第5章參數(shù)區(qū)間估計(jì)

試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)本課程使用區(qū)靖祥編著的《試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)》一書(shū)作為課本。全程為50學(xué)時(shí)，占2學(xué)分。第二章常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)第三章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理第五章參數(shù)區(qū)間估計(jì)第八章常用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的資料分析第六章統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)第七章方差分析第九章直線(xiàn)相關(guān)與回歸第一章緒論第十章協(xié)方差分析作區(qū)間估計(jì)時(shí)，通常計(jì)算兩尾概率，即區(qū)間外兩邊的概率各為顯著水準(zhǔn)

之半，區(qū)間內(nèi)的概率為置信度1-

。第五章參數(shù)區(qū)間估計(jì)上一章中討論了總體分布和抽樣總體的分布。所謂抽樣總體的分布是指在原總體的分布為已知的情況下，探討一些樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。利用抽樣分布可以用一定的概率保證計(jì)算出某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量出現(xiàn)的區(qū)間范圍。在這一章中，我們將這個(gè)問(wèn)題反過(guò)來(lái)討論，即利用樣本數(shù)據(jù)，以抽樣總體的分布為理論基礎(chǔ)，用一定的概率保證來(lái)計(jì)算出原總體中未知參數(shù)的區(qū)間范圍。這種具有一定概率保證的未知參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱(chēng)為置信區(qū)間，其最小值稱(chēng)為“下限”，最大值稱(chēng)為“上限”。常用的概率為95%和99%，即計(jì)算是95%置信區(qū)間和99%置信區(qū)間。也可按研究目的來(lái)決定具體采用的置信度。第五章參數(shù)區(qū)間估計(jì)第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間第三節(jié)正態(tài)總體方差的置信區(qū)間

單個(gè)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

成對(duì)法資料兩處理觀(guān)察差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間

兩個(gè)獨(dú)立樣本所來(lái)自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間

單個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間

兩個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間

單個(gè)總體方差的置信區(qū)間

兩總體方差之比的置信區(qū)間

利用這些分布，可以計(jì)算出總體平均數(shù)

的置信區(qū)間。第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個(gè)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

若已知隨機(jī)變量X，并從X總體中抽取樣本容量

為

n

的樣本，那么，樣本平均數(shù)將服從總體平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。

如果原來(lái)的X不服從正態(tài)分布，但已知它的總體平均數(shù)為

x，總體方差為，那么，只要樣本容量n足夠大，樣本平均數(shù)也將服從總體平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。

若原總體的方差未知，可以用樣本方差代替s2計(jì)算，如果樣本容量為n，則樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化離差將服從一個(gè)自由度為df

＝

n－1的

t

分布。⑴正態(tài)分布資料并且總體方差已知或非正態(tài)分布資料大樣本并且方差已知例5.1已知某品種玉米的單株產(chǎn)量X服從正態(tài)分布N(

,

2)，其中

未知，

＝5g?，F(xiàn)從該總體隨機(jī)抽取一個(gè)大小為n＝25的樣本，算得樣本平均數(shù)為35。問(wèn)該品種玉米的單株產(chǎn)量(即總體平均數(shù)

)有95%的可能落在什么區(qū)間？第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個(gè)總體平均數(shù)的置信區(qū)間因?yàn)閷ⅰ?/p>

＝5代入，于是得判定單株平均產(chǎn)量有95%可能落在(33.04g，36.96g)之間。

若要用99%的把握作判斷，要在附表3查得當(dāng)

=0.01時(shí)的u值(2.58),用它代入上式，重新計(jì)算。得：

P

(–2.58u2.58)=P

(32.42

37.58)。顯然，你要說(shuō)話(huà)更有把握，就要把區(qū)間擴(kuò)得寬些。33.043536.9695%

=0.0532.423537.5899%

=0.01再舉一個(gè)非正態(tài)資料的例子⑴正態(tài)分布資料并且總體方差已知或非正態(tài)分布資料大樣本并且方差已知第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個(gè)總體平均數(shù)的置信區(qū)間將、

＝3代入，于是得判定該鄉(xiāng)每戶(hù)平均人數(shù)

有95%可能落在(2.54，5.48)之間。例5.2

某鄉(xiāng)內(nèi)各戶(hù)人口數(shù)X的平均數(shù)

未知，標(biāo)準(zhǔn)差

＝3。現(xiàn)從該鄉(xiāng)隨機(jī)調(diào)查36戶(hù)，算得樣本平均數(shù)為，問(wèn)該鄉(xiāng)每戶(hù)人家的平均人口數(shù)

