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3.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量:如果隨機(jī)試驗(yàn)每一個可能結(jié)果e,都唯一地對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)X(e),則這個隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的變量稱為隨機(jī)變量?.隨機(jī)變量通常用X,Y,ξ,η,…表示.批注?按照隨機(jī)變量的特性,通??砂央S機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量:如果隨機(jī)變量X的所有取值都可以________出來,則稱X為離散型隨機(jī)變量?.批注?離散型隨機(jī)變量可能取的值為有限個或至多可數(shù)個.要點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列1.分布列的概念:一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,其相應(yīng)的的概率為p1,p2,…,pn,記P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),把上式或下表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列(簡稱為X的分布列?).Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn批注?離散型隨機(jī)變量的分布列有表格、圖形和解析式三種不同的表示形式.2.離散型分布列的性質(zhì)?①pi≥________,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=________.批注?利用分布列的性質(zhì)可以驗(yàn)證某個分布列是否為離散型隨機(jī)變量的分布列.基礎(chǔ)自測1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量分布列中每一個可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù).()(2)在離散型隨機(jī)變量分布列中,在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之積.()(3)離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù).()2.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機(jī)變量的是()A.出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)B.出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)C.出現(xiàn)2點(diǎn)的次數(shù)D.出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2小于6的次數(shù)3.在一次比賽中,需回答三個問題,比賽規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值的個數(shù)為()A.2B.4C.6D.84.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1234P111p則p的值為________.題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性離散型隨機(jī)變量的判定例1(多選)下面給出四個隨機(jī)變量,其中是離散型隨機(jī)變量的是()A.某高速公路上某收費(fèi)站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個隨機(jī)變量B.一個沿直線y=x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn),它在該直線上的位置Y是一個隨機(jī)變量C.某網(wǎng)站未來1小時內(nèi)的點(diǎn)擊量D.一天內(nèi)的溫度η方法歸納判斷離散型隨機(jī)變量的步驟鞏固訓(xùn)練1下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為()A.某人早晨在車站等出租車的時間XB.以測量儀的最小單位計數(shù),測量的舍入誤差XC.連續(xù)不斷地射擊,首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)XD.沿數(shù)軸隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置X用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果例2寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值,并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件,所含次品的件數(shù)X;(2)設(shè)一輛汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號燈,ξ表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù).方法歸納在寫出隨機(jī)變量的取值表示的試驗(yàn)結(jié)果時,要特別注意隨機(jī)變量的一個值表示多個試驗(yàn)結(jié)果的情況,不能漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果.鞏固訓(xùn)練2已知小王錢夾中有20元、10元、5元和1元面額的人民幣各一張,他決定隨機(jī)抽出兩張,用來買晚餐.若用X表示所抽兩張人民幣的金額之和,求出隨機(jī)變量X的取值范圍,并分別說明這些取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果.求離散型隨機(jī)變量的分布列例3一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4,5;另一個盒子里也裝有4張大小形狀完全相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)字3,4,5,6.現(xiàn)從一個盒子里任取一張卡片,其上面的數(shù)記為x,再從另一個盒子里任取一張卡片,其上面的數(shù)記為y,記隨機(jī)變量η=x+y,求η的分布列.方法歸納求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟鞏固訓(xùn)練3某班有學(xué)生45人,其中O型血的有10人,A型血的有12人,B型血的有8人,AB型血的有15人.現(xiàn)從中抽1人,其血型為隨機(jī)變量X,求X的分布列.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用例4已知離散型隨機(jī)變量X的分布列P(X=k5)=ak(k=1,2,3,4,5)(1)求常數(shù)a的值;(2)求P(X≥35)(3)求P(110<X<35方法歸納離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的三個應(yīng)用鞏固訓(xùn)練4(1)設(shè)隨機(jī)變量ξ只能取5,6,7,…,16這12個值,且取每一個值概率均相等,若P(ξ<x)=112,則x的取值范圍是________(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=ckk+1,k=1,2,3,c為常數(shù),則P(0.5<X<2.5)=3.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一2.逐個列舉要點(diǎn)二2.01[基礎(chǔ)自測]1.(1)×(2)×(3)×2.解析:∵拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)7點(diǎn),出現(xiàn)7點(diǎn)為不可能事件,∴出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)不能作為隨機(jī)變量.答案:A3.解析:可能回答全對,兩對一錯,兩錯一對,全錯四種結(jié)果,相應(yīng)得分為300分,100分,-100分,-300分,因此甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值有4個.答案:B4.解析:由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,所以p=1-16-1答案:1題型探究·課堂解透例1解析:A是,因?yàn)?小時內(nèi)經(jīng)過該收費(fèi)站的車輛可一一列出;B不是,質(zhì)點(diǎn)在直線y=x上運(yùn)動時的位置無法一一列出;C是,1小時內(nèi)網(wǎng)站的訪問次數(shù)可一一列出;D不是,1天內(nèi)的溫度η是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內(nèi)的任意實(shí)數(shù),無法一一列出.答案:AC鞏固訓(xùn)練1解析:連續(xù)不斷地射擊,首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù),可能是1,2,3,…,是隨機(jī)的,可以一一列出,是離散型隨機(jī)變量.選項(xiàng)A,B,D中的隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,無法按一定次序一一列出,故不是離散型隨機(jī)變量.答案:C例2解析:(1)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.X=i表示“取出的4件產(chǎn)品中有i件次品”,其中i=0,1,2,3,4.(2)ξ可能的取值為0,1,2,3,4,5,ξ=k(k=0,1,2,3,4)表示“在遇到第k+1盞信號燈時首次停下”;ξ=5表示“在途中沒有停下,直達(dá)目的地”.鞏固訓(xùn)練2解析:X的取值范圍是{6,11,15,21,25,30}.其中,X=6表示“抽到的是1元和5元”;X=11表示“抽到的是1元和10元”;X=15表示“抽到的是5元和10元”;X=21表示“抽到的是1元和20元”;X=25表示“抽到的是5元和20元”;X=30表示“抽到的是10元和20元”.例3解析:依題意,η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11.則有P(η=5)=14×4P(η=6)=216=18,P(η=7)=P(η=8)=416=14,P(η=9)=P(η=10)=216=18,P(η=11)=所以η的分布列為:η567891011P1131311鞏固訓(xùn)練3解析:將O,A,B,AB四種血型分別編號為1,2,3,4,則X的可能取值為1,2,3,4.P(X=1)=C101C451=29,P(X=P(X=3)=C81C451=845,P(X=故X的分布列為X1234P2481例4解析:(1)由題意得隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.X12341Pa2a3a4a5a由分布列的性質(zhì)得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=115(2)PX≥35=PX=35+PX=45+(3)∵110<X<35,∴X=15或X∴P110<X<3
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