河南省金科新未來2024屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河南省金科新未來2024屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，解得，則，又因?yàn)?，則.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得．故選：D．3.已知向量，，，若，則（）A.3 B.-1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗由，，又由，可得：，解得.故選：A.4.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，所以恒成立，又由（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以．故選：A．5.“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱時(shí)，，此時(shí)不一定為0.所以“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱”的充分不必要條件.故選：A.6.已知函數(shù)，若，，都有成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?duì)于，，都有成立，所以函數(shù)是增函數(shù)，則函數(shù)和均為增函數(shù)，且有，即解得.故選：C．7.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，記其面積為，取其四邊的中點(diǎn)，，，，作第二個(gè)正方形，記其面積為，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第三個(gè)正方形，記其面積為，如果這個(gè)作圖過程一直繼續(xù)下去，記這些正方形的面積之和，則面積之和將無限接近于（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)正方形的面積為，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和，隨著的無限增大，無限接近于0，所以所有這些正方形的面積之和將無限接近于2．故選：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為,不等式恒成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，不等式恒成立，可知，設(shè)，，則，，且，于是在上單調(diào)遞增，注意到，不等式，等價(jià)于，即，得，解出.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知函數(shù)，，且，則下列說法正確的是（）A. B. C.的最小值為 D.〖答案〗AD〖解析〗由函數(shù)，且，如圖所示，可得，所以，即，可得，解得，故A正確；B錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，故D正確．故選：AD．11.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且數(shù)列滿足，則（）A. B.的前10項(xiàng)和為55C.當(dāng)時(shí)， D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由于，對(duì)前個(gè)等式求和，可得，即，解出，，顯然也滿足通項(xiàng)公式，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以的?0項(xiàng)和為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，利用選項(xiàng)的結(jié)論，可以得到，，因此解出，，顯然也滿足式子，故D選項(xiàng)正確．故選BCD．12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小值為B.若函數(shù)在點(diǎn)處切線與直線平行，則C.函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D〖答案〗ABD〖解析〗，由，令，有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.對(duì)于A選項(xiàng)，則有，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，即，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程無解；當(dāng)時(shí)，設(shè)，由，則單調(diào)遞增，且，故方程有唯一解，則有，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，由，所以方程無解；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，方程至多有一個(gè)解；故函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由，，且，故有，又由函數(shù)在單調(diào)遞增，所以有，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD．三、填空題13.命題“，”的否定是________.〖答案〗，〖解析〗根據(jù)全稱量詞命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題“，”的否定是“，”.故〖答案〗為:，.14.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．〖答案〗1〖解析〗由于為偶函數(shù)，則，即，因此，則，解出．故〖答案〗為：1.15.已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意知，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，即在區(qū)間有零點(diǎn)，又，即為的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以解得，即m的取值范圍是．故〖答案〗為：16.已知函數(shù)其中，，的部分圖象如下圖所示，若在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由圖象對(duì)稱性可知，函數(shù)的圖象與軸正半軸第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由圖可知為其對(duì)稱軸，則，解出，由于，故，，則，，因?yàn)椋?，于是，由于，故，因此，易知，因?yàn)樵?，上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求A；（2）若為邊上一點(diǎn)，，，，求的面積．解：（1）由正弦定理有，因?yàn)?，所以，則，又，所以，由，得，因?yàn)?，所?（2）在中，由余弦定理得，將代入，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），由于，所以，因此的面積為．18.在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由于，令，則，將代入，解出或，因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，則，所以：.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）知，所以：故數(shù)列的前項(xiàng)和為：.19.已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，于是，，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立，設(shè)，，則，令，，則在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，于是，因此在上恒成立，在上單調(diào)遞減，則，由此可知，，于是實(shí)數(shù)的最大值為．20.如圖，某公園有一塊扇形人工湖OAB，其中，千米，為了增加人工湖的觀賞性，政府計(jì)劃在人工湖上建造兩個(gè)觀景區(qū)，其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形，噴泉觀景區(qū)的形狀為，且C在OB上，D在OA上，P在上，記．（1）試用θ分別表示矩形和的面積；（2）若在PD的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用為每千米8萬元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)的費(fèi)用為每平方千米16萬元，建造荷花池的總費(fèi)用為6萬元．求當(dāng)θ為多少時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用．（1）解：由題意，所以，，所以矩形PCOD的面積為，的面積為.（2）解：由題意，可得建造觀景區(qū)所需總費(fèi)用為：，設(shè)，則，又由，所以，當(dāng)，即時(shí)，有，所以（萬元），即當(dāng)平時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，且最低費(fèi)用為萬元．21.已知數(shù)列滿足且，數(shù)列滿足且，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）在（2）的條件下，對(duì)于實(shí)數(shù)，存在正整數(shù)，使得成立，求的最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，且，可知?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列所以，即；因?yàn)閿?shù)列滿足，所以數(shù)列為等差數(shù)列，由于，，可得公差，所以.（2）由題意可知，于是，則，兩式錯(cuò)位相減得到，因此.（3）由（2）可知，，因此是單調(diào)遞增數(shù)列，于是，因此，則實(shí)數(shù)的最小值為2.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）證明：因?yàn)椋?，且知，要證函數(shù)單調(diào)遞增，即證在上恒成立，設(shè)，則，注意，在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，且，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）解：由，有，令，所以，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，注意到，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，與在上均