2022屆山西省孝義市高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)全集U=R，集合M={x|x<l},N={x|x>2},貝（）

A.{x|x>2}B.C.{x|l<x<2}D.{x|x>2}

,ABAC、

2.。是平面上的一定點(diǎn)，A,8,C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足麗=礪+/1（=---+F=L-

A3?cosBAC?cosC

%￡（0,8）,則動點(diǎn)p的軌跡一定經(jīng)過AABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

3.若函數(shù)/(%)=-lnx+x+/z,在區(qū)間一,e上任取三個實(shí)數(shù)。，b,c均存在以/（a）,/（c）為邊長的

三角形，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

--l,e-3—-l,+ooD.(e-3,+oo)

e

54

4.計(jì)算/Og2sin—cos——等于（）

43

3322

B.一D.

2233

5.拋物線/=3ay的準(zhǔn)線方程是y=1,則實(shí)數(shù)（)

3344

A.B.-C.——D.

4433

6.已知/(幻=01-61+凡則不等式/(幻+/(3-2口42的解集是()

A.[l,+oo)B.[0,+oo)C.(Y>,0]D.(F,l]

7.已知△ABC的面積是:，AB=1,BC=&，則AC=()

A.5B.6或1C.5或1D.V5

8.在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程/-2%+了2=0,點(diǎn)Q（a,h）的坐標(biāo)滿足方程

〃+〃2+6?！?24=0貝！1匕^的取值范圍是（

)

x-a

-4-幣-4+/

A.[-2,2]

-3--3-

9.若復(fù)數(shù)z滿足(2+3i)z=13i,貝!|z=()

A.-3+2iB.3+2iC.-3-2iD.3-2i

10.等差數(shù)列｛4｝中，已知3%=7卬0,且4<0,則數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和S“（〃eN*）中最小的是（）

A.S?或SgB.512C.兀D.幾

11.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積等于（）cnP

.2%“3〃,2%,37t

A.4+—B.4+—C.6+—D.6+—

3232

7T

12.已知函數(shù)/（x）=2sin（3x-1）（A>0,o>0）,將函數(shù)/0）的圖象向左平移!1■T個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，

TT

若函數(shù)g（x）的圖象的一條對稱軸是X=W，則。的最小值為

6

1255

A.-B.-C.一D.-

6336

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（1-3尤）（1+元）5展開式中1項(xiàng)的系數(shù)是

14.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,4=；對任意〃22,〃eN*,若4（a,-+2。,用）=3a田,則數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式

15.已知點(diǎn)P是橢圓［+與=l（a>b>0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)/>的一條直線與圓/+丫2=/+/72相交于48兩點(diǎn)，若存

a~b

在點(diǎn)P，使得|PA|PB|=Q2-從，則橢圓的離心率取值范圍為--------,

,、3x2+-+l,x<0若關(guān)于x的方程〃x)+/(r)=0恰有四個不同的解，則實(shí)數(shù)°的取值范

16.已知函數(shù)=jx

21nx-6x,x>0

圍是______?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)=^(x)=2(x-lnx)

(I)當(dāng)x>0時，證明/(x)>g(x)；

(n)已知點(diǎn)P(xH(x))，點(diǎn)QJ沁,cosx)，設(shè)函數(shù)3)=亦而，當(dāng)(-為］時，試判斷〃(x)的零點(diǎn)

個數(shù).

1(12分)如圖，在底面邊長為L側(cè)棱長為2的正四棱柱ABSfBCQ中，P是側(cè)棱CG上的一點(diǎn)，CP=m

18

(1)若機(jī)=見,求直線AP與平面50。4所成角；

3

(2)在線段AG上是否存在一個定點(diǎn)Q，使得對任意的實(shí)數(shù)機(jī)，都有RQ'AP,并證明你的結(jié)論.

1(12分)已知尸是拋物線09=2度8>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在X軸上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足OP=；OF，經(jīng)

19

過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),且|A同=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線/與拋物線C交于M、N兩點(diǎn),若麗?麗="64,求點(diǎn)尸到直線/的最大距離?

20.(12分)如圖，在AABC中，點(diǎn)。在8c上，ZCAD=—,AC=1，cosZADB^--.

4210

(1)求sinC的值；

(2)若BD=5,求AB的長.

21.(12分)已知AABC中，BC=2,3=45°,D是AB上一點(diǎn).

(1)若S&BCD=1，求的長;

sinZACD

(2)若A=30°,BD=3AD,求的值.

sinNDCB

22.（10分）設(shè)橢圓E:■1(a,b>0)過M(2,0),N（C，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

（1）求橢圓E的方程;

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且函，礪？若存在，寫出該

圓的方程，若不存在說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先求出,再與集合N求交集.

