5.3.1樣本事件與空間

5.3.1樣本事件與空間TOC\o"13"\h\z\u題型1樣本點(diǎn)與樣本空間 2題型2事件類型的判斷 6題型3隨機(jī)事件的概率 11知識(shí)點(diǎn)一.隨機(jī)試驗(yàn)的概念和特點(diǎn)1.隨機(jī)試驗(yàn)∶我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，常用字母E來表示.2.隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)∶①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.知識(shí)點(diǎn)二.樣本點(diǎn)和樣本空間定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點(diǎn)用ω表示樣本點(diǎn)樣本空間把由所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間通常用大寫希臘字母Ω表示有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…ωn，則稱樣本空間Ω={ω1，ωΩ={ω1，ω2，…知識(shí)點(diǎn)三.隨機(jī)事件1.不可能事件∶在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，始終不會(huì)發(fā)生的結(jié)果.2.必然事件∶在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，每次試驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生的結(jié)果.3.隨機(jī)事件∶如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，則隨機(jī)事件A是Ω的一個(gè)非空真子集，而且∶若試驗(yàn)的結(jié)果是A中的元素，則稱A發(fā)生（或出現(xiàn)等）；否則，稱A不發(fā)生（或不出現(xiàn)等）.在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的結(jié)果.注意：（1）不可能事件、隨機(jī)事件、必然事件都可簡(jiǎn)稱為事件。（2）任何一個(gè)隨機(jī)事件既有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生。4.事件的表示∶不可能事件、隨機(jī)事件、必然事件都可簡(jiǎn)稱為事件．通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示事件．因?yàn)槭录欢ㄊ菢颖究臻g的子集，從而可以用表示集合的韋恩圖來直觀地表示事件，特別地，只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.知識(shí)點(diǎn)四.隨機(jī)事件的概率（1）我們將不可能事件?發(fā)生的概率規(guī)定為0，將必然事件Ω發(fā)生的概率規(guī)定為1，即P（?）=0,P(Ω)=1.任意事件A的概率為∶0≤P（A）≤1.(2)事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0（如圖）.題型1樣本點(diǎn)與樣本空間【方法總結(jié)】1.樣本空間只與問題的背景有關(guān)，根據(jù)問題的背景明確試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果；2.根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的順序列舉出所有樣本點(diǎn)，用集合表示成樣本空間.也可以借助樹狀圖、列表等方法幫助我們列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.【例題1】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）高一(1)班計(jì)劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級(jí)參加一次活動(dòng)，則樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合列舉法運(yùn)算求解.【詳解】從A，B，C，D，E五人中選兩人，不同的選法有：A,B,所以樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10．故選：B.【變式11】1．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）做投擲2枚均勻骰子的試驗(yàn)，用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：(1)試驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含的樣本點(diǎn)；(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的樣本點(diǎn)；(4)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含的樣本點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)【分析】列舉法寫出樣本點(diǎn)即可.【詳解】（1）試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．（2）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)樣本點(diǎn)：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).（3）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).（4）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).【變式11】2．（2023下·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）已知某校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為180，120，120．現(xiàn)采用樣本按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)去敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從該7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院衛(wèi)生打掃工作．設(shè)7名同學(xué)中來自高一的3人分別為A，B，C，記事件M=“抽取的兩名同學(xué)中至少有一名來自高一年級(jí)”，試用所給字母寫出事件M包含的樣本點(diǎn)；【答案】(1)分別抽取3人，2人，2人(2)答案見解析【分析】（1）利用分層抽樣的定義結(jié)合已知條件求解即可，（2）根據(jù)題意利用列舉法求解【詳解】（1）由題意知，高一、高二、高三，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為180:120:120=3:2:2，又采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)．故應(yīng)從高一、高二、高三，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（2）M=A,B，A,C，A,D，A,E，A,F，A,G，B,C，B,D，B,E，B,F，B,G，C,D，C,E，C,F，C,G【變式11】3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）從A、B、C、D、E這5名學(xué)生中任意抽取3人參加學(xué)校組織的座談會(huì)．(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間；(2)寫出事件“A被選中”包含的樣本點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用列舉法直接求解樣本空間；（2）利用列舉法直接求解樣本點(diǎn).【詳解】（1）該試驗(yàn)的樣本空間為：Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)}（2）事件“A被選中”包含6個(gè)樣本點(diǎn)，分別為(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E)．【變式11】4.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）做試驗(yàn)“從-1，1，2這3個(gè)數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個(gè)數(shù)字，構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x,y)，x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字”．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)寫出這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件包含的樣本點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析(2)6(3)(2,-1)，(2,1)【分析】（1）根據(jù)樣本空間的定義求解；（2）直接計(jì)數(shù)可得；（3）由（1）可得．【詳解】（1）這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω={(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1)}（2）易知這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)是6．（3）“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件包含的樣本點(diǎn)為：(2,-1)，(2,1).題型2事件類型的判斷【方法總結(jié)】判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn)一看條件，因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的；二看結(jié)果是否發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件.【例題2】（2022上·黑龍江牡丹江·高二?？茧A段練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°C，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形，其面積為【答案】B【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的概念判斷即可【詳解】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；C．長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形，其面積為D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件．故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【變式21】1．（多選）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是必然事件【答案】ABC【分析】由隨機(jī)事件、不可能事件、必然事件的概念對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件，故A正確；對(duì)于B，事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹挥?張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，所以事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件，故C正確；對(duì)于D，事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件，故D不正確.故選：ABC.【變式21】2．（2021上·高一課時(shí)練習(xí)）在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品.從中任意抽出3件.下列事件中:①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品.隨機(jī)事件有，必然事件有，不可能事件有.【答案】①②④③【分析】根據(jù)正品和次品產(chǎn)品的數(shù)目，結(jié)合事件的概念，即可得出答案.【詳解】對(duì)于①，由題意知，抽出的3件可能都是正品，故①是隨機(jī)事件；對(duì)于②，由題意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是隨機(jī)事件；對(duì)于③，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；對(duì)于④，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.故答案為：①②；④；③.【變式21】3．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件．①“拋一石塊，下落”；②“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰融化”；③“某人射擊一次，中靶”；④“如果a>b，那么a-b>0”；⑤“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”；⑥“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；⑦“從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽”；⑧“某機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫”；⑨“沒有水分，種子能發(fā)芽”；⑩“在常溫下，焊錫熔化”．【答案】事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是隨機(jī)事件．【分析】利用必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的意義逐一判斷各個(gè)命題作答.【詳解】依題意，事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是隨機(jī)事件.【變式21】4．（2020·安徽·）從4名男生，2名女生中隨機(jī)抽取3人，則下列事件中的必然事件是（

