2021年中考數(shù)學(xué)全真模擬卷(上海專用)(解析版)

備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)

上海市中考數(shù)學(xué)全真模擬卷01（2020年中考仿真篇）

一、單選題

1.下列二次根式中，與岳（。＞0）屬同類二次根式的是（）

A.J2a2B.y/4aC.J&JD-"人

【答案】C

【解析】

根據(jù)同類二次根式的定義進行逐一判斷即可得解.A.而7=可，與疝的被開方數(shù)不同，則它們不是

同類二次根式，故本選項不合題意；

B.J布=2&，與岳的被開方數(shù)不同，則它們不是同類二次根式，故本選項不合題意；

C.次/=2。缶，與伍的被開方數(shù)相同，則它們是同類二次根式，故本選項正確；

D.歷'=2。與疝的被開方數(shù)不同，則它們不是同類二次根式，故本選項不合題意，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了同類二次根式的相關(guān)定義，熟練掌握二次根式的化簡及同類二次根式的定義運用是解決本

題的關(guān)鍵.

x—13xx—1

2.用換元法解分式方程----------+1=0時，如果設(shè)——=y,將原方程化為關(guān)于y的整式方程，那么

XX-1X

這個整式方程是（）

A.y2+y-3=0B.y2-3y+l=0C.3y2-y+1=0D.3y2-y-1=0

【答案】A

【解析】

X—1x-1

換元法即是整體思想的考查，解題的關(guān)鍵是找到這個整體，此題的整體是——，設(shè)——=y,換元后整

XX

v—1v—13x3

理即可求得.解：把——=丫代入方程--------+l=o,得：y一一+1=0.

xxx-1y

方程兩邊同乘以y得：y2+y-3=0.

故選A.

【點睛】

用換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用

換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧.

3.期末考試后，數(shù)學(xué)老師想制作一個統(tǒng)計圖來了解一下本班數(shù)學(xué)考試各個分?jǐn)?shù)段人數(shù)占班級總?cè)藬?shù)的百

分比，最適合的統(tǒng)計圖是（）

A.條形統(tǒng)計圖B.扇形統(tǒng)計圖

C.折線統(tǒng)計圖D.以上都可以

【答案】B

【解析】

【解析】

根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點，扇形統(tǒng)計圖表示的是部分在總體中所占的百分比，但一般不能直接從圖中得到具

體的數(shù)據(jù)，由此即可解答.根據(jù)統(tǒng)計圖的特點，想了解本班數(shù)學(xué)考試各個分?jǐn)?shù)段人數(shù)占班級總?cè)藬?shù)的百分

比，應(yīng)選用扇形統(tǒng)計圖，故選B.

【點睛】

本題考查了扇形統(tǒng)計圖的特點，熟知扇形統(tǒng)計圖表示的是部分在總體中所占的百分比，但一般不能直接從

圖中得到具體的數(shù)據(jù)是解決問題的關(guān)鍵.

4.已知反比例函數(shù)y下列結(jié)論正確的是（）

X

A.圖像經(jīng)過點（-1,1）B.圖像在第一、三象限

C.y隨著x的增大而減小D.當(dāng)x>l時，y<1

【答案】B

【解析】

分析：直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)進而分析得出答案.

詳解：A.反比例函數(shù)產(chǎn)上，圖象經(jīng)過點（-1,-1）,故此選項錯誤；

X

B.反比例函數(shù)尸,，圖象在第一、三象限，故此選項正確；

X

C.反比例函數(shù)產(chǎn)每個象限內(nèi)，y隨著X的增大而減小，故此選項錯誤；

X

D.反比例函數(shù)產(chǎn),，當(dāng)x>l時，故此選項錯誤.

X

故選B.

點睛：本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.下列命題中，假命題是（）

A.順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形

B.順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形

C.順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形

D.順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形

【答案】D

【解析】

根據(jù)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定、中位線定理、中點四邊形的定義進行判定即

觀察圖形：E,RG,”分別為4C,A8,8D,C￡＞的中點，根據(jù)中位線定理：

EF//BC,GH//BC,EF=GH=；BC

A：順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形,正確；

B：順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形，正確；

C：順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形，正確；

D：順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形，錯誤.