【詳解】

由己知，^,M={x\x>l},又N={x|x>2},所以gMcN=￡c|x>2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.

2.B

【解析】

解出麗，計(jì)算衣.冊并化簡可得出結(jié)論.

【詳解】

一一一ASAC

AP=OP-OA=入(i-ygi~|~)，

AB\-cosBL4C-cosC

c_,_\

(

AP.BC=2ABCABC=2(-|BC|+|BC|)=0,

,f+V：v117

\AB\-COSB\AC\-COSCj

AP±BC＞即點(diǎn)p在5c邊的高上，即點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過AABC的垂心.

故選艮

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計(jì)算后?比是關(guān)鍵.

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得了(x)在區(qū)間、上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得〃的取值

范圍.

【詳解】

1Y—1

/(X)的定義域?yàn)?0,+力)，/("=一一+1=二一,

XX

所以“X)在上遞減，在(l,e)上遞增，“X)在X=1處取得極小值也即是最小值，/⑴=一%1+1+〃=1+〃，

*_JL/z」+l+/z/"(e),

\e)eee

所以在區(qū)間上的最大值為/(e)=e—1+〃.

要使在區(qū)間~,e上任取三個實(shí)數(shù)。，b,c均存在以/(a),f⑼,/(c)為邊長的三角形,

則需/(a)+/0)>/(c)恒成立，且/(1)>0,

也即［/(。)+/(初L>/(c)max，也即當(dāng)。=人=1、?時，2/⑴>/")成立,

即2(l+〃)>e—l+〃，且/⑴>0,解得/z>e—3.所以〃的取值范圍是(e-3,+8).

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.

4.A

【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

72(%、］rV2「五13

原式=log2—xcos=log—xcos—=log—x-

2TT--22=log222

乙\JzJ/yJ)y乙乙2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再對照系數(shù)求解即可.

【詳解】

4

因?yàn)闇?zhǔn)線方程為y=1，所以拋物線方程為1=-4)，,所以3a=-4，即。=-.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)T,通過分析g(x)的單調(diào)性和對稱性，求得不等式/(x)+/(3-2x)W2的解集.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—l=exT-擊+(x-l),

g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動一個單位得到〃(x)=g(x+1)=爐一二+x,

〃(x)的定義域?yàn)镽,且。(-X)=--ex-x=-h^x),

所以〃(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以g(x)圖像關(guān)于(1,0)對稱.

不等式/(x)+/(3—2x)<2等價(jià)于/(%)-1+〃3-2同一1W0,

等價(jià)于g(x)+g(3-2x)W0,注意到g⑴=0,

結(jié)合g(x)圖像關(guān)于(1,0)對稱和g(x)單調(diào)遞增可知x+3-2xW2=x21.

所以不等式/(%)+/(3-2%)<2的解集是［1,小).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式，屬于中檔題.

7.B

【解析】

,?*=—■AB-BC-sinB=—,AB-1,BC=V2

..1A/2

??sinBR==—

412

①若3為鈍角，貝(IcosB=—J,由余弦定理得AC2=A82+BC2—2COSHA8-8C，

2

解得AC=6;

②若8為銳角，貝!|cosB=注，同理得AC=1.

2

故選B.

8.B

【解析】

由點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足方程V—2x+y2=o,可得p在圓(x-lf+丁=1上，由Q(a,。)坐標(biāo)滿足方程

6+6+6。一泌+24=0,可得。在圓(x+3)2+(y—4)2=l上，則三=即。求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)

形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

V

???點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程x2-2x+y2=0,

在圓（無一1了+丁=1上，

Q（a,h）在坐標(biāo)滿足方程/++6。一妨+24=0,

，。在圓（X+3）2+（丁一4）2=1上，

則匕2=女照作出兩圓的圖象如圖，

x-a

設(shè)兩圓內(nèi)公切線為AB與CD,

由圖可知<kpQ<kCD,

設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為丁=丘+租,

卜+同

g=1

則《=>卜+加|=\-3k+m-4|

|-3Z:+m-4|]

Jl+公

???圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，..?%+加=一（一3%+加一4）,

可得加=k+2,

化為次2+8左+3=0,左二-4±"，

3

即3士也,%=士也

AB3CD3

-4-Sy-b_-4+V?

'?—=kpQ—

3x-a3

y—b—4一—4+5/7

2—的取值范圍―看,一/一，故選B.

x-aL33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形

之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)

形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.

