數(shù)零點個數(shù)問題,可利用函數(shù)的值域或最值,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的

對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.但需注意探求與論證之間區(qū)

別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點個數(shù).

10.三次函數(shù)是高考的一個熱點，有必要了解三次函數(shù)的一些性質(zhì)：

(1)三次函數(shù)的定義域與值域都是R；

222

(2)三次函數(shù)y=ox3+/zr+cx+d(arO)有極值o導(dǎo)函數(shù)f(x)=3ar+2/>x+c=0的判別式A=4b-12ac>0.

⑶當(dāng)A<0時，①若a>0,則f(x)在R上是增函數(shù);②若a<0,則f(x)在R上是減函數(shù).當(dāng)A>0時，①若a>0,則f(x)的

增區(qū)間為(-8,X|)和(X2,+8),減區(qū)間為(X|,X2),f(X|)為極大值,f(X2)為極小值;②若a<0,則f(X)的減區(qū)間為(-8兇)和

(X2,+8),增區(qū)間為(X|,X2),f(X|)為極小值,f(X2)為極大值.(如圖所示)

(4)三次方程/(x)=0實根個數(shù)

若三次函數(shù)/(x)沒有極值，則/(x)=0有1個實根；若/(x)有極值(一定是2個)，且2個極值異號，則3次

方程有3個零點，若2個極值同號，則3次方程有1個零點，若1個極值為零，則3次方程有2個零點.

(5)三次函數(shù)/(力的圖象是中心對稱曲線,對函數(shù)/(x)進(jìn)行兩次求導(dǎo)，滿足了"(加)=0的”正是對稱中心函

的橫坐標(biāo),三次函數(shù)的對稱中心還有一個很少引起注意的性質(zhì)一過三次曲線的對稱中心且與該三次曲線相切

的直線有且僅有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點與該三次曲線相切的直線有二條.

【易錯警示】

1.不會利用等價轉(zhuǎn)化思想及導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線

求曲線的切線方程一定要注意區(qū)分“過點A的切線方程”與“在點4處的切線方程”的不同.雖只有一字之差,

意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點,求曲線過某點的切線

方程一般先設(shè)切點把問題轉(zhuǎn)化為在某點處的切線，求過某點的切線條數(shù)一般也是先設(shè)切點，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)

于切點橫坐標(biāo)的方程實根個數(shù)問題.

2.對極值概念理解不準(zhǔn)確致

對于可導(dǎo)函數(shù)式x)：沏是極值點的充要條件是在為點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，即/(X)在方程/(x)=0的根xo的左右的符

號：“左正右負(fù)在均處取極大值；“左負(fù)右正”<;段)在出處取極小值，而不僅是/(xo)=O/(xo)=O是xo

為極值點的必要而不充分條件.對于給出函數(shù)極大(小)值的條件,一定要既考慮了(xo)=O,又考慮檢驗“左正右

負(fù)”或“左負(fù)右正”，防止產(chǎn)生增根.

3.研究含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性分類標(biāo)準(zhǔn)有誤

若函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為解不等式a(x——W)>°(或<°)(x>°)

求解此類問題，首先根據(jù)a的符號進(jìn)行討論，當(dāng)a的符號確定后，再根據(jù)是否在定義域內(nèi)討論，當(dāng)司，々都

在定義域內(nèi)時在根據(jù)王,馬的大小進(jìn)行討論.

三、三年新高考同類題展示

1.(2021新高考全國1卷)函數(shù)f(x)=|2x-l|-2/nx的最小值為.