故答案選：D.

【點睛】

本題考查中位線定理應(yīng)用、平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定，掌握四邊形的判定是解題關(guān)鍵.

6.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,其中點B、C分別與點D、E對應(yīng)，如果B、D、C三

點恰好在同一直線上，那么下列結(jié)論錯誤的是（）

BDC

A.NACB=NAEDB.NBAD=NCAE

C.ZADE=ZACED.ZDAC=ZCDE

【答案】D

【解析】

利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)直接對A選項進行判斷；利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NB4C=ND4E,再利用角的和差可得

ZBAD=ZCAE,則可對B選項進行判斷；利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NA￡>E=/B,A3=AZ>,AC=AE,然后

根據(jù)等腰三角形頂角相等時底角相等得到N8=NACE,則=NACE,則可對C選項進行判斷；

先判斷NCDE=NB4O,而/明。不能確定等于NZMC,則可對D選項進行判斷.?.?△ABC繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)得到AADE

：.ZACB=ZAED,則A選項的結(jié)論正確

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NBAC=ZDAE

即NB4Z>+NZXC=NC4E+NZXC

：.ZBAD^ZCAE,則B選項的結(jié)論正確

AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AADE

：.ZADE=ZB,AB=AD,AC=AE

.?.“30和都是等腰三角形

：ZBAD=ZCAE

二AB=ZACE

二ZADE^ZACE,則C選項的結(jié)論正確

VZADC=AB+ZBAD,即NA0E+NC￡)E=NB+NB4。

又?；NADE=/B

：.NCDE=NBAD

「AD不能確定平分的C

，ZBAD不能確定等于ZDAC

，NCDE不能確定等于ND4C,則D選項的結(jié)論錯誤

故選：D.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題

7.計算：a-(3a)2=_.

【答案】9/

【解析】

先根據(jù)積的乘方法則計算，再根據(jù)單項式乘以單項式法則計算.解：原式=少9足=9〃,

故答案為：9涼.

【點睛】

考查了積的乘方和單項式乘以單項式，解題關(guān)鍵是熟記計算法則.

8.已知函數(shù)/(幻=二」，那么/(—2)=—.

2-x

3

【答案】一二

4

【解析】

—2—13

把x=—2代入函數(shù)解析式即可得到答案.解：〃_2)=2_(_2)=一了

3

故答案為：—.

4

【點睛】

本題考查的是求函數(shù)值，掌握已知自變量的值求函數(shù)值的方法是解題的關(guān)鍵.

9.如果正比例函數(shù)》=履的圖像經(jīng)過第一、三象限，那么y的值隨著工的值增大而.（填“增大”

或''減小’'）

【答案】增大

【解析】

根據(jù)題目信息，正比例函數(shù)y=履的圖像經(jīng)過第一、三象限，可得k的值大于0,即可得出結(jié)論.根據(jù)正比

例函數(shù)的性質(zhì)可知，

如果正比例函數(shù)丫=1?的圖像經(jīng)過第一、三象限，那么k>0,

那么y的值隨自變量x的值增大而增大.

故答案為：增大.

【點睛】

本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)即可解題.

10.己知關(guān)于X的方程f+3x—機=0有兩個相等的實數(shù)根，那么"，的值為.

【答案】一二9

4

【解析】

根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得出△=（），求出m的值即可.解：關(guān)于x的方程x2+3x-m=0有兩個相等的

實數(shù)根，

9

即9+4m=0,解得m=.

4

9

故答案為—.

4

【點睛】

本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0）的根與△=b?-4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)

鍵.

11.木盒中有一個紅球與一個黃球，這兩個球除顏色外其他都相同，從盒子里先摸出一個球，放回搖勻后,

再摸出一個球，兩次都摸到黃球的概率是.