有95%可能落在什么區(qū)間？因?yàn)闃颖救萘縩＝36＞30，所以可以認(rèn)為平均人口數(shù)服從正態(tài)分布，并且，＝＝3/6＝0.5。于是有：這里順便介紹一下確定樣本容量的方法⑴正態(tài)分布資料并且總體方差已知或非正態(tài)分布資料大樣本并且方差已知第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個(gè)總體平均數(shù)的置信區(qū)間例5.3某燈泡廠(chǎng)要抽樣檢驗(yàn)一批燈泡的壽命。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，燈泡壽命的標(biāo)準(zhǔn)差為

＝6小時(shí)?，F(xiàn)要求調(diào)查的誤差范圍不超過(guò)±2小時(shí)，置信度為95%，問(wèn)至少應(yīng)抽多大的樣本?；?。解不等式得如果燈泡的真實(shí)壽命為

，抽得大小為n的樣本，并算得樣本平均數(shù)為，那么，誤差范圍為。為了保證抽樣精確度，采用大樣本公式。即⑵原總體的方差未知第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個(gè)總體平均數(shù)的置信區(qū)間例5.4從外地引進(jìn)一個(gè)小麥良種，它在本地的千粒重X的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都不知道。現(xiàn)種植了n＝8個(gè)小區(qū)，得其千粒重(單位：g)為：34.6、35.9、36.8、32.7、35.1、33.4、37.6、35.6。試求此品種千粒重的95%置信區(qū)間。這時(shí)用樣本方差s2代替總體方差

2，用

t

分布估計(jì)區(qū)間。n＝8，當(dāng)df

＝8－1＝7時(shí)，t0.05

＝2.3646。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(33.84g，36.58g)。

成對(duì)法資料兩樣本觀(guān)察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間

如果原來(lái)的

D

服從平均數(shù)為

d，方差為的非正態(tài)分布，那么，只有當(dāng)

n

足夠大時(shí)，其樣本平均數(shù)才服從平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。如果原總體方差未知，可以用樣本方差

代替進(jìn)行計(jì)算，所得的樣本統(tǒng)計(jì)量將服從的

t

分布。

如果原來(lái)的

D

服從平均數(shù)為

d，方差為的正態(tài)分布，那么，大小為

n

的樣本的樣本平均數(shù)將服從平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。大多數(shù)情況下，總體方差是不知道的。所以

t

分布應(yīng)用較多。下面舉出幾個(gè)這種抽樣分布的例子。

第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間成對(duì)法資料兩樣本觀(guān)察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間例5.5

某藥廠(chǎng)研制出一種減肥藥，將其分發(fā)給20個(gè)肥胖志愿者試用。一療程后，測(cè)量他們的體重減少量，如上表所示。請(qǐng)據(jù)此資料估計(jì)服用了此藥物之后，肥胖患者體重的減少量有95%可能落在什么區(qū)間？當(dāng)df

＝20－1＝19時(shí)，t0.05

＝2.093。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(8.474kg，11.526kg)。第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間成對(duì)法資料兩樣本觀(guān)察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間例5.6兩種不同配方A和B制造的汽車(chē)輪胎15對(duì)，分別安裝在15部汽車(chē)前軸的兩邊，進(jìn)行耐磨性能測(cè)驗(yàn)。經(jīng)五萬(wàn)公里行駛后，測(cè)量磨損的厚度，數(shù)據(jù)如上表所示。試求配方A與B磨損程度差數(shù)平均數(shù)的95%置信區(qū)間。當(dāng)df

＝15－1＝14時(shí)，t0.05

＝2.1448。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(-1.1087，0.1487

)。第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間成對(duì)法資料兩樣本觀(guān)察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間例5.7

為了比較某種新肥料與原肥料對(duì)棉花產(chǎn)量的影響，選土壤和其他條件都很相似的相鄰小區(qū)配成一對(duì)，其中一小區(qū)施新肥料，另一小區(qū)施原肥料作對(duì)照，共設(shè)9次重復(fù)。產(chǎn)量結(jié)果如上表所示。試問(wèn)施用兩種肥料后產(chǎn)量之差的平均數(shù)有95%落在什么區(qū)間？當(dāng)df

＝9－1＝8時(shí)，t0.05

＝2.306。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(7.9888，14.4556

)。

兩個(gè)獨(dú)立樣本所來(lái)自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間如果有兩個(gè)正態(tài)總體X1和X2?，F(xiàn)從第1個(gè)總體抽取一個(gè)大小為n1的樣本并算得樣本平均數(shù)；又獨(dú)立地從第2個(gè)總體抽取一個(gè)大小為n2的樣本并算得樣本平均數(shù)。記樣本平均數(shù)之差將服從正態(tài)分布，其中總體平均數(shù)總體方差

