中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式-知識講解（提高）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式—知識講解（提高）責(zé)編：常春芳【考綱要求】1.了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)舉行約分和通分，會舉行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠按照詳細(xì)問題數(shù)量關(guān)系列出容易的分式方程，會解容易的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質(zhì)舉行二次根式的化簡，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則舉行二次根式的運(yùn)算．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1．分式

設(shè)A、B表示兩個整式．倘若B中含有字母，式子就叫做分式．注重分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]存心義.

2.分式的基本性質(zhì)

（M為不等于零的整式）.

3．最簡分式

分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．倘若分子分母有公因式，要舉行約分化簡.

要點(diǎn)詮釋：分式的概念需注重的問題：

(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號，還含有括號的作用；

（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；

（3）判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只按照它的原有形式舉行判斷．

（4）分式有無意義的條件：在分式中，

①當(dāng)B≠0時(shí)，分式存心義；當(dāng)分式存心義時(shí)，B≠0．

②當(dāng)B=0時(shí)，分式無意義；當(dāng)分式無意義時(shí)，B=0．

③當(dāng)B≠0且A=0時(shí)，分式的值為零．考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算

1．基本運(yùn)算法則

分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,詳細(xì)運(yùn)算法則如下:

（1）加減運(yùn)算±=同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則舉行計(jì)算.（2）乘法運(yùn)算兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.

（4）乘方運(yùn)算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分離乘方．

2．零指數(shù).

3．負(fù)整數(shù)指數(shù)

4．分式的混合運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的．

5．約分

把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．約分需明確的問題：

(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；

(2)約分的關(guān)鍵是決定分式的分子和分母的公因式，其思量過程與分解因式中提取公因式時(shí)決定公因式的思量過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．

6．通分

按照分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．通分注重事項(xiàng)：

(1)通分的關(guān)鍵是決定最簡公分母；最簡公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．

(3)決定最簡公分母的主意：

最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.

要點(diǎn)詮釋：分式運(yùn)算的常用技巧（1）順序可加法：有些異分母式可加,最簡公分母很復(fù)雜,倘若采用先通分再可加的主意很繁瑣.倘若先把兩個分式相加減,把所得結(jié)果與第三個分式可加減,順序運(yùn)算下去,極為簡便.(2)整體通分法：當(dāng)整式與分式相加減時(shí),普通情況下,常常把分母為1的整式看做一個整體舉行通分,依此主意計(jì)算,運(yùn)算簡便.(3)巧用裂項(xiàng)法：對于分子相同、分母是相鄰兩個延續(xù)整數(shù)的積的分式相加減，分式的項(xiàng)數(shù)是比較多的，無法舉行通分，因此，常用分式舉行裂項(xiàng).(4)分組運(yùn)算法:當(dāng)有三個以上的異分母分式相加減時(shí),可考慮分組,原則是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能浮上分子為常數(shù),且值相同或?yàn)楸稊?shù)關(guān)系,這樣才干使運(yùn)算簡便.(5)化簡分式法：有些分式的分子、分母都異常時(shí)倘若先通分，運(yùn)算量很大.應(yīng)先把每一個分離化簡，再相加減.（6）倒數(shù)法求值（取倒數(shù)法）.（7）活用分式變形求值.(8)設(shè)k求值法(參數(shù)法)(9)整體代換法.(10)消元代入法.考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用

1．分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．

3．分式方程的增根問題

(1)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，倘若轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會浮上不相宜原方程的根增根；

(2)驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡芨∩显龈越夥质椒匠瘫仨汄?yàn)根．驗(yàn)根的主意是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，倘若為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．

4．分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、決定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而準(zhǔn)確列出方程，并舉行求解．另外，還要注重從多角度思量、分析、解決問題，注重檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性．

要點(diǎn)詮釋：

解分式方程注重事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須舉行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的主意是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，倘若為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——按照等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；