四、以例及類

(以下所選試題均來自新高考1卷地區(qū)2022年1月以后模擬試卷)

1.(2022屆河北省秦皇島市高三三模)函數(shù)=3/+3-%若存在修4-1,1],使得〃為)>0,則

實數(shù)。的取值范圍為()

A.（―℃,—1）B.（—oo,l）C.（—1,3）D.（—oo,3）

2.（2022屆福建省龍巖市上杭縣第一中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）設(shè)實數(shù)/>0,若不等式e2H_ln2+lniz。對

t

x>0恒成立，則r的取值范圍為（）

3.（2023屆湖北省襄陽市第五中學(xué)高三上學(xué)期返?？迹┰O(shè)廠（刈是定義在R上的連續(xù)的函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)，

〃x）-r（x）+2e，<0（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且〃2）=4e2,則不等式/（x）>2疣*的解集為（）

A.（-2,0）U（2,+co）B.（e,+8）

C.（2,+8）D.（—oo,—2）u（2,+<x>）

4.（2023屆河北省衡水市深州中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知函數(shù)〃力=|12|-±+4有兩個零點，則a

的取值范圍是（）

5.（2023屆福建省寧德市福安市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次檢測）設(shè)函數(shù)

/（x）=（xf（e,-e）,g（x）=e'-ar-l,其中aeR.若對V/e[0,+oo）,都盯eR,使得不等式/⑻氣⑷成

立，則“的最大值為（）

A.0B.-C.1D.e

e

6.（2022屆福建省三明市第一中學(xué)高三5月質(zhì)量檢測）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，a,6均為大于1的實數(shù)，

若ae"”+。vblnb,則（）

A.b<ea+,B.b>e',+1C.ab<eD.ab>e

7.（2022屆山東省濰坊市高三下學(xué)期三模）過點「。,?。ā?￡1<）有〃條直線與函數(shù)/（可=疣'的圖像相切，

當(dāng)〃取最大值時，加的取值范圍為（）

A.--^-</n<eB.--^-</H<0C.--</H<0D.m<e

eee

8.（2022屆山東高考考前熱身押題）已知函數(shù)/。）=/產(chǎn)+|-2此1-依-2,若/（九）20對任意x>0恒成立，

則實數(shù)〃的最小值為（）

B.二2

A.C?飛D.&

9.(2023屆湖北省九師聯(lián)盟高三上學(xué)期8月開學(xué)起點考試)若不等式產(chǎn)-g-2〃-3..0對山￡11恒成立,

n

其中加。0,則一的最大值為()

m

A.-g「ln3e

B.-In3eC.In3eD.——

22

10.(2023屆湖南省長沙市明德中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試)已知20211n〃=a+〃z,20211n/?=0+w,其中標(biāo)b.

若恒成立，則實數(shù)4的取值范圍為()

A.（（2021e『,+8）B.（20212,+oo）C.[20212,+?）D.[（2021e）\+8）

11.（2023屆湖南省湘潭市高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知?=ysiniZ>=|sin^,c=^-cos1,則（）

6556156

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<a<b

XI

---,X<1

12.(多選)(2023屆湖北省襄陽市第五中學(xué)高三上學(xué)期返?？?已知函數(shù)”x)=,:,下列選項正

51nx,

----,x>1

x

確的是()

A.函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(ro,l)、(e,+8)

B.函數(shù)f(X)的值域為

C.若關(guān)于x的方程產(chǎn)(x)-a/(x)|=0有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)”的取值范圍是g,+e)

D.若關(guān)于*的方程/2(x)-4/(x)|=O有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是1,1)

13.(多選)(2023屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考)已知函數(shù)"x)=；aY2+2x-31ar(aeR),

下列說法正確的是()

A.時/(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間

B.時/(x)存在兩個極值點

C.a,是/(x)為減函數(shù)的充要條件

D.VaeRj（x）無極大值

犬+X-1

14.(多選)(2022屆湖南省湘潭市第一中學(xué)高三下學(xué)期3月月考)已知函數(shù)/(?=,則下列結(jié)論正

-?~

確的是()

A.函數(shù)/*)只有一個零點

B.函數(shù)Ax)只有極大值而無極小值

C.當(dāng)-e<%<0時，方程/(幻=4有且只有兩個實根

D.若當(dāng)xe［f,+?>)時，/(幻3=之，則f的最大值為2

e~

15.(多選)(2022屆廣東省深圳市光明區(qū)高級中學(xué)高三模擬)若f(x)圖像上存在兩點A,8關(guān)于原點對稱，

則點對［AB］稱為函數(shù)Ax)的“友情點對”(點對［A,B］與