【答案】-

4

【解析】

根據(jù)題意畫出樹狀圖，據(jù)此列出所有等可能結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解可得.解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有4種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到黃球的只有1種情況，

所以兩次都摸到黃球的概率為L,

4

故答案為：一.

4

【點睛】

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,

列表法適合于兩步完成的事件：樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

12.已知拋物線y=d,把該拋物線向上或向下平移，如果平移后的拋物線經(jīng)過點A（2,2）,那么平移后

的拋物線的表達式是.

【答案】y=x2-2

【解析】

設(shè)所求的函數(shù)解析式為y=x2+h,然后將點A坐標(biāo)代入求得k即可.

解：設(shè)所求的函數(shù)解析式為y=x2+h

將點A坐標(biāo)代入得：2=2?+h,解得h=-2

所以平移后的拋物線的表達式是y=x2-2.

故答案為y=x2-2.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的平移問題，上下平移不改變二次項系數(shù)及頂點的橫坐標(biāo)，只改變頂點的縱坐標(biāo),

上加下減.

13.某校計劃在“陽光體育'’活動課程中開設(shè)乒乓球、羽毛球、籃球、足球四個體育活動項目.為了了解全

校學(xué)生對這四個活動項目的選擇情況，體育老師從全體學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查（規(guī)定每人必

須并且只能選擇其中一個項目），并把調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)這個統(tǒng)計圖可以估計該學(xué)

校1500名學(xué)生中選擇籃球項目的學(xué)生約為名.

【答案】300

【解析】

先計算出調(diào)查學(xué)生人數(shù)中選擇籃球項目學(xué)生所占的百分比，再利用樣本估計總體用總?cè)藬?shù)乘以選擇籃球項

目學(xué)生所占的百分比即可得出答案.解：選擇籃球項目學(xué)生所占的百分比為：1-16%-28%-36%=20%,

.?.學(xué)校1500名學(xué)生中選擇籃球項目的學(xué)生人數(shù)約為：1500x20%=300（名）.

故答案為:300.

【點睛】

本題考查了扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖，小明在教學(xué)樓A3的樓頂A測得：對面實驗大樓8的頂端。的仰角為a,底部。的俯角為

B，如果教學(xué)樓的高度為加米，那么兩棟教學(xué)樓的高度差CH為米.

mtana

［答案

【解析】

DH

連接AC,由題意知四邊形ABCH是矩形，則DH=AB=m,利用RsADH得到tanND4"=——,推出

AH

LJ

AH=-再根據(jù)RsACH中tan/C4”=——，即可求出答案.連接AC,

tan/7AH

由題意知四邊形ABCH是矩形，則DH=AB=m,

DH

在RtAADH中，ZDAH=0,tanZDAH

~AH

.?m

：.AH=--------

tanp

CH

在RtAACH中,NCAH=a,tanNCA"=-----

AH

mmtanor

:.CH=tana-

tan0tan0

mtana

故答案為：~

tan/7

c

【點睛】

此題考查銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確理解題中的仰角和俯角，構(gòu)建直角三角形利用銳角

三角函數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知ABC中，點。、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,DC、BE交于點O,AB=3AD,設(shè)

品=3，DE=b＞那么向量的用向量7、坂表示是

1r3r

［答案］--a■1—b

44

【解析】

利用平行線分線段成比例定理求出二，根據(jù)三角形法則求出?，證明OO=L〃C即可.解:

oCUC-］

,JDE//BC,

AZ)_DE_1

AB-BC-3'

：.BC=3DE,

「△DOEs△COB,

.OD_DE_1

"OC-BC-3)

.11

??OD=—OC=—CD,

34

f=f+f,

DCDBBC

：.—........>+——>,

D。4?4*

13

故答案為：----->■1------>

4a4h

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例和平面向量的知識點

16.某市出租車計費辦法如圖所示，如果小張在該市乘坐出租車行駛了10千米，那么小張需要支付的車費

為元.

