2018高考江蘇卷數(shù)學(xué)試題

2018高考江蘇卷數(shù)學(xué)試題

1.己知集合A={0,1,2,8},8={-1,1,6,8},那么AAB=▲.

2.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為▲.

3.已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的

平均數(shù)為▲.

899

9011

(第3題)

4.一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為

r----------------------1

：/11；

??

:Sl1;

[While/<6

：/T+2

；S—25

；EndWhile

；PrintS\

…那z頓一…

5.函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)椤?

6.某興趣小組有2名男生和3,名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名

女生的概率為

7.已知函數(shù)y=sin(2x+9)(-]<。〈曰)的圖象關(guān)于直線x=]對(duì)稱，則.的值是▲.

22

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線二-1=1(“>0,6>0)的右焦點(diǎn)尸(c,0)到一條漸近

CTbL

線的距離為且C,則其離心率的值是▲.

2

cos—,0<x<2,

9.函數(shù)f(x)滿足/(x+4)=/(x)(xeR),且在區(qū)間(-2,2]上，/(%)=；則

|xH—I,一2<xW0,

2

/(/(15))的值為

1

10.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為

（第10@）

11.若函數(shù)/（x）=2/-奴2+］（aeR）在①次）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在［—1,1］上的

最大值與最小值的和為▲.

12.在平面直角坐標(biāo)系xO），中，A為直線/:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，8（5,0）,以AB為

直徑的圓C與直線/交于另一點(diǎn)。.若破①=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為▲.

13.在△4BC中，角A8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,NABC=120。，N4BC的平分線交AC

于點(diǎn)D,且比>=1,則4a+c的最小值為▲.

14.已知集合A={x|x=2〃-1,〃€N*},8={X|X=2","GN.}.將AIJB的所有元素從小到

大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{凡}.記S.為數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和，則使得S.>12〃向成立的

n的最小值為▲.

15.（本小題滿分14分）

在平行六面體ABCD-AB￡A中，M=AB,ABt±gG.

求證：（1）AB〃平面A4C；

（2）平面A84A，平面A8C.

16.（本小題滿分14分）

已知a,"為銳角，tana=g,cos（a+J3）=-

（1）求cos2a的值；

（第15題）

（2）求tan（a-/7）的值.

17.（本小題滿分14分）

2

某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓。的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))

和線段MN構(gòu)成.已知圓。的半徑為40米，點(diǎn)P到/WN的.距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此

農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形A8CD,大棚I【內(nèi)的地塊形狀為

△CDP,要求A,3均在線段MN上，C,￡)均在圓弧上.設(shè)。C

與MN所成的角為6.

(1)用。分別表示矩形AB8和ACDP的面積,并確定sin。的

取值范圍；

(2)若大棚I內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚H內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、

(第17題)

乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4：3.求當(dāng)。為何值時(shí)，

能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

18.(本小題滿分16分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過(guò)點(diǎn)(6,3)，焦點(diǎn)

F、(-瓜0)用瓜0),圓。的直徑為耳名.

(1)求橢圓C及圓。的方程；

(2)設(shè)直線/與圓。相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若△。記的面積為偵，

7

求直線/的方程.

19.(本小題滿分16分)

記_f(x),g'(x)分別為函數(shù)/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x°eR,滿足/a,)=g(x°)且

/'(%))=g'(%),則稱X。為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)"5點(diǎn).

(1)證明：函數(shù)/(幻=%與8。)=爐+2》-2不存在“5點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)/(犬)=/-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值；

(3)已知函數(shù)/(1)=-工2+。，g(x)=~—.對(duì)任意判斷是否存在匕＞0,使函

X

數(shù)/(%)與g(x)在區(qū)間(0,y0)內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.

3

20.（本小題滿分16分）

設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為4,公差為d的等差數(shù)列，｛2｝是首項(xiàng)為白，公比為q的等比數(shù)列.

（1）設(shè)％=0,4=1應(yīng)=2,若區(qū)伉對(duì)“=1,2,3,4均成立，求d的取值范圍：

（2）若％=白＞0,“€1＜，4€（1,啦］,證明：存在deR,使得區(qū)々對(duì)

〃=2,3,…,〃7+1均成立，并求d的取值范圍（用伉,加國(guó)表示）.