可以將d標(biāo)準(zhǔn)化為。

利用此分布，可計(jì)算總體均數(shù)之差

1－

2

的置信區(qū)間。若、未知，但樣本足夠大，可以用和代替它們進(jìn)行計(jì)算，所得的標(biāo)準(zhǔn)化離差仍可視為服從正態(tài)分布。只要是大樣本，不管方差是否已知，都可用正態(tài)分布計(jì)算。

兩個(gè)獨(dú)立樣本所來(lái)自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差和已知的情況（大小樣本都行）例5.8

有兩個(gè)品種的肉雞，品種A八周齡時(shí)的體重X1服從正態(tài)分布，平均數(shù)

1未知，方差為＝100g；品種B八周齡時(shí)的體重X2服從正態(tài)分布，平均數(shù)

2未知，方差為＝80g?，F(xiàn)分別調(diào)查

n1＝10只A雞和

n2＝15只B雞，得＝900g，＝850g。問(wèn)有95%的把握說(shuō)，兩品種肉雞的平均體重之差將落在什么區(qū)間？因?yàn)?/p>

將數(shù)據(jù)代入得的95%置信區(qū)間(42.3251，57.6749)。大樣本但總體方差未知，也類(lèi)似處理。這里就不必舉例了。因?yàn)榭梢哉J(rèn)為，于是可以將U式改寫(xiě)為

兩個(gè)獨(dú)立樣本所來(lái)自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間小樣本、兩個(gè)總體方差和未知但可認(rèn)為再用兩個(gè)樣本方差和的加權(quán)平均值來(lái)代替

2進(jìn)行計(jì)算，于是得到統(tǒng)計(jì)量。此統(tǒng)計(jì)量服從df＝n1＋n2－２的t分布。

利用此分布，可計(jì)算總體均數(shù)之差

1－

2

的置信區(qū)間。例5.9調(diào)查某農(nóng)場(chǎng)每畝30萬(wàn)苗6塊和每畝35萬(wàn)苗的水稻田7塊，得每畝產(chǎn)量如表5.4所示（單位：kg）。假如兩種密度下水稻產(chǎn)量的變異程度相同，試求兩種密度水稻平均畝產(chǎn)差異的95%置信區(qū)間。n1＝6，n2＝7，df＝n1＋n2－２＝11，

＝

895，

＝

875，，。因此當(dāng)df

＝11時(shí)，t

0.05＝2.201，于是有此例中我們假設(shè)兩種種植密度下水稻產(chǎn)量的變異程度相等。至于在實(shí)際問(wèn)題如何確認(rèn)兩樣本所來(lái)自的總體方差是否相等的問(wèn)題留待本章第三節(jié)和下章第二節(jié)討論。因?yàn)椋荒芎喜⒎讲?，只好各算各的：用代替，用代替。于是有統(tǒng)計(jì)量它近似服從t分布，但自由度需要矯正，矯正公式為：

其中

兩個(gè)獨(dú)立樣本所來(lái)自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間根據(jù)數(shù)據(jù)，可算得：當(dāng)df

＝11時(shí)，t0.05

＝2.201。將有關(guān)數(shù)值代入后，于是有：第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間小樣本、兩個(gè)總體方差和未知但可認(rèn)為

利用此分布，可計(jì)算總體均數(shù)之差

1－

2

的置信區(qū)間。例5.10測(cè)定玉米品種A的蛋白質(zhì)含量(%)10次，得n1=10，；又測(cè)定另一玉米品種B的蛋白質(zhì)含量(%)8次，得。試求兩種玉米品種蛋白質(zhì)平均含量之差的95%置信區(qū)間。此例中我們假設(shè)兩種蛋白質(zhì)含量的變異程度不等。至于在實(shí)際問(wèn)題如何確認(rèn)兩樣本所來(lái)自的總體方差是否相等的問(wèn)題留待本章第三節(jié)和下章第二節(jié)討論。第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間在上一章討論從二項(xiàng)總體中抽樣時(shí)指出：在n次試驗(yàn)中，某事件出現(xiàn)的次數(shù)X將服從二項(xiàng)分布B

(n,p)，并且，。如果改用樣本百分?jǐn)?shù)＝X/n來(lái)表示，則，。此外，當(dāng)n很大，p(或q)接近1/2時(shí)，＝X/n近似服從

N(，)，其中，。本節(jié)中，我們以這些抽樣分布為理論基礎(chǔ)，通過(guò)樣本資料來(lái)求總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間。

單個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間從原理上說(shuō)，應(yīng)該按二項(xiàng)分布的函數(shù)公式計(jì)算例5.11某品種家蠶的卵在某地區(qū)的孵化率p未知?，F(xiàn)抽取大小為n＝20的樣本，發(fā)現(xiàn)有18個(gè)卵能正常孵化。試求總體孵化率p的95%置信區(qū)間。課本附表4提供了二項(xiàng)分布百分率的95%和99%置信區(qū)間的上下限。

