第一章高等數(shù)學(xué)（十六）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第8章無窮級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.基本概念(1)定義：給定數(shù)列{}，稱式子為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）.(2）收斂與發(fā)散：對(duì)于級(jí)數(shù)，記，稱為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，倘若，則稱級(jí)數(shù)收斂，其和為S，倘若不存在，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。(3）絕對(duì)收斂與條件收斂：若收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若收斂，但發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂.2.基本性質(zhì)(1）與具有相同斂散性.(2）設(shè),,則收斂，且(3）在級(jí)數(shù)的隨意位置加、減有限項(xiàng)不改變斂散性,但和會(huì)發(fā)生變化。(4）收斂級(jí)數(shù)隨意加括號(hào)所得的新級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變。一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)若發(fā)散，則原級(jí)數(shù)一定發(fā)散。一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。(5）級(jí)數(shù)收斂須要條件:若收斂，則倘若，則級(jí)數(shù)一定發(fā)散。幾個(gè)重要結(jié)論(1）幾何級(jí)數(shù)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散.(2）調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散(3）P－級(jí)數(shù)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散.(4）級(jí)數(shù)時(shí))絕對(duì)收斂；時(shí)條件收斂；時(shí)發(fā)散.【例題8-1】級(jí)數(shù)收斂的充足須要條件是：（A）；（B）；（C）；（D）存在（其中）解：由級(jí)數(shù)收斂的定義知，部分和數(shù)列的極限存在，是級(jí)數(shù)收斂的充足須要條件，故應(yīng)選（D）。是級(jí)數(shù)收斂的須要條件，但不是充足條件；和是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充足條件，但不是須要的?！纠}8-2】若級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中不收斂的是：（A）（B）（C）；（D）解：由級(jí)數(shù)收斂，利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)知和都收斂；再由和收斂知收斂；故應(yīng)選（D）。事實(shí)上，由級(jí)數(shù)收斂，有，，但級(jí)數(shù)發(fā)散?！纠}8-3】已知級(jí)數(shù)是收斂的，則下列結(jié)果成立的是：（A）必收斂（B）未必收斂（C）；（D）發(fā)散解：級(jí)數(shù)是由級(jí)數(shù)加括號(hào)而得的級(jí)數(shù)，故收斂，無法得到關(guān)于級(jí)數(shù)斂散的結(jié)果，故應(yīng)選（B）。該題也可通過舉例說明，例如由收斂，但級(jí)數(shù)發(fā)散;收斂，而也收斂。4.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法(1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充足須要條件是其部分和數(shù)列有上界。2）比較審斂法設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)1°若收斂，且（從某項(xiàng)開始），則收斂；2°若發(fā)散，且（從某項(xiàng)開始），則發(fā)散。3）比較審斂法的極限形式設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則1°時(shí)，與同斂散2°時(shí)，若收斂，則收斂3°時(shí)，若發(fā)散，則發(fā)散4）比值（根值）審斂法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則時(shí)收斂；時(shí)發(fā)散。對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則時(shí)收斂；時(shí)發(fā)散。注：當(dāng)這個(gè)主意失效。(2）交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法形如或的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿意條件：1°2°則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。【例題8-4】下列各級(jí)數(shù)中發(fā)散的是：(A)(B)(C)(D)解：因?yàn)?，而比少一?xiàng)，他們有相同的斂散，是的p-級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散，應(yīng)選(A).其它三個(gè)選項(xiàng)與上題基本相同，都是收斂的。【例題8-5】級(jí)數(shù)滿意下列什么條件時(shí)收斂：（A）（B）（C）發(fā)散（D）單調(diào)增且解：當(dāng)單調(diào)增且，時(shí)，有單調(diào)減且，這時(shí)收斂，故選D。【例題8-