4

1.{1，8}2.23.904.8

3

5.[2,+8)6.7.—8.2

io6

V24

9.10.11.-312.3

~23

13.914.27

15.證明:(1)在平行六面體ABC0-481JD1中,A8〃4歷.

因?yàn)锳BfZ平面48iC,48iu平面4B￡,

所以AB〃平面4BC

(2)在平行六面體ABCD-481C1D1中，四邊形A8&4為平行四邊形.

又因?yàn)锳4M8,所以四邊形AB&4為菱形，

因此A&_L48.

又因?yàn)锳Bi_LBiG，BC〃&Q,

所以48」8c.

又因?yàn)?8nBe=8,4Bu平面48C,BCu平面4BC,

所以A&_L平面48C.

因?yàn)锳Biu平面A8B14,

所以平面48B14J_平面418c.

16.解：(1)因?yàn)閠ana=d,tana=,所以sina=dcosa.

3cosa3

因?yàn)閟in2a+cos2a=1,所以cos2a,

25

7

因止匕，cos2a—2cos?cc—\-------.

25

(2)因?yàn)閍,夕為銳角，所以a+4￡(0,兀).

又因?yàn)閏os(cr+0)=~~~~，所以sin(a+尸)=^/l-cos2(cr+(3)=~~~，

因此tan(a+p)——2.

42tana24

因?yàn)閠ana=一,所以tan%=

31一tan2a，7

tan2a-tan(a+0)_2

因此，tan(a-f3)=tan[2cr-(a+/?)J=

1+tan2atan(cr+/3)11

17.解：(1)連結(jié)P。并延長(zhǎng)交M/V于H,則PH_LM/V,所以O(shè)H=10.

過(guò)。作。EJ_8c于E,則0E〃MN,所以NC0E=2,

5

(第17題)

故O￡=40cos&,EC=40sin9,

則矩形ABCD的面積為2x40cos1?(40sint?+10)=800(4sini?cosi?+cosi?),

△CDP的面積為，x2x40cosi?(40-40sim?)=1600(cos^-sini?cosi?).

2

過(guò)N作GNA.MN,分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于G和K,則GK=KN=10.

1JT

令NGOK=詼，則5也%=一，&￡(0,-).

46

當(dāng)力￡［詼，烏)時(shí)，才能作出滿足條件的矩形488,

2

所以sinO的取值范圍是［1,1).

4

答：矩形488的面積為800(4sini?cosi?+cosi?)平方米，△CDP的面積為

1600(cosi?-sini?cosi?),sin?！钡娜≈捣秶?1).

(2)因?yàn)榧住⒁覂煞N蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4：3,

設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0),

則年總產(chǎn)值為4kx800(4sini?cosi?+cosi?)+3kxl600(cosi?-sini?cosi?)

7T

=8000/c(sini?cosi?+cosi?),—).

2

■jr

設(shè)/(9)=sini?cosi?+cosi?,一)，

2

則于'(。)-cos20-sin20-sin0=-(2sin26+sin6—1)=-(2sin0-l)(sin6+1).

令一(8)=0,得氏二,

6

當(dāng)9G(女,-)時(shí)，/W0,所以/(9)為增函數(shù)；

6

當(dāng)ee(巴，巴)時(shí)，/wo,所以/(<?)為減函數(shù)，

62

因此，當(dāng)代工時(shí)，f(1?)取到最大值.

6

答：當(dāng)氏工時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

6

18.解：(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為月(-6,0),6(6,0),

221

可設(shè)橢圓C的方程為=+%=1(4>/>0).又點(diǎn)(6,3)在橢圓C上，

2_+J_=1除=4

所以"4加’，解得，一’

-2,.2c/=1,

6

因此，橢圓C的方程為工+9=1.

4

因?yàn)閳A。的直徑為百入，所以其方程為/+9=3.

（2）①設(shè)直線/與圓。相切于「（為,%）（無(wú)＞0,%＞0）,則"+避=3,

所以直線/的方程為y=-五。一/）+為,即尸-區(qū)入+2.

%%為

X22_.

