第3章規(guī)則波導

從本門課程一開始，我們就強調(diào)從最宏觀的角度：微波工程有兩種方法——場論的方法和網(wǎng)絡(luò)的方法。微波傳輸線是用來傳輸微波信號和微波能量的傳輸線。微波傳輸線的種類很多，本章主要用場方法討論矩形波導、圓波導、同軸線等。一、交變電磁場基本關(guān)系式第3章規(guī)則波導在無源區(qū)，時諧場二、邊界條件

1.兩種媒質(zhì)界面的邊界條件2.理想導體表面的邊界條件三、交變電磁場的能量關(guān)系對于一封閉曲面S，電磁場的能量關(guān)系滿足復功率定理，即證：時間平均值導波系統(tǒng)中的電磁波按縱向場分量的有無，可分為以下三種波型(或模)：四、導行系統(tǒng)中波型

(1)橫磁波(TM波)，又稱電波(E波)：

(2)橫電波(TE波)，又稱磁波(H波)：

(3)橫電磁波(TEM波)：因為無源，電與磁幾乎對稱。1.波導條件：假定截面不隨z而變化；2.理想均勻條件：波導內(nèi)ε，μ均勻，波導內(nèi)壁σ無限大；

3.無源條件：波導內(nèi)ρ，；4.無限條件：波導無限長。

重新寫出前兩個Maxwell方程，可得

可以用縱向電場與磁場表示橫向場3－1矩形波導矩形波導是橫截面為矩形的空心金屬管。圖中a和b分別為矩形波導的寬壁和窄壁尺寸。由于矩形波導不僅具有結(jié)構(gòu)簡單、機械強度大的優(yōu)點，而且由于它是封閉結(jié)構(gòu)，可以避免外界干擾和輻射損耗；因為它無內(nèi)導體，所以導體損耗低，而功率容量大。在目前大中功率的微波系統(tǒng)中常采用矩形波導作為傳輸線和構(gòu)成微波元器件。寫出無源區(qū)域的Maxwell方程組一、矩形波導的導模1、矩形波導的一般解上式稱Helmholtz方程波導的一般解采用縱向分量法，其流圖如下所示，橫向場用縱向場分量表示縱向分量方程分離變量，例如方程1的解為有趣的是：波導解的z函數(shù)與傳輸線解有驚人的相似，又是入射波和反射波的組合。我們只研究一個波(不論是TE或TM波)，在形式上只寫入射波，有

算子2.橫向分量用縱向分量表示

損耗正切設(shè)通解二、矩形波導的TE模本征解本征值：邊界條件：式中m和n分別代表場強沿x軸和y軸方向分布的半波數(shù)。一組m,n值代表一種橫電波波型。由于m=0及n=0時所有場分量才為零，因此矩形波導中存在等波型。若，則模是最低次波型，其余波型為高次波型。本征解本征值：三、矩形波導的TM模式中m和n分別代表場強沿x軸和y軸方向分布的半波數(shù)。一組m,n值代表一種橫磁波波型，記作。由于m=0或n=0時所有場分量均為零，因此矩形波導不存在等波型，所以是最簡單的波型，其余波型為高次波型。四、導模的場結(jié)構(gòu)1、模和模的場結(jié)構(gòu)TE10模的場分量為TE10模場強與y無關(guān)，場分量沿y軸均勻分布。各場分量沿x軸的變化規(guī)律為矩形波導TE10模場分量的分布規(guī)律(a)場分量沿x軸的變化規(guī)律；(b)場分量沿z軸的變化規(guī)律；(c)矩形波導橫截面上的場分布(d)矩形波導縱剖面上的場分布.某一時刻TE10模完整的場分布如圖所示，隨時間的推移，場分布圖以相速沿傳輸方向移動。矩形波導TE10模的場分布圖五、矩形波導中管壁電流根據(jù)導體中電磁波傳播，在微波段，趨膚效應(yīng)使感應(yīng)電流在很薄的波導內(nèi)壁表面流動——稱為壁電流以TE10模為例矩形波導TE10模壁電流分布面電流與磁力線、表面法向正交TE波和TM波的傳播常數(shù)六、矩形波導中電磁波型的傳輸特性1、導模的傳播條件對于傳播模，應(yīng)為實數(shù)。導波系統(tǒng)傳輸TM波和TE波的條件可記為：2、導模的截止截止時，截止波長截止波長不僅與波導尺寸a和b有關(guān)，而且與決定波型的m和n有關(guān)，截止頻率還與介質(zhì)特性有關(guān)。TE波和TM波的截止頻率為截止條件可記為：因此，波導是一只高通濾波器，低頻信號無法通過當波導尺寸a和b給定時，將不同m和n值代入，即可得到不同波型的截止波長。其分布如圖BJ-100型波導不同波型截止波長的分布圖從圖中可以看出，TE10模的截止波長最長，它右邊的陰影區(qū)為截止區(qū)。3、模式兼并現(xiàn)象不同導模的截止波長相同現(xiàn)象相同的波型指數(shù)m和n的TEmn和TMmn的截止波長相同，矩形波導的導模具有雙重兼并4、主模?！＃?）通常矩形波導工作在TE10單模傳輸情況，因為TE10模容易實現(xiàn)單模傳輸。（2）當工作頻率一定時傳輸TE10模的波導尺寸最?。?）若波導尺寸一定，則實現(xiàn)單模傳輸?shù)念l帶最寬。為了實現(xiàn)TE10單模傳輸，則要求電磁波的工作波長必須滿足下列條件即當工作波長給定時，若要實現(xiàn)TE10單模傳輸，則波導尺寸必須滿足