【答案】30.8

【解析】

設(shè)超過3千米的函數(shù)解析式為y=kx+b,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求得解析式，然后把x=10代入即可求

得車費.由圖象可知，出租車的起步價是14元，在3千米內(nèi)只收起步價，

設(shè)超過3千米的函數(shù)解析式為y=kx+b,

3m4

則《

8k+b=26

k=2.4

解得

b-6.8

.??超過3千米時（x>3）所需費用y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=2.4x+6.8,

...出租車行駛了10千米則y=2.4xl0+6.8=30.8（元），

故答案為：30.8.

【點睛】

此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，矩形ABC。沿對角線BO翻折后，點C落在點E處.聯(lián)結(jié)CE交邊AO于點F.如果。尸=1,BC

=4,那么AE的長等于.

【解析】

由折疊的性質(zhì)可得HABCDM&ABEO,由矩形的性質(zhì)可證明三放ABC。，故可得

RtADAB=RMED,再證明用A5CD?RrACDE求得CD=2,在R/AAEE中由勾股定理可得解.解:

?四邊形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，

ARt\BCD^RtNBED,CE工BD,

AAD=BC=4,AB=CD=ED,

???四邊形ABCD是矩形，

，AD=BC,AB=CD,

又BD=DB

二Rt\DAB^Rt\BCD

???RtX）AB=RtKBED

：?AB=ED，ZABD=/EDB

???四邊形ABDE是等腰梯形，

'：CELBD,AE//BD

/.CE±AE,ZEAD=ZADB=ZDBC

■:ZDBC+ZFCB=90°,NFBC+ZFCD=90°

:.NDBC=4FCD

：.Rt^BCD~Rt^CDF

.FDCDm\_CD

CDBCCD4

二CD=2或-2（舍去）

CD21

在Rt^DCB中，tanNDBC-......=—=—,

BC42

■:NEAD=ZDBC

tanZEAD=—

2

在心A4E/中，EF=-AE

2

由勾股定理得，AE1^AF--EF2

即AE2=(AD-FD)2-(^AE)2

：.AE2=(4-1)2--AE2

4

解得：AE=1V5.

故答案為：述.

5

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形，勾股定理的運用以及折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于

軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

18.如圖，在R/AABC中，ZACB=90\AB=5,BC=3,點P在邊AC上，OP的半徑為1,如果

QP與邊BC和邊AB都沒有公共點，那么線段PC長的取值范圍是.

7

【答案】1<PC〈一

3

【解析】

根據(jù)勾股定理得到AC=4,然后找出OP與邊BC、AB相切的臨界點，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論.解：在R/AABC中，ZACB=90\AB=5,BC=3,

由勾股定理，則AC=j52-32=4,

當(dāng)OP與邊BC相切時，則點C恰好為切點,

此時PC=1；

當(dāng)OP與邊AB相切時，如圖，作PD_LAB,

B

'：ZA=ZA,ZC=ZADP=90°,

.,.△ABC^AAPD,

.ABBC

??=,

APPD

.53

?.=—>

AP1

AP——,

3

57

PC=4--=-；

33

7

...線段PC長的取值范圍是1<PC<一.

3

7

故答案為：1<PC〈一.

3

【點睛】

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì),正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.計算：|當(dāng)—“―鎮(zhèn)一-1=+已］.

【答案】-V2+3

【解析】

直接利用絕對值的意義、二次根式的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的性質(zhì)以及負指數(shù)指數(shù)累分別化簡得出答案.解：

=V3-I-2V2-(V3-V2)+4

=百-1-2夜-G+&+4

=—y/2+3?

【點睛】

本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及到了絕對值的意義、二次根式的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的性質(zhì)以及負指數(shù)指

數(shù)幕等知識點，靈活運用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

3(x—2)48-(x+6)

20.解不等式組：\x+l2x-l，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

-----<-------+1

I23

-3-2-1~0_I_2_3>

【答案】-1〈爛2,數(shù)軸見解析

【解析】

3(x-2),,8—(x+6)CD

先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.解：L+l2x-l，

-----<-------+1②

解不等式①，得：％,2,

解不等式②，得：x>-\,

將不等式解集表示在數(shù)軸上如下：

---1---g1I11------1------->

-2-1012345

所以不等式組的解集為一1<X,2.

