浙江省寧波市慈溪市2024屆高三上學期期末測試數(shù)學試題（教師版）

慈溪市2023學年第一學期期末測試卷高三數(shù)學學科試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，與集合對比，結(jié)合子集的定義即可得答案．【詳解】集合,，，,，．故選：B．2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算，結(jié)合共軛復數(shù)的定義求解即得.【詳解】依題意，，則，所以的虛部為3.故選：D3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】向量，，由得，，解得.故選：A.4.已知函數(shù)，若，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由已知條件求出，確定函數(shù)解析式，再求對應(yīng)的函數(shù)值.【詳解】因為，.又，所以.所以故選：C5.圖①中的“馬頭墻”是我國江南傳統(tǒng)民居建筑的重要特色之一，它的頂部稱之為垛．每只垛的結(jié)構(gòu)如圖②，可近似看成由一個正三棱柱和兩個完全相同的正四面體構(gòu)成的幾何體．已知，，，現(xiàn)計劃覆以小青瓦，覆蓋面為“前”“后”兩面，“前面”如圖③陰影部分，則小青瓦所要覆蓋的面積為（）圖①圖②圖③A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】小青瓦所要覆蓋的面由兩個矩形及四個正三角形組成，分別求解即可.【詳解】由題意，，且，則，則正四面體的一個面為邊長為的正三角形，其面積為；又，則正三棱柱的一個側(cè)面為長為，寬為的矩形，其面積為；所以小青瓦所要覆蓋的面積為個正三角形與個矩形的面積和，則.故選：A.6.已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A.2024 B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)表達式得出規(guī)律，即可求出的值.【詳解】由題意，在中，定義域為，，當時，，解得：，當時，，即當時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：，……函數(shù)值周期性變化，周期為3，∵，可得：，故選：D.7.已知四邊形ABCD的四個頂點在拋物線上，則“A，B，C，D四點共圓”是“直線AC與BD傾斜角互補”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】表示出過A，B，C，D四點的二次曲線系方程，由方程表示圓證明直線AC與BD傾斜角互補，由直線AC與BD傾斜角互補證明方程表示圓.【詳解】設(shè)直線AB的方程為，CD的方程為，又四邊形ABCD的四個頂點在拋物線上，過A，B，C，D四點的二次曲線系為，即，充分性：若A，B，C，D四點共圓，則曲線系方程表示圓，有，，可得，即直線AC與BD傾斜角互補，充分性成立.必要性：當直線AC與BD傾斜角互補，有，則，若取，曲線系方程為，這種形式方程表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡，而A，B，C，D四點都在曲線上，所以曲線表示圓，也即A，B，C，D四點共圓.必要性成立.所以“A，B，C，D四點共圓”是“直線AC與BD傾斜角互補”的充要條件.故選：C.8.已知數(shù)列滿足，，令．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，可得，則有，累加法結(jié)合等比數(shù)列求和公式，計算.【詳解】，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，即，.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵點是利用數(shù)列的通項得到，用累加法即可計算.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某電商平臺為了對某一產(chǎn)品進行合理定價，采用不同的單價在平臺試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：單價x/元88.599.510銷量y/萬件8985807868根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到與具有較強的線性關(guān)系，若用最小二乘估計得到經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.相關(guān)系數(shù) B.點一定在經(jīng)驗回歸直線上C. D.時，對應(yīng)銷量的殘差為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)計算樣本中心，即可判斷B，根據(jù)負相關(guān)即可判斷A，根據(jù)樣本中心在直線上即可求解C，根據(jù)殘差的計算即可判斷D.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，所以樣本中心為，故在經(jīng)驗回歸直線上，B正確，由可得與具負相關(guān)，故A錯誤，將代入可得，解得，C正確，當時，，所以殘差為，D錯誤，故選：BC10.已知為直線上的一點，動點與兩個定點，的距離之比為2，則（）A.動點的軌跡方程為 B.C.的最小值為 D.的最大角為【答案】ACD【解析】【分析】由動點的軌跡求出方程驗證選項A；由圓上的點到直線的最小距離驗證選項B；由三點共線求距離之和的最小值驗證選項C；由直線與圓的位置關(guān)系求的最大值驗證選項D.【詳解】設(shè)，依題意有，化簡得，所以動點的軌跡方程為，A選項正確；方程表示圓心為半徑為2的圓，圓心到直線的距離，所以的最小值為，B選項錯誤；，當三點共線時，有最小值，最小值為點到直線的距離，C選項正確；的最大時，與圓相切，此時，，，D選項正確；故選：ACD11.對于任意實數(shù)，表示為不超過的極大整數(shù)，如，，（）A.若時，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)出的整數(shù)部分和小數(shù)部分，化簡各式子，即可得出大小關(guān)系，進而得出結(jié)論.【詳解】由題意，對于任意實數(shù)，表示為不超過的極大整數(shù)，設(shè)，其中分別是的整數(shù)部分，分別是的小數(shù)部分，A項，，故，則，故A正確；B項，，，，∴，B正確；C項，，，，∴，故C錯誤；D項，，∴，故D正確；故選：ABD.12.已知直三棱柱，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，則（）A.存在正實數(shù)，，，使得截面為等邊三角形B.存在正實數(shù)，，，使得截面為平行四邊形C.當，時，截面為五邊形D.當，，時，截面為梯形【答案】AC【解析】【分析】分類討論不同的位置，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在直三棱柱中，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，A項，當時，截面為等邊三角形，此時，且，A正確；B項，當時，點在三棱錐內(nèi)部，為三角形，當時，不為平行四邊形，當時，不為平行四邊形，當時，不為平行四邊形，當有兩個大于時，不為平行四邊形,當有三個大于時，截面為,∴不存在正實數(shù)，，，使得截面為平行四邊形，B錯誤；C項，當，時，，解得：（舍）或，當時，，在三棱柱外，在三棱柱內(nèi)，截面為五邊形,故C錯誤；D項，當，，時，截面為四邊形,易知與相交，假設(shè)，因為平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以（矛盾），故四邊形不是梯形，故D錯誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的展開式中，常數(shù)項為______．