丁〉=i，

由廣。消去y，得

4）3

y=-x+—,

%%

22

（4x0+X：）x-24xox+36-4y：=0.（*）

因?yàn)橹本€/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

因?yàn)闉?為＞0,所以%=0,%=1.

因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（&』）.

②因?yàn)槿切?A8的面積為卅，所以_LAZTOP=城，從而A3=逑.

7277

設(shè)A（±,y）,B（w，%），

24與±也8%“十-2）

由（）得藥.2

*2（H+%2）

所以AB?=（苞-々）2+（X-必）2

%48y（；（x；-2）

%?（4々；+%2）2

因?yàn)橛瘢?%2=3,

所以A#=I黑;；）=II,即2x；-45年+100=0,

解得/2=3汨=20舍去），則為2=g,因此p的坐標(biāo)為（孚,#）.

綜上，直線/的方程為y=-V5x+3夜.

7

19.解：(1)函數(shù)/(x)=x,g(x)=x2+2x-2,則f(x)=1,g'(x)=2x+2.

由/(x)=g(x)且/(x)=g'(x),得

卜=1+2x-2,此方程組無(wú)解，

[1=2x+2

因此，f(x)與g(x)不存在“S”點(diǎn).

(2)函數(shù)八》)=江-1,g(x)=lnx,

則/工)=2④，gXx)=-.

X

r

設(shè)xo為f(x)與g(x)的“S”點(diǎn)，由/(xo)=g(x0)且，(x0)=g(xo)?得

r21i

axQ-1=InX0

aXg-1=Inx0

2?r；=1

%

1-1ip

2

得In』=——，BPx()=e,貝！Ja=---j-=—.

z.——c2.

2(e2尸

當(dāng)“=]時(shí)，/=eT滿足方程組(*),即/為/(x)與g(x)的“5”點(diǎn).

因此，a的值為￡.

2

(3)對(duì)任意a>0,設(shè)〃(x)=/一312一奴.

因?yàn)椤?0)=〃>0,〃(1)=1—3—=—2<0,且力(x)的圖象是不間斷的,

所以存在(0,1),使得〃(%)=().令6=1^----則b>0.

eU—

函數(shù)/(工)=一12+々,g(x)=——,

x

8

貝U/'(x)=—2x，gU)=*F.

由f(x)=g(x)且f(x)=gf(x),得

v

，he22片e

-x~+a=——

xe"(l-%)x

(**)

c加x(x—l)。2Mev(x-l)

-2x=-p—-2x=--------------——

e*(l-Xo)x

此時(shí)，x0滿足方程組(**),即4是函數(shù)/(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)"S

點(diǎn)”.

因此，對(duì)任意。>0,存在b>0,使函數(shù)/(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.

20.解：⑴由條件知：%=(〃-1)"也=條1

因?yàn)閰^(qū)々對(duì)"=1，2,3,4均成立,

即1(〃-l)d-2"T區(qū)1對(duì)n=i,2,3,4均成立，

7、

即141,l<d<3,342d45,7<3d<9,W-<rf<-.

32

因此，d的取值范圍為耳,|].

(2)由條件知：an=b]+(n-V)d9btt=.

若存在d,使得|%-2區(qū)4(c=2,3,…,m+1)成立，

即14+5—l)d—bq'"區(qū)4(〃=2,3,???，加+1)，

即當(dāng)〃=2,3,…,〃2+1時(shí)，d滿足幺——-bx<d<^—b].

n-\n-\

因?yàn)閝e(l,啦],貝Ijlv/ivg”w2,

〃"T—?4"T

從而------/?!<0,----/?,>0,對(duì)〃=2,3,…，機(jī)+1均成立.

n-\n-\

因此,取d=0時(shí),|。〃一6“區(qū)內(nèi)對(duì)九二2,3,…，機(jī)+1均成立.

〃”一1—9nn~l

下面討論數(shù)歹!l{^一。的最大值和數(shù)歹八"一}的最小值(〃=2,3「..,機(jī)+1).

Z7-1n-1

①當(dāng)機(jī)時(shí)，吐1-U=*q"-時(shí)T+2=〃a-CY+2

nn