【點睛】

本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解

集是解此題的關(guān)鍵.

21.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,ZBCD=90°,AB=BC^5,AD=2,

⑴求CD的長；

⑵若NABC的平分線交C￡>于點E，連結(jié)4E，求NAE5的正切值.

【答案】⑴4；(2)2

【解析】

(1)過點A作AE1BC垂足為F,得到BF的長度，在放△AFB中運用勾股定理即可得到AF的長度，利用

AF=DC進而得到答案；

⑵先證明AA6E絲ACBE(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/AEB=/CEB,運用勾股定理求解CE的

長度即可得到答案；解：(1)過點4作4也8(;垂足為F,

由題意得FC=A￡>=2,AF=CD,.

?；BC=5,

，BF=5-2=3,

在RtAAF8中：

AB2^AF2+BF2（勾股定理），

即：52=32+AF2

解得AF=4,

：.CD=4；

（2）由AB=BC,NABE=NCBE,BE=BE,

得到絲AC6￡（SAS）,

/.ZAEB=ZCEB（全等三角形對應(yīng)邊相等），

/.AE=EC（全等三角形對應(yīng)邊相等），

設(shè)AE=EC=尤，

則DE=4T，

在RO4DE中，

AE2=AD2+DE2

無2=(4-x)2+22,

解得x=3,

2

tanNAEB=tanNCEB=—=^=2

CE5

2

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的運用、三角函數(shù)得運用、全等三角形的判定與性質(zhì)，證明/AEB=/CEB是解

題的關(guān)鍵.

22.經(jīng)銷店為廠家代銷一種新型環(huán)保水泥，當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水

泥共需支付廠家費用和其他費用共100元.該經(jīng)銷店為擴大銷售量、提高經(jīng)營利潤，計劃采取降價的方式

進行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸.

（1）當(dāng)每噸售價是240元時，此時的月銷售量是多少噸.

（2）該經(jīng)銷店計劃月利潤為9000元而且盡可能地擴大銷售量，則售價應(yīng)定為每噸多少元？

【答案】（1）60；（2）將售價定為200元時銷量最大.

【解析】

（1）因為每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，可求出當(dāng)每噸售價是240元時，此時的月銷

售量是多少噸.

（2）設(shè)當(dāng)售價定為每噸x元時，根據(jù)當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需

支付廠家費用和其他費用共100元，當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，且該經(jīng)銷店計

劃月利潤為9000元而且盡可能地擴大銷售量，以9000元做為等量關(guān)系可列出方程求解.（1）45+

260-240

---------------x7.5=60；

10

（2）設(shè)售價每噸為x元,

根據(jù)題意列方程為：（x-100）（45+2J^X7.5）=9000,

化簡得X2-420x+44000=0,

解得xi=200,X2=220（舍去），

因此，將售價定為200元時銷量最大.

【點睛】

本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是找出降價10元，卻多銷售7.5噸的關(guān)系，從而列方程求解.

23.已知：如圖，D、E分別是AABC的邊AB、AC上的點，且Z4￡D=NA3C，連接砥、CO相

交于點F.

Bc

（1）求證：ZABE-ZACDy

（2）如果￡D=EC,求證：±干=￡/.

BD-EB

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

APAD

（1）先說明AAOE?aACB可得一二—，再說明Zvioc?"￡3,最后根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等

ADAC

即可證明：

DFE/器’進一步可得〔需〉短嚷即可證明■證明:

（2）先說明△￡￡）/?△￡?￡）得到一=；

BDL

(1)VZAED^ZACB,ZA=ZA，

**?^,ADE~AACB，

.AEAB

??一，

ADAC

又???/A=NA，

AADC-AAEB，

:.ZABE=ZACD；

(2)'：ED=EC,

；?NEDC=ZACD,

'：ZABE=ZACD

4EDC=ZABE,

又,:ADEF=ZDEF，

■,-/\EDF?ZXEBD，

.DFEFDE

'~BD~~DE~~BE

2

DF「EFDE

\BDDEBE

.DF2_EF

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用相似三角形的判定定理成為解答本題的關(guān)鍵.

