新教材2023版高中數(shù)學第3章概率3.2離散型隨機變量及其分布列3.2.1離散型隨機變量及其分布學生用書湘教版選擇性必修第二冊

3．2.1離散型隨機變量及其分布新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一隨機變量與離散型隨機變量1．隨機變量：如果隨機試驗每一個可能結果e，都唯一地對應著一個實數(shù)X(e)，則這個隨著試驗結果不同而變化的變量稱為隨機變量?.隨機變量通常用X，Y，ξ，η，…表示．批注?按照隨機變量的特性，通?？砂央S機變量分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量．2．離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有取值都可以________出來，則稱X為離散型隨機變量?.批注?離散型隨機變量可能取的值為有限個或至多可數(shù)個．要點二離散型隨機變量的分布列1．分布列的概念：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，其相應的的概率為p1，p2，…，pn，記P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，把上式或下表稱為離散型隨機變量X的概率分布列(簡稱為X的分布列?)．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn批注?離散型隨機變量的分布列有表格、圖形和解析式三種不同的表示形式．2.離散型分布列的性質?①pi≥________，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝________．批注?利用分布列的性質可以驗證某個分布列是否為離散型隨機變量的分布列．基礎自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在離散型隨機變量分布列中每一個可能值對應的概率可以為任意的實數(shù)．()(2)在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之積．()(3)離散型隨機變量的取值是任意的實數(shù)．()2．先后拋擲一枚質地均勻的骰子5次，那么不能作為隨機變量的是()A.出現(xiàn)7點的次數(shù)B.出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C.出現(xiàn)2點的次數(shù)D.出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)3．在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值的個數(shù)為()A.2B．4C．6D．84．設離散型隨機變量X的分布列為X1234P111p則p的值為________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性離散型隨機變量的判定例1(多選)下面給出四個隨機變量，其中是離散型隨機變量的是()A．某高速公路上某收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個隨機變量B．一個沿直線y＝x進行隨機運動的質點，它在該直線上的位置Y是一個隨機變量C．某網(wǎng)站未來1小時內(nèi)的點擊量D．一天內(nèi)的溫度η方法歸納判斷離散型隨機變量的步驟鞏固訓練1下列隨機變量中是離散型隨機變量的為()A．某人早晨在車站等出租車的時間XB．以測量儀的最小單位計數(shù)，測量的舍入誤差XC．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的射擊次數(shù)XD．沿數(shù)軸隨機運動的質點在數(shù)軸上的位置X用隨機變量表示隨機試驗的結果例2寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．(1)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，所含次品的件數(shù)X；(2)設一輛汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號燈，ξ表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù)．方法歸納在寫出隨機變量的取值表示的試驗結果時，要特別注意隨機變量的一個值表示多個試驗結果的情況，不能漏掉某些試驗結果．鞏固訓練2已知小王錢夾中有20元、10元、5元和1元面額的人民幣各一張，他決定隨機抽出兩張，用來買晚餐．若用X表示所抽兩張人民幣的金額之和，求出隨機變量X的取值范圍，并分別說明這些取值所表示的隨機試驗結果．求離散型隨機變量的分布列例3一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)字2，3，4，5；另一個盒子里也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)字3，4，5，6.現(xiàn)從一個盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x，再從另一個盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機變量η＝x＋y，求η的分布列．方法歸納求離散型隨機變量分布列的一般步驟鞏固訓練3某班有學生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．現(xiàn)從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的分布列．離散型隨機變量分布列的性質及應用例4已知離散型隨機變量X的分布列P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P(X≥35)(3)求P(110<X<35方法歸納離散型隨機變量分布列的性質的三個應用鞏固訓練4(1)設隨機變量ξ只能取5，6，7，…，16這12個值，且取每一個值概率均相等，若P(ξ<x)＝112，則x的取值范圍是________(2)設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝ckk+1，k＝1，2，3，c為常數(shù)，則P(0.5＜X＜2.5)＝3．2.1離散型隨機變量及其分布新知初探·課前預習[教材要點]要點一2．逐個列舉要點二2．01[基礎自測]1．(1)×(2)×(3)×2．解析：∵拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)7點，出現(xiàn)7點為不可能事件，∴出現(xiàn)7點的次數(shù)不能作為隨機變量.答案：A3．解析：可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結果，相應得分為300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值有4個.答案：B4．解析：由離散型隨機變量分布列的性質知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，所以p＝1－16-1答案：1題型探究·課堂解透例1解析：A是，因為1小時內(nèi)經(jīng)過該收費站的車輛可一一列出；B不是，質點在直線y＝x上運動時的位置無法一一列出；C是，1小時內(nèi)網(wǎng)站的訪問次數(shù)可一一列出；D不是，1天內(nèi)的溫度η是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內(nèi)的任意實數(shù)，無法一一列出．答案：AC鞏固訓練1解析：連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的射擊次數(shù)，可能是1，2，3，…，是隨機的，可以一一列出，是離散型隨機變量．選項A，B，D中的隨機變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．答案：C例2解析：(1)隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4.X＝i表示“取出的4件產(chǎn)品中有i件次品”，其中i＝0，1，2，3，4.(2)ξ可能的取值為0，1，2，3，4，5，ξ＝k(k＝0，1，2，3，4)表示“在遇到第k＋1盞信號燈時首次停下”；ξ＝5表示“在途中沒有停下，直達目的地”．鞏固訓練2解析：X的取值范圍是{6，11，15，21，25，30}．其中，X＝6表示“抽到的是1元和5元”；X＝11表示“抽到的是1元和10元”；X＝15表示“抽到的是5元和10元”；X＝21表示“抽到的是1元和20元”；X＝25表示“抽到的是5元和20元”；X＝30表示“抽到的是10元和20元”．例3解析：依題意，η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11.則有P(η＝5)＝14×4P(η＝6)＝216＝18，P(η＝7)＝P(η＝8)＝416＝14，P(η＝9)＝P(η＝10)＝216＝18，P(η＝11)＝所以η的分布列為：η567891011P1131311鞏固訓練3解析：將O，A，B，AB四種血型分別編號為1，2，3，4，則X的可能取值為1，2，3，4.P(X＝1)＝C101C451＝29，P(X＝P(X＝3)＝C81C451＝845，P(X＝故X的分布列為X1234P2481例4解析：(1)由題意得隨機變量X的分布列如下表所示．X12341Pa2a3a4a5a由分布列的性質得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115(2)PX≥35＝PX=35＋PX=45＋(3)∵110<X<35，∴X＝15或X∴P110<X<3