9.B

【解析】

由題意得,z求解即可.

【詳解】

13i13i2-3i26i+39”b

因?yàn)?2+3i)z=13i，所以z=----=——------=-------=3+21.

2+3i(2+3i)(2-3i)4+9

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

設(shè)公差為d,則由題意可得3（4+4d）=7（q+9d），解得d=—彗，可得an=⑴才4.令底產(chǎn)<o,可得當(dāng)

〃214時，當(dāng)〃W13時，a?<0,由此可得數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和中最小的.

【詳解】

解：等差數(shù)列｛4｝中，已知3%=7%°，且4<0,設(shè)公差為d.

則3（q+4J）=7（4+9d）,解得d=一一

.,(55-4n)a,

..=4+(〃-l)d=----L?

55—4M55

令上一-<0,可得〃>衛(wèi)，故當(dāng)時，。〃>0,當(dāng)〃<13時，

514

故數(shù)列（”前〃項(xiàng)和s“（〃eN"）中最小的是S13.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.D

【解析】

解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為：

V=v=+VX2x2xl+-.rt?l2xl=(6+1.571)cm1.

sa22

故答案為6+1.5k.

點(diǎn)睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可.

12.C

【解析】

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移g個單位長度，得至U函數(shù)g(x)=2sin(s+與-令的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象的一條

對稱軸是％=工，所以sin(竽+?-三)=±1,即竽+=5+所以。=:+2匕AeZ,又。＞0,所以

663363323

切的最小值為|.故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-20

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，再分情況考慮即可求解.

【詳解】

解：(1-3x)(1+4=(1+x)5-3x(1+x)5展開式中『項(xiàng)的系數(shù):

5

二項(xiàng)式(1+X)由通項(xiàng)公式Tr+i=C；(x)~

當(dāng)r=3時，d項(xiàng)的系數(shù)是c；=10,

當(dāng)r=2時，/項(xiàng)的系數(shù)是仁=10,

故V的系數(shù)為C：-3C；=-20；

故答案為：-20

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

/、11J1、lie”

由4(4T+2。"+1)=34_]4+1可得--------=2(---------),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得---------2,再利用

累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.

【詳解】

/、11C/11、

由an+2n"+1)=34_14+1，得---------=2(---------)

v7

%a..a?a?_t

11c.11,

一一一=2,數(shù)歹(]{——一}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2,

a2a{

-——-^2",n>2,-———=2"-1,

L=(±.^)+(J_一_L)+...+(±_l)+l

1_9/:

2"，2"-2+…+2+1=-----=2"-1,

1-2

.1,1

〃=L-=1,滿足上式，an—

q2"-1

故答案為:不一

2—1

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

15.

【解析】

設(shè)P(%,%)，設(shè)出直線A8的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得|B4||P3|eR2M2],由題意得到。2..26，據(jù)此求

得離心率的取值范圍.

【詳解】

x=xn+tcosa

設(shè)P(Xo，%),直線A8的參數(shù)方程為<°.,“為參數(shù))

代入圓x2+y2=a2+/?2,

化簡得：t2+2(/cosa+%sina.+*+y：-a2—b2=0,

???IPAWPB1=卜⑷=k；+￥-b-\^a1+b2一(片+y：),

,?*+￥

|PA11依歸

??,存在點(diǎn)P,使得|PA|-|PB|=/一

a2-b2..b2,BPa2..2b2,

a2,,2c②

e2...-

2

2

故答案為:制

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔

題.

16.(—2,0)

【解析】

設(shè)g(x)=/(x)+/(-X),判斷g(x)為偶函數(shù)，考慮X>0時，g(x)的解析式和零點(diǎn)個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單

調(diào)性，作函數(shù)大致圖象，即可得到。的范圍.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(%)+/(-X),

則g(x)在(-oo,o)5°，”)是偶函數(shù)，

當(dāng)x〉0時，g(x)=21nx-6x+3x2--+1,

X

由g(x)=。得“=2jvlnx—6x2+3/+x,

記〃(x)=2xInx—6x2+3x3+x,

2

/?'(x)=2Inx-12x+9X2+3,=-+18x-12NO,

故函數(shù)/?'(x)在(0,+紇)增，而〃'(1)=0,

所以//(x)在(0,1)減，在以內(nèi))增,〃⑴=-2,

當(dāng)xf+oo時，.+oo,當(dāng)x-0+時，〃(x)r(T,

因此g(x)的圖象為

因此實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-2,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合

思想方法，以及化簡運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)詳見解析；(II)1.