5、波的傳播速度和色散

1）

相速和相波長相速是指導波系統(tǒng)中傳輸電磁波的等相位面沿軸向移動的速度。等相位面在一個周期T內(nèi)移動的距離定義為相波長對于TE波和TM波，相速為相速（介質(zhì)中的光速），相速并不是能量傳播速度2）群速這些多種頻率成分構(gòu)成一個“波群”，又稱為波的包絡(luò)，其傳播速度稱為群速。群速的關(guān)系式群速、相速和光速三者的關(guān)系為：但，對于TEM波群速的定義式為3）色散

TE波和TM波的相速和群速都隨波長而變化，即是頻率的函數(shù)，這種現(xiàn)象稱為“色散”。因此，TE波和TM波統(tǒng)稱為“色散波”；而TEM波的相速和群速相同，且與頻率無關(guān)，沒有色散現(xiàn)象，故稱為“非色散波”。

波導色散現(xiàn)象與基于媒質(zhì)特性產(chǎn)生的色散現(xiàn)象不同。由于我們已假定波導中媒質(zhì)是線性的，即不隨頻率而變化，所以波導中電磁波產(chǎn)生色散的原因是由波導系統(tǒng)本身的特性(即邊界條件)所引起的。主模的波導波長

6、波導波長

7、波阻抗波阻抗定義為相互正交的橫向電場與橫向磁場之比對于TEM波，對于TE波和TM波，傳輸狀態(tài)8、矩形波導中傳輸功率和功率容量1）傳輸功率在行波狀態(tài)下，傳輸?shù)钠骄β式刂範顟B(tài)xzy0abds當傳輸TE10模時，波導中填充空氣介質(zhì)時，2）功率容量波導中最大承受的極限功率稱為波導的功率容量。行波狀態(tài)下波導傳輸TE10模的功率容量在空氣中的擊穿場強實際傳輸線上總有反射波存在。在行駐波狀態(tài)下，矩形波導傳輸TE10模的功率容量應(yīng)修正為為了留有余地，波導實際允許傳輸?shù)墓β室话闳⌒胁顟B(tài)下功率容量理論值的25%～30%。

9、傳輸功率及損耗導波系統(tǒng)所傳輸?shù)碾姶挪ㄆ骄β?/p>

實際中，由于導波系統(tǒng)的電導率是有限的，且所填充的介質(zhì)也是非理想的，所以實際的導波系統(tǒng)都存在著導體損耗和介質(zhì)損耗。因而電磁波在傳輸過程中，其振幅會逐漸減小，也就是說存在功率損耗，這種損耗應(yīng)根據(jù)具體情況來計算。1）介質(zhì)損耗金屬波導中填充均勻介質(zhì)的損耗引起的導波衰減常數(shù)TE導波和TM導波2）導體損耗TE10模矩形波導的有限電導率金屬壁單位長度功率損耗TE10

模矩形波導的導體衰減常數(shù)七、矩形波導的截面尺寸選擇1、傳播主模TE10模的波導截面尺寸條件綜合考慮抑制高次模，損耗小和傳輸功率大等條件，一般選擇波導尺寸確定后，不出現(xiàn)高階模，工作波長范圍以矩形波導為例，盡管在z方向它們只可能是入射波加反射波，但是由于橫向邊界條件，它們由TEmn和TMmn波組成并且它們只能由TEmn和TMmn波組成(后者，我們稱之為完備性)，矩形波導中這些波的完備集合——即簡正波。任何情況的可能解，只能在簡正波中去找，具體場合所不同的僅僅是比例和組合系數(shù)，事實上，這樣就把求復雜場函數(shù)的問題變換成求各個模式的系數(shù)。八、關(guān)于簡正波的討論