（用數(shù)字作答）【答案】252【解析】【分析】直接用二項展開式的通項公式求解.【詳解】設(shè)展開式的第項為常數(shù)項，則.由.所以展開式的常數(shù)項為：.故答案為：14.若，，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】利用方程求出與的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可得出的最小值.【詳解】由題意，，，，∴，∴，解得：（舍）或當且僅當時等號成立，此時，故答案為：.15.若函數(shù)有兩個零點，則正整數(shù)的最小值為_______．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】18【解析】【分析】根據(jù)零點轉(zhuǎn)化為有兩個交點，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合圖像求解.【詳解】令，顯然不是函數(shù)的零點，所以，記，則，故當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，且恒成立，且，故作出的大致圖象如下：要使有兩個零點，則的圖象有兩個交點，所以，或，由于，故正整數(shù)的最小值18，故答案為：1816.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為F，P為雙曲線右支上的點，若雙曲線的離心率為2，且，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率寫出雙曲線方程，與直線聯(lián)立求出點坐標，進而可求出直線的斜率，則可求.【詳解】由已知，由于離心率確定，的具體大小并不會影響題目中的角度，故不妨取，則，雙曲線方程，不妨取在第一象限，如圖：設(shè)，且則直線，與聯(lián)立消去得，則，所以，代入可得，所以，即，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若，BC邊上的中線，求的面積．【答案】17.18.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和，先把換成，再用兩角和與差的三角函數(shù)公式展開化簡，可得結(jié)論；（2）借助余弦定理和三角形面積公式求解.【小問1詳解】因為，即，所以，又因為，所以，所以．【小問2詳解】方法1：因為，所以，即，所以①；由余弦定理得，②；所以由①②得，所以．方法2：由余弦定理得：，因為，所以①；又②；所以由①②得，所以．18.已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，若對任意恒成立，求實數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式列方程組求解；（2）利用錯位相減法求出，然后觀察可得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則，解得，所以；【小問2詳解】由（1）知，所以①，②，由①－②相減得：，故，明顯，所以，所以，所以.19.如圖，在四棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）若四棱錐的體積為12，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面即可得出結(jié)論；（2）利用體積求出三棱錐的高，建立空間直角坐標系并表達出各點坐標，求出平面與平面的法向量，即可求出平面與平面的夾角的余弦值．【小問1詳解】四棱錐中，連接,因為，，所以，又因為，，所以，所以，即．因為，平面，所以平面，所以，由，平面，所以平面，平面，所以．【小問2詳解】由題意及（1）得，在四棱錐中，因為，所以．建立以為原點，所在直線分別為軸的空間直角坐標系，，，，，設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，即，取，設(shè)平面PCD的一個法向量為，則，即，取，所以，所以平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為．20.已知A，B分別為橢圓的左右頂點，點，在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為零的直線與橢圓交于C，D兩點，若直線AC與BD相交于點，求證：點在定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，由兩點在橢圓上，代入坐標解方程組可得；（2）先由對稱性猜測點橫坐標為常數(shù).再設(shè)兩點坐標，得方程，聯(lián)立解交點的橫坐標，利用韋達定理得到與及其關(guān)系，代回點坐標，化簡整理可證.【小問1詳解】由題意知，，解得，所以橢圓方程為；【小問2詳解】由橢圓對稱性及點在軸上，故若點在定直線上，則該定直線關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的方程為，，，由得，，所以，．則有，又，則直線AC方程為，直線BD方程為，由得，．又因為，，所以，所以點定直線上..【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21.某城市的青少年網(wǎng)絡(luò)協(xié)會為了調(diào)查該城市中學生的手機成癮情況，對該城市中學生中隨機抽出的200名學生進行調(diào)查，調(diào)查中使用了兩個問題．問題1：你的學號是不是奇數(shù)？問題2：你是否沉迷手機？調(diào)查者設(shè)計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子，每個被調(diào)查者隨機從袋中摸取一個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案．（1）如果在200名學生中，共有80名回答了“是”，請你估計該城市沉迷手機的中學生所占的百分比．（2）某學生進入高中后沉迷手機，學習成績一落千丈，經(jīng)過班主任老師和家長的勸說后，該學生開始不玩手機．已知該學生第一天沒有玩手機，若該學生前一天沒有玩手機，后面一天繼續(xù)不玩手機的概率是0.8；若該學生前一天玩手機，后面一天繼續(xù)玩手機的概率是0.5．（i）求該學生第三天不玩手機概率P；（ii）設(shè)該學生第n天不玩手機的概率為，求．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）利用條件概率公式和全概率公式計算即可；（2）（i）根據(jù)全概率公式計算即可；（ii）由題意可得，再利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的通項即可得解.【小問1詳解】設(shè)“回答問題1”記為事件，“回答問題2”記為事件，回答“是”記為事件，則，，，因為，所以，即該城市沉迷手機的中學生所占；【小問2詳解】（ⅰ）；（ⅱ）由題意知，第天不玩手機的概率是，第天玩手機的概率