若記樣本百分率為，則。于是，所要求的置信區(qū)間應(yīng)該在95%的兩邊。即有

因?yàn)槠渲械膒不知道，沒(méi)有辦法直接用代數(shù)方法算出這個(gè)“?”。只能通過(guò)試探的方法，將不同的數(shù)字代入，算出其概率之和，直到所得的概率之和為95%為止。

本例中，n＝20，x＝18，n－

x＝2。從附表4中可以查的其95%置信區(qū)間為(68.3%，93.8%)。

單個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間當(dāng)n

較大，p

或q不太小時(shí)，可用正態(tài)分布近似計(jì)算例5.12在使用某種方法保存花粉一段時(shí)間后，取n＝100粒花粉進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有60?？梢哉０l(fā)芽。試求用這種方法保存花粉，其發(fā)芽率的95%置信區(qū)間。用正態(tài)分布近似計(jì)算的結(jié)果與用二項(xiàng)分布計(jì)算所得已經(jīng)相當(dāng)接近。查附表4得：發(fā)芽率p的95%置信區(qū)間為(49.7%，69.7%)。

因?qū)＝100、和以及df＝99時(shí)的t0.05＝1.984代入，得

用正態(tài)近似計(jì)算：因?yàn)閜未知，用代替它來(lái)估計(jì)誤差，這時(shí)統(tǒng)計(jì)量服從自由度df＝n－1的t分布，于是有：

單個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間舉一個(gè)確定樣本容量n的例子。例5.13對(duì)于某種零件，過(guò)去質(zhì)量檢查的經(jīng)驗(yàn)表明合格率在97%左右。現(xiàn)要檢測(cè)一批零件，要求置信度為95%，調(diào)查誤差不允許超過(guò)2%，問(wèn)至少抽取多大的樣本。

為保證試驗(yàn)精確度，采用大樣本公式進(jìn)行計(jì)算，即有或

。要達(dá)到題目的要求，應(yīng)令解不等式得，因此起碼要抽取大小為n＝280的樣本。

兩個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間如果從一個(gè)參數(shù)為p1的二項(xiàng)總體中抽取一個(gè)容量為n1的樣本，得樣本百分?jǐn)?shù)；又獨(dú)立地從另一個(gè)參數(shù)為p2的二項(xiàng)總體中抽取一個(gè)容量為n2的樣本，得樣本百分?jǐn)?shù)，則有統(tǒng)計(jì)量服從N

(0,1)。

若果p1、p2未知，在估計(jì)誤差時(shí)用和代替它們計(jì)算，則有統(tǒng)計(jì)量服從df＝n1＋n2－2的t分布。

當(dāng)樣本容量n較小或p很小時(shí)，應(yīng)考慮連續(xù)型矯正。這時(shí)，對(duì)于具較大值的x應(yīng)減少0.5，具較小值的x應(yīng)增加0.5。例如，如果，則統(tǒng)計(jì)量變成。

兩個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間例5.14

調(diào)查低洼地小麥n1＝378株，發(fā)現(xiàn)有銹病x1＝355株；調(diào)查高坡地小麥n2＝396株，發(fā)現(xiàn)有銹病x2＝346株。試求兩種地形中，銹病發(fā)病率之差的95%置信區(qū)間。設(shè)低洼地的發(fā)病率為p1，高坡地的發(fā)病率為p2。算得樣本發(fā)病率，。本例為大樣本，不用連續(xù)性矯正。因?yàn)閐f

＝378＋396－2＝772，t0.05＝1.96；于是有于是求得p1－p2的95%置信區(qū)間為（2.49%，10.61%）。

再舉一個(gè)小樣本的例子

兩個(gè)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間第二節(jié)二項(xiàng)總體百分?jǐn)?shù)的置信區(qū)間例5.15用農(nóng)藥A處理25只美國(guó)蟑螂，結(jié)果死亡15只；用另一種農(nóng)藥B處理24只，結(jié)果死亡9只。試求兩種農(nóng)藥處理美國(guó)蟑螂的死亡率之差的95%置信區(qū)間。于是求得p1－p2的95%置信區(qū)間為(－9.57%，46.4%)。設(shè)用農(nóng)藥A處理的死亡率為p1，用農(nóng)藥B處理時(shí)為p2。算得樣本死亡率，。采用

t

分布和連續(xù)性矯正。因?yàn)閐f

＝25＋24－2＝47，t0.05＝2.01；并且因?yàn)?，大?xiàng)的x