24.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線產(chǎn)公2+陵+2經(jīng)過點A（—3,-6）、8（6,0）,與y軸交于點C.

八

1-

O15

（1）求拋物線的表達式；

（2）點。是拋物線上的點，且位于線段BC上方，聯(lián)結(jié)CD

①如果點。的橫坐標(biāo)為2.求col/OCB的值；

②如果NQCB=2NCB0,求點。的坐標(biāo).

【答案】（1）y———x2+~^x+2；（2）①萬；②。（4,了］

【解析】

（1）根據(jù)點A，B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；

（2）①根據(jù)（1）中所求拋物線表達式，可以得到點B、C、。的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)系中兩點間距離公式求

出OB、BC、。。的值，證明三角形為直角三角形，進而求出cot/OCB的值；

②過C作x軸的平行線，過。作》軸平行線交于“，根據(jù)平行線的性質(zhì)推導(dǎo)出NDC”=NCBO,從而

得出三角形相似，利用相似比求出點。的坐標(biāo).（1）將4（-3,-6）、網(wǎng)6,0）代入、=以2+法+2,

9。―3。+2=-6

得，\，

36a+6Z?+2=0

a-——

3

解得：\,

b=-

[3

???拋物線的表達式為丁=一；/+：左+2；

(2)①當(dāng)x=2時，y=——x22+—x2+2=4,

33

當(dāng)x=0時，y=2,

A0(2,4),C(0,2),8(6,0),

?*-DB=7(2-6)2+(4-0)2=472，

BC=7(6-0)2+(0-2)2=2V10,

DC=7(2-0)2+(4-2)2=2夜,

:.BD2+CD2=BC2>

.?.△8DC為直角三角形，其中NO=90°,

DC2V21

cotZ.DCB

DB-472—2

②過C作X軸的平行線，

過。作y軸平行線交于“，

設(shè)點D坐標(biāo)為(必,一gm2+1m+2),則H(m,2),

/.DH=——m2+—m,

33

ZDCB=2NCBO=2ZBCH=2/DCH,

ZDCH=ZCBO,

?;/CHD=NBOC=9Q。,

:.^CHD~ABOC,

vC(0,2),8(6,0),

OC=2,OB=6,

oH-c0

-一

if0

5

-1

23

--

rm+3

得

舍

解4

m--o

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)上點的坐標(biāo)、坐標(biāo)中兩點間距離公式、余切三角函數(shù)、

平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定、相似比等，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用這些知識點并根據(jù)已知條件做

好輔助線.

25.已知圓。的直徑AB=4,點尸為弧A3上一點，聯(lián)結(jié)~4、PO,點C為劣弧A尸上一點（點。不與

點A、尸重合），聯(lián)結(jié)8c交R4、P0于點。、E

7

（1）如圖，當(dāng)COSNCBO=G時，求BC的長；

（2）當(dāng)點C為劣弧AP的中點，且與A4OP相似時，求NA8C的度數(shù);

（3）當(dāng)A￡）=2r>P，且MEO為直角三角形時.求四邊形AOEO的面積.

7ss

【答案】(1)-；(2)18°；(3)-或一6.

236

【解析】

（1）方法一：作OG_LBC,利用垂徑定理和余弦即可求得；方法二：連接AC,根據(jù)直徑所對的圓周角

等于90?？傻肗ACB=9O。，利用余弦解直角三角形即可；

（2）先根據(jù)已知條件確定兩個相似三角形的對應(yīng)角，得出NP=NP￡O=NB40=N0E3,設(shè)

ZABC=ct,利用等腰三角形等邊對等角和弧與圓心角的關(guān)系，圓周角定理分別表示/AOP和/OEB,

利用三角形外角的性質(zhì)即可求得a即