矩形波導的求解是典型的微分方程法，通解表明：在z方向它有廣義傳輸線功能，即是入射波和反射波的迭加；在xy方向由于邊界條件限制形成很多分立的TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上稱之為離散譜。有限邊界構(gòu)成離散譜。

m—x方向變化的半周期數(shù)；

n—y方向變化的半周期數(shù)。矩形波導中TE波和TM波的全部集體構(gòu)成簡正波。

1.完備性矩形波導中不論放置什么障礙物和邊界條件，它們里邊存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它們也只能存在TEmn和TMmn模式，具體情況所不同的僅僅是各種模式的比例與組合。2.正交性簡正模中各個模式是相互正交的，也就是說，它們之間沒有功率和能量交換，即各模式相互獨立，在Fourier分析中表明保證了每一模的獨立性。

3.傳輸模和雕落模由于頻率的選擇，每一種模都有可能成為傳輸?；虻衤淠?。截止波數(shù)傳輸模凋落模主模TE10模小結(jié)TE10波表達式，是以為領(lǐng)矢矢量的。然而，在實用上也常有用作領(lǐng)矢矢量最終得到

(2)Pbr與有關(guān)設(shè)00.50.91.01f(x)x很明顯，x愈接近1則功率容量愈低，且x<0.5會出現(xiàn)其它模式。功率容量在電磁理論中已經(jīng)講過波導管壁的傳導電流分布是由管內(nèi)磁場的切向分量所決定。HtJsn在波導中凡是切斷電流的都要引起輻射和損耗，所以，波導與法蘭的連接一定要密切配合。一般認為波導空間(AirSpace)是無耗的，所謂衰減是指電流的壁損耗。假定P0是理想導體波導的傳輸功率，則單位長度內(nèi)的功率損耗在波導內(nèi)表面壁dσ=dldz上衰減功率xzy0dzdlJsm——表面電流密度；Rs——表面電阻而輸入功率0fαb=0.1ab=0.5a［例1］BJ-100波導，a×b=22.86×10.16mm2，求單模傳輸?shù)牟ㄩL范圍和頻率范圍。［解］已經(jīng)知道單模傳輸條件是λcmn＜λ＜2a十分明顯，第二模式是λc20=22.86mm。因此，單模傳輸3－2圓形波導

圓波導是橫截面為圓形的空心金屬管，如圖所示，其尺寸半徑為R。1.圓波導的提出來自實踐的需要。例如，雷達的旋轉(zhuǎn)搜索。如果沒有旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，那只好發(fā)射機跟著轉(zhuǎn)。象這類應(yīng)用中，圓波導成了必須要的器件。以后要用到的極化衰減器，多?；虿y喇叭，都會應(yīng)用到圓波導?？梢赃@樣說,幾何對稱性給圓波導帶來廣泛的用途和價值2.從力學和應(yīng)力平衡角度，機加工圓波導更為有利，對于誤差和方便性等方面均略勝矩形波導一籌。

3.根據(jù)微波傳輸線的研究發(fā)現(xiàn)：功率容量和衰減是十分重要的兩個指標。這個問題從廣義上看

引出一個品質(zhì)因數(shù)F很明顯，在相同周長的條件下，圓面積最大圓波導H01波衰減矩形波導TE10波衰減0f0fα縱向電流橫向電流橫向電流dminα當我們深入研究波導衰減，發(fā)現(xiàn)頻率升高時衰減在矩形波導中上升很快。仔細分析表明，衰減由兩部分組成：一部分稱縱向電流衰減，另一部分是橫向電流衰減。0fαb=0.1ab=0.5a當頻率升高時，橫向電尺寸加大，使橫向電流衰減反而減少。這樣所構(gòu)成的矛盾因素使衰減有了極值，同時形成頻率升高時衰減增加。4.矩形波導中存在的一個矛盾圓波導H01波衰減矩形波導TE10波衰減0f0fα縱向電流橫向電流橫向電流dminα以后在圓波導中將會發(fā)現(xiàn)，有的波型(圓波導中H01波型)無縱向電流，因此，若采用這種波型會使高頻時衰減減小。圓波導具有軸對稱性，故宜采用圓柱坐標來分析。由于圓波導具有損耗較小和雙極化的特性，所以常用作天線饋線和微波諧振腔，也可作較遠距離的傳輸線。一、圓形波導的導模1.圓形波導一般解在圓柱坐標縱向場分量滿足赫姆霍茲方程以TE波作為例子，這時Ez=0

有限條件：有限性

周期性：

理想導體條件：切向分量為零其解分別是其中c1，c2，c3，c4為常數(shù)。m=0，1，2，…為整數(shù)。邊界條件：本征解2.縱向分量法利用縱向分量表示橫向分量邊界條件TE導波TM導波令為貝賽爾函數(shù)導數(shù)的根，本征值二、TE波場分量表達式圓波導中TE波截止波長值波型H11H21H01