【解析】

(I)令①(x)=/(x)-g(x)=C—2(x—lnx),x>0;則①=一2寸.易得e「2x>0，

xX

①(x)2①⑴=e-2>0.即可證明〃x)>g(x)；

(II)/J(x)=OP-OQ=-jesinx+e'cosJC,分①)€一■—,0,②xGf0,—,③當(dāng)時,討論的零

點(diǎn)個數(shù)即可.

【詳解】

解：(I)令①(x)=/(x)-g(x)=J-2(x-lnx),x>()；

則①，(x)=(xf2x).

令G(x)=e"-2x(x>0),

G,(x)=et-2(x>0),

易得G(X)在(0,/〃2)遞減，在("2,+8)遞增，

:.G(x)*G(ln2)=2-21n2>0,.?./_2x>0在(。，+8)恒成立.

???①(X)在(0,1)遞減，在(1，+8)遞增.

①(x)2①⑴=e-2>0.

,?"(x)>g(x)；

(II)V點(diǎn)P(x,#(x)),點(diǎn)Q(-sinx,cosx),

二/7(x)=OP-OQ=-xsinx+excos%,

/7'(x)=-sinx-xcosx+e'cosx-e'sinx-(e*-x^cosx-(e*+1gnx.

71

①當(dāng)XE--,0時，可知/>2x>x,，e"-x>0

:.一x^cosx>0,(e"+1,inx<0,

:.卅(x)=(^A-x^cosx一+1)sinx>0.

:./z(x)在go)單調(diào)遞增，〃(0)=l>0,A(--)<0.

L2J2

jr

:./z(x)在-5,0上有一個零點(diǎn)，

②當(dāng)時，cosx>sitix,ex>x,

**?c'cosx>xsinx,；?〃(％)>。在(o，z恒成立，

???Mx)在/2(x)在(o?無零點(diǎn).

兀兀力,刀■萬.

(3)當(dāng)xw—3xG時，0<cosx<sinx>

<42」(42_

〃'(x)=ex(cosx-sinx)-(xcosx+sinx)<0.

二A(x)在[%]〃(無)在單調(diào)遞減，，圖二-方⑷人《卜等卜-？>0-

:.〃(%)在(0號存在一個零點(diǎn).

綜上，M%)的零點(diǎn)個數(shù)為1..

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，考查了分類討論思想，屬于壓軸題.

jr

18.(1)p(2)存在，0為線段4G中點(diǎn)

【解析】

解法一:(1)作出平面4PC與平面BDDM的交線0M，可證A0，平面B￡>A5,計(jì)算ON,A0,得出tanZAMO,

從而得出NAMO的大??；(2)證明四。_1平面AC&4,故而可得當(dāng)。為線段40的中點(diǎn)時"Q_LAP.

\AP-AC\

解法二，以D為原點(diǎn),以為％,y,z建立空間直角坐標(biāo)系：(1)由sin，=cos利

1而1?國

用空間向量的數(shù)量積可求線面角；(2)設(shè)4G上存在一定點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，可得Q(x』-x,2),由向量垂

直，數(shù)量積等于零即可求解.

【詳解】

(1)解法一：連接AC交于。,

設(shè)AP與平面BDDXB,的公共點(diǎn)為M，連接，

則平面APCA平面BDD[B]=0M,

,?四邊形ABC。是正方形，.?.ACL8D,

1平面ABCD,ACu平面ABCD,

：.ACLBB],又BB]CBD=B,

AC,平面,

ZAMO為直線AP與平面BDD,4所成角，

CP//平面BDD,4，CPu平面APC,平面APCA平面BDD,B}=OM,

..CP//OM,又。為AC的中點(diǎn)，

:.OM=-PC=—,AO=-AC=—，

2622

A,—jr

tanZAMO=-=-=y/3,:.ZAMO=-,

OM3

直線4尸與平面8。。由所成角為

（2）?.?四邊形A4GR正方形,

AGBQ,

?JeJ_平面，BQ]u平面44GA，

M15,0,,又AGnA4t=4,

.?.4。，平面A￡C4,又APu平面4GCA,

.1.BiDl±AP,

二當(dāng)。為線段AG中點(diǎn)時，對于任意的實(shí)數(shù)m,都有2Q_LAP.