）A．至少有2名男生 B．至少有1名男生C．3人都是男生 D．有2名女生【答案】B【分析】從4名男生，2名女生中隨機(jī)抽取3人，顯然必有1名男生，根據(jù)這個(gè)事實(shí)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】從4名男生，2名女生中隨機(jī)抽取3人，有可能2名女生1名男生，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；也有可能3人全是男生，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，只要選項(xiàng)B是必然事件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)必然事件的理解.解題的關(guān)鍵是對(duì)問題的隱含事實(shí)的認(rèn)識(shí).【變式21】5．（2020·江西·南昌縣蓮塘第三中學(xué)）下列事件中是隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)有

①連續(xù)兩次拋擲兩個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)；②在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人買彩票中獎(jiǎng)；④已經(jīng)有一個(gè)女兒，那么第二次生男孩；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃是會(huì)沸騰．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)隨機(jī)事件就是在指定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷，得到答案.【詳解】由題意，隨機(jī)事件就是在指定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，①連續(xù)兩次拋擲兩個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件，②在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉，這是一定發(fā)生的事件，不是隨機(jī)事件；③某人買彩票中獎(jiǎng)，此事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件；④已經(jīng)有一個(gè)女兒，那么第二次生男孩，此事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃是會(huì)沸騰，此事一定不發(fā)生，不是隨機(jī)事件.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件，必然事件、不可能事件的概念及判斷，其中熟記隨機(jī)事件的基本概念是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式21】6．（2020下·湖南邵陽(yáng)·高二湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．任一事件的概率總在0,1內(nèi) B．不可能事件的概率一定為0C．必然事件的概率一定為1 D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定【答案】D【分析】結(jié)合概率的定義和性質(zhì)一一判斷選項(xiàng)即可．【詳解】解：任一事件的概率總在0,1內(nèi)，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，概率是客觀存在的，是一個(gè)確定值．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．題型3隨機(jī)事件的概率【方法總結(jié)】1.概率的性質(zhì)必然事件Ω的概率P（Ω）=1。不可能事件?的概率P（?）=0。隨機(jī)事件A的概率P（A）∈（0，1）。2.概率的意義概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事件的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計(jì)”是不同的?！纠}3】（2020下·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）拋擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)9次正面向上，則第10次出現(xiàn)正面向上的概率為（

）A．110 B．19 C．1【答案】D【分析】由正面向上或正面向下可能性相同可求出所求概率.【詳解】第10次拋硬幣結(jié)果不受前9次結(jié)果的影響，由于硬幣正面向上或正面向下可能性相同，則概率為12故選:D．【點(diǎn)睛】本題考查了等可能事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.【變式31】1．（2020下·山東青島·高二?？计谥校┓謩e獨(dú)立的扔一枚骰子和硬幣，并記下骰子向上的點(diǎn)數(shù)和硬幣朝上的面，則結(jié)果中含有“1點(diǎn)或正面向上”的概率為（

）A．512 B．12 C．7【答案】C【分析】列出所有的基本事件，再結(jié)果中含有“1點(diǎn)或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.【詳解】分別獨(dú)立的扔一枚骰子和硬幣,所以的基本事件是：1正面向上，1反面向上，2正面向上，2反面向上，3正面向上，3反面向上，4正面向上，4反面向上，5正面向上，5反面向上，6正面向上，6反面向上.共12個(gè)基本事件.含有“1點(diǎn)或正面向上”有1正面向上，1反面向上，2正面向上，3正面向上，4正面向上，5正面向上，6正面向上，共7個(gè)基本事件，結(jié)果中含有“1點(diǎn)或正面向上”的概率為：712故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是隨機(jī)事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列舉法求解是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.【變式31】2．（2022·新疆·塔城市第三中學(xué)）擲一枚均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面向上的概率是A．1999 B．11000 C．999【答案】D【詳解】每一次出現(xiàn)正面朝上的概率相等都是12【變式31】3．（2020·北京市第四十三中學(xué)高一階段練習(xí)）某購(gòu)物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購(gòu)買，規(guī)定每個(gè)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買到該商品.規(guī)則如下：（?。u號(hào)的初始中簽