1.8413.0543.832

3.41a2.06a1.64a

TE基本解為圓波導TE波的波阻抗為波型指數(shù)n表示場沿半徑分布的最大值個數(shù)傳播常數(shù)截止波長截止頻率完全類似，用邊界條件確定kc

在r=a處，=0，Ez

=0也即

設(shè)第一類Bessel函數(shù)m階第n個根為umn，則即可得到

三、TM波場分量表達式TM波場分量表達式圓波導TM波截止波數(shù)kc

波型E01E11E212.4053.8325.1352.62a1.64a1.22a圓波導TM波的波阻抗為

1.圓波導中TE波和TM波有無限多個

n=0表示第0個根，也即，也即TEm0，TMm0波不存在。但是它卻可以存在TE0n，TEmn，TM0n和TMmn波，其中m=0表示在圓周方向不變化。2.TE波截止波長取決于m階Bessel函數(shù)導數(shù)第n個根

TM波截止波長取決于m階Bessel函數(shù)第n個根四、圓形波導的兼并3.圓波導中的兩種簡并

1)極化簡并——即和

兩種，相互旋轉(zhuǎn)90°

圓波導波型的極化簡并，使傳輸造成不穩(wěn)定，這是圓波導應(yīng)用受限制的主要原因。0a2a3a4alcHE0111H21E01H11Cut-offRegion圓波導的截止與傳播區(qū)域E1n和H0n截止波長λc相同。這是因為Bessel函數(shù)有遞推公式取n=0，有和矩形波導不同，由于TE，TM截止波長的不同物理意義，TEmn和TMmn不發(fā)生簡并4.波型指數(shù)m，n的含義

m代表沿圓周φ分布的整駐波數(shù)n代表沿半徑r分布場的最大值個數(shù);因為是的第n個根，是的第n個根，很顯見，這Hon

和E1n兩類波型將發(fā)生簡并。五、圓形波導中三種主要波型圓波導中三種主要波型，即H11模，H01模和E01模。

1.傳輸主?！狧11模在圓波導中，H11模截止波長最長，λc=3.412a，是最低型波也即傳輸主模。018090270oooo圓波導H11模(TE11模)H11模中的m=1，n=1，=1.841018090270oooom=1n=1090180270360ooooojErEj0arJ`1rEraE==ˉ==00

jjmaxjjjj=°==°?=°==°?-00901800270

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Errrrmaxmax可以注意到圓波導中H11波與矩形波導TE10波極相似，因此微波工程中方圓過渡均采用H11模。

但是，H11模有兩種極化方向。因此一般很少用于微波傳輸線，而只用于微波元件。方圓過渡(二)TE01模(損耗最小的——H01模)

TE01模常作為高Q諧振腔和遠距離的毫米波傳輸線的工作模式。由于它是圓電模，也可作為連接元件和天線饋線系統(tǒng)的工作模式。由于它不是主模，用該模式作為工作模式時，必須設(shè)法抑制其它模式。圓波導H01模圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電磁場分布；圖(c)為壁電流的分布場方程截止波長TE01模（H01）變化趨勢一樣m=0

圓對稱在方向不變n=1EHrJxxarraarj,()......沿方向有一最大值在有極大值116413832164116413832048===?E,Hjr0r0.48aa

Hz0r0.48a可見電流只有—φ方向分量，也即H01模壁電流只有橫向分量，衰減α

隨f上升而下降為了揭示H01的小衰減特點，讓我們考察其壁電流作為比較所以，H01波可以做高Q諧振腔和毫米波遠距離傳輸縱向與橫向電流均引起衰減(三)TM01模(軸對稱波型——E01模)雖然H01模E01模都是軸對稱模，但E01模是截止波長最長的模式。TM01模適用于微波天線饋線旋轉(zhuǎn)鉸鏈的工作模式。由于它具有Ez分量，便于和電子交換能量，可作電子直線加速器的工作模式。但由于它的管壁電流具有縱向電流，故必須采用抗流結(jié)構(gòu)的連接方式。TM01模的場分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電磁場分布；圖(c)為壁電流的分布。其場方程為E01模的m和nm=0軸對稱型沿方向場分量不變n=10jE,Hr

jEz00rr0.765aaJ`(x)0J(x)

0R旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)(RatationJunction)由于E01波的特點，常作雷達的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，見圖所示0faE01H11H01為TE11波的截止頻率TE11波衰減極值點：TM01波衰減極值點：0faE01H11H01圓波導波型設(shè)計H11模E01模H01模lllllllCECHRaaa0111341262262a34113＜＜＜＜＜＜一般