解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(l,0,0),8(l,l,0),P(0,l,〃2),

C((M,O),D(O,O,O)，4(I,I,I)，A(O,O,2),

,UUll_____,

所以8。=(T,-1,0),BBt=(0,0,2),AP=(-l,l,m),AC=(-1,1,0)

又由衣萬=0，ACBB^=0,則衣為平面84RD的一個法向量，

設(shè)直線AP與平面BDRBi所成角為

mA陞力府.園273

則sm6?=cos_8=；_■1?_/,二下，

12J|AP|-|AC|V2.V2W2

故當(dāng)機(jī)=X5時，直線AP與平面BDA4所成角為g.

33

（2）若在4G上存在一定點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,

則Q（x,l—x,2）,而=（x,l—x,0）,

依題意，對于任意的實(shí)數(shù)〃?要使RQLAP,

等價(jià)于迎_1_/o麗?麗=0,

即一x+1—x=0,解得x=,，

2

即當(dāng)。為線段4G中點(diǎn)時，對于任意的實(shí)數(shù)加，都有。。LAP.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計(jì)算，考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.(1)/=16x?(2)4.

【解析】

(1)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得出直線A8的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合|4卻=8求出正實(shí)數(shù)P的值，進(jìn)而可得出

拋物線的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)“(玉,乂)，N(x2,y2),設(shè)/的方程為％=〃9+〃，將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理,

結(jié)合西?麗=-64求得〃的值，可得出直線/所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出點(diǎn)尸到直線/的最大距離?

【詳解】

(1)易知點(diǎn)尸已0),又0戶=；0戶，所以點(diǎn)尸則直線AB的方程為X=(.

(\p[P

px=-x=—

x=—88r所以阿=勺卜/展8.

聯(lián)立8,解得《或＜

=2PXy=gy=-

、乙I2

故拋物線C的方程為/=16x；

2

y=16x2

(2)設(shè)/的方程為x=聯(lián)立:有y-l6my-l6n=0,

x=二my-^-n

設(shè)點(diǎn)M(X1,y),N(x,y),則X必=-16〃，所以工述,=(乂%).=

22n2?

-256

所以O(shè)MON=玉±+乂丫2=?2-16/?=-64.解得“=8.

所以直線/的方程為》=，町，+8,恒過點(diǎn)(8,0).

又點(diǎn)產(chǎn)(4,0),故當(dāng)直線/與x軸垂直時，點(diǎn)E到直線/的最大距離為4

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線方程的求解，同時也考查了拋物線中最值問題的求解，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求

解能力，屬于中等題.

20.(1)3(2)AB=y^i.

【解析】

(1)由兩角差的正弦公式計(jì)算；

(2)由正弦定理求得AZ),再由余弦定理求得A3.

【詳解】

（1）因?yàn)閏osNAOB=-J，所以sin/AO6=I.（V2?772

10

TTTT

因?yàn)镹C4Z）=生，所以NC=4403—土，

44

所以sinC=sin（ZADB一三）=sinNADB-cos--cosNADB?sin三=2^1乂叵+叵乂叵=土

I4j44io21025

74

—x—

ADACAC-sinC^■7^=2&

(2)在AACD中，由得AO=

sinCsinZADCsinZADC

10

在AABZ)中，由余弦定理可得

AB2=BD2+AD2-2i5DADcosZADfi=52+（2>/2）--2x5x272x=37,

所以43=歷.

【點(diǎn)睛】

本題考查兩角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，屬于中檔題.

歷

21.(1)CD=6<2)—

6

【解析】

(1)運(yùn)用三角形面積公式求出BO的長度，然后再運(yùn)用余弦定理求出CO的長.

(2)運(yùn)用正弦定理分別表示出sinNACD和sin/OCB,結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

(1)由=5BC-3?sin45°=三8￡>=1=>8。=0

在△3OC中，由余弦定理可得

CD2=BC2+BD--2BC-B￡>cos45°=4+2-4=2=>C￡）=V2

（2）由已知得B￡>=3AD

CDAD八「八sinA-ADAD

在AAOC中，由正弦定理可知---------=>sinZACD=-------------=------

sinAsinZACDCD2CD

在ABPC中，由正弦定理可知且=—些一nsinNBCD=sinB-BD歷BD

sinBsin/BCDCD2CD

AD

sinZACD_2CD_A。_1_V2

故

sin/BCD~42BD一叵BD~3叵~6

2CD

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟練運(yùn)用各公式是解題關(guān)鍵，此類題目是?？碱}型,

能夠運(yùn)用公式進(jìn)行邊角互化，需要掌握解題方法.

X2V278

22.(1)—+^-=1(2)/7+/=一

843

【解析】

22

試題分析：（D因?yàn)闄E圓E:三x+六v=1(a,b>0)過M(2,6),N(C，1)兩點(diǎn),

42,