新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章概率3.2離散型隨機(jī)變量及其分布列3.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊(cè)

3．2.1離散型隨機(jī)變量及其分布新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量1．隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)每一個(gè)可能結(jié)果e，都唯一地對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)，則這個(gè)隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的變量稱為隨機(jī)變量?.隨機(jī)變量通常用X，Y，ξ，η，…表示．批注?按照隨機(jī)變量的特性，通?？砂央S機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有取值都可以________出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量?.批注?離散型隨機(jī)變量可能取的值為有限個(gè)或至多可數(shù)個(gè)．要點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列1．分布列的概念：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，其相應(yīng)的的概率為p1，p2，…，pn，記P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，把上式或下表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列(簡(jiǎn)稱為X的分布列?)．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn批注?離散型隨機(jī)變量的分布列有表格、圖形和解析式三種不同的表示形式．2.離散型分布列的性質(zhì)?①pi≥________，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝________．批注?利用分布列的性質(zhì)可以驗(yàn)證某個(gè)分布列是否為離散型隨機(jī)變量的分布列．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量分布列中每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù)．()(2)在離散型隨機(jī)變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之積．()(3)離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù)．()2．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次，那么不能作為隨機(jī)變量的是()A.出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)B.出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)C.出現(xiàn)2點(diǎn)的次數(shù)D.出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2小于6的次數(shù)3．在一次比賽中，需回答三個(gè)問題，比賽規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則選手甲回答這三個(gè)問題的總得分ξ的所有可能取值的個(gè)數(shù)為()A.2B．4C．6D．84．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1234P111p則p的值為________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性離散型隨機(jī)變量的判定例1(多選)下面給出四個(gè)隨機(jī)變量，其中是離散型隨機(jī)變量的是()A．某高速公路上某收費(fèi)站在未來1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量B．一個(gè)沿直線y＝x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置Y是一個(gè)隨機(jī)變量C．某網(wǎng)站未來1小時(shí)內(nèi)的點(diǎn)擊量D．一天內(nèi)的溫度η方法歸納判斷離散型隨機(jī)變量的步驟鞏固訓(xùn)練1下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為()A．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間XB．以測(cè)量?jī)x的最小單位計(jì)數(shù)，測(cè)量的舍入誤差XC．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)XD．沿?cái)?shù)軸隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置X用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果例2寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，所含次品的件數(shù)X；(2)設(shè)一輛汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號(hào)燈，ξ表示汽車首次停下時(shí)已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)．方法歸納在寫出隨機(jī)變量的取值表示的試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，要特別注意隨機(jī)變量的一個(gè)值表示多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況，不能漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．鞏固訓(xùn)練2已知小王錢夾中有20元、10元、5元和1元面額的人民幣各一張，他決定隨機(jī)抽出兩張，用來買晚餐．若用X表示所抽兩張人民幣的金額之和，求出隨機(jī)變量X的取值范圍，并分別說明這些取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果．求離散型隨機(jī)變量的分布列例3一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，5；另一個(gè)盒子里也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字3，4，5，6.現(xiàn)從一個(gè)盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x，再?gòu)牧硪粋€(gè)盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機(jī)變量η＝x＋y，求η的分布列．方法歸納求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟鞏固訓(xùn)練3某班有學(xué)生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．現(xiàn)從中抽1人，其血型為隨機(jī)變量X，求X的分布列．離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用例4已知離散型隨機(jī)變量X的分布列P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P(X≥35)(3)求P(110<X<35方法歸納離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的三個(gè)應(yīng)用鞏固訓(xùn)練4(1)設(shè)隨機(jī)變量ξ只能取5，6，7，…，16這12個(gè)值，且取每一個(gè)值概率均相等，若P(ξ<x)＝112，則x的取值范圍是________(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝ckk+1，k＝1，2，3，c為常數(shù)，則P(0.5＜X＜2.5)＝3．2.1離散型隨機(jī)變量及其分布新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一2．逐個(gè)列舉要點(diǎn)二2．01[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)×2．解析：∵拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)7點(diǎn)，出現(xiàn)7點(diǎn)為不可能事件，∴出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)不能作為隨機(jī)變量.答案：A3．解析：可能回答全對(duì)，兩對(duì)一錯(cuò)，兩錯(cuò)一對(duì)，全錯(cuò)四種結(jié)果，相應(yīng)得分為300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答這三個(gè)問題的總得分ξ的所有可能取值有4個(gè).答案：B4．解析：由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，所以p＝1－16-1答案：1題型探究·課堂解透例1解析：A是，因?yàn)?小時(shí)內(nèi)經(jīng)過該收費(fèi)站的車輛可一一列出；B不是，質(zhì)點(diǎn)在直線y＝x上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置無(wú)法一一列出；C是，1小時(shí)內(nèi)網(wǎng)站的訪問次數(shù)可一一列出；D不是，1天內(nèi)的溫度η是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，無(wú)法一一列出．答案：AC鞏固訓(xùn)練1解析：連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)，可能是1，2，3，…，是隨機(jī)的，可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量．選項(xiàng)A，B，D中的隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量．答案：C例2解析：(1)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4.X＝i表示“取出的4件產(chǎn)品中有i件次品”，其中i＝0，1，2，3，4.(2)ξ可能的取值為0，1，2，3，4，5，ξ＝k(k＝0，1，2，3，4)表示“在遇到第k＋1盞信號(hào)燈時(shí)首次停下”；ξ＝5表示“在途中沒有停下，直達(dá)目的地”．鞏固訓(xùn)練2解析：X的取值范圍是{6，11，15，21，25，30}．其中，X＝6表示“抽到的是1元和5元”；X＝11表示“抽到的是1元和10元”；X＝15表示“抽到的是5元和10元”；X＝21表示“抽到的是1元和20元”；X＝25表示“抽到的是5元和20元”；X＝30表示“抽到的是10元和20元”．例3解析：依題意，η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11.則有P(η＝5)＝14×4P(η＝6)＝216＝18，P(η＝7)＝P(η＝8)＝416＝14，P(η＝9)＝P(η＝10)＝216＝18，P(η＝11)＝所以η的分布列為：η567891011P1131311鞏固訓(xùn)練3解析：將O，A，B，AB四種血型分別編號(hào)為1，2，3，4，則X的可能取值為1，2，3，4.P(X＝1)＝C101C451＝29，P(X＝P(X＝3)＝C81C451＝845，P(X＝故X的分布列為X1234P2481例4解析：(1)由題意得隨機(jī)變量X的分布列如下表所示．X12341Pa2a3a4a5a由分布列的性質(zhì)得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115(2)PX≥35＝PX=35＋PX=45＋(3)∵110<X<35，∴X＝15或X∴P110<X<3