(6)答——答題．考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)1.；2.；3.；4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.6.若，則.要點(diǎn)詮釋：與的異同點(diǎn)：（1）不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)．但與都是非負(fù)數(shù)，即，．因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算1．二次根式的乘除運(yùn)算(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿意以下兩個要求：①應(yīng)為最簡二次根式或有理式；②分母中不含根號.(2)注重知道每一步運(yùn)算的算理；(3)乘法公式的推廣：2．二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3．二次根式的混合運(yùn)算(1)對二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有無數(shù)相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣迅速確切地舉行二次根式的混合運(yùn)算.1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，本來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式依然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈便運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，挑選恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個步驟完成，一是舉行乘法運(yùn)算，二是舉行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)凝聚，易于理解和控制.在運(yùn)算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，舉行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡.例如，沒有須要先對舉行化簡，使計(jì)算繁瑣，可以先按照乘法分配律舉行乘法運(yùn)算，，通過約分達(dá)到化簡目的；(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在舉行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會使運(yùn)算簡化.4．分母有理化把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；普通地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；普通地互為有理化因式.【典型例題】類型一、分式的意義 1．若分式的值為0，則x的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值為零的條件得﹣1=0，x+1≠0，由﹣1=0，得x=﹣1或x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴x=1，故答案為1．【總結(jié)升華】若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．舉一反三：【變式1】倘若分式的值為0，則x的值應(yīng)為.【答案】由分式的值為零的條件得3x2-27=0且x-3≠0，

由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，

∴x=-3或x=3，

由x-3≠0，得x≠3．

綜上，得x=-3，分式的值為0．故答案為：-3．【高清課程名稱：分式與二次根式高清ID號：399347關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1】【變式2】若分式不論x取何實(shí)數(shù)總存心義，則m的取值范圍是．【答案】若分式不論x取何實(shí)數(shù)總存心義，則分母≠0，設(shè)，當(dāng)△＜0即可，.答案m＞1.類型二、分式的性質(zhì)2．已知求的值.【答案與解析】設(shè),所以所以所以即或當(dāng),所求代數(shù)式,當(dāng),所求代數(shù)式.即所求代數(shù)式等于或.【總結(jié)升華】當(dāng)已知條件以此等式浮上時(shí)，可用設(shè)k法求解.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案】因?yàn)楦魇娇杉拥盟?，所以類型三、分式的運(yùn)算3．已知且,求的值.【答案與解析】因?yàn)?所以原等式兩邊同時(shí)乘以,得:即所以所以【總結(jié)升華】條件分式的求值，如需把已知條件或所示條件分式變形，必須根據(jù)題目自身的特點(diǎn)，這樣才干到事半功倍的效果，條件分式的求值問題體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.舉一反三：【變式1】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【高清課程名稱：分式與二次根式高清ID號：399347關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例2】【變式2】已知x＋y=－4，xy=－12，求的值．【答案】原式=將x＋y＝－4，xy＝－12代入上式，∴原式類型四、分式方程及應(yīng)用4．a(chǎn)何值時(shí),關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根?【答案與解析】方程兩邊都乘以,得收拾得.當(dāng)a=1時(shí),方程無解.當(dāng)時(shí),.倘若方程有增根,那么,即或.當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,所以a=6.所以當(dāng)或a=6原方程會產(chǎn)生增根.【總結(jié)升華】因?yàn)樗o方程的增根只能是或，所以應(yīng)先解所給的關(guān)于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.5．甲．乙兩人決定收拾一批新到的實(shí)驗(yàn)器材．若甲單獨(dú)收拾需要40分鐘完工：若甲．乙共同收拾20分鐘后，乙需再單獨(dú)收拾20分鐘才干完工．（1）問乙單獨(dú)收拾多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的收拾時(shí)光不超過30分鐘，則甲至少收拾多少分鐘才干完工？【答案與解析】（1）設(shè)乙單獨(dú)收拾x分鐘完工，按照題意得：解得x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)x＝80是原分式方程的解．答：乙單獨(dú)收拾80分鐘完工．（2）設(shè)甲收拾y分鐘完工，按照題意，得解得：y≥25答：甲至少收拾25分鐘完工．【總結(jié)升華】分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．此題等量關(guān)系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時(shí)光．（1）將總的工作量看作單位1，按照本工作分兩段時(shí)光完成列出分式方程解之即可；（2）設(shè)甲收拾y分鐘完工，按照收拾時(shí)光不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可．舉一反三：【變式】小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供挑選：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時(shí)的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達(dá)．若設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，按照題意，得（）A． B． C． D．【答案】設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，故選A．類型五、二次根式的定義及性質(zhì)6．要使式子存心義，則a的取值范圍為．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】按照題意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案為：a≥－2且a≠0．【總結(jié)升華】本題考查的考點(diǎn)為：分式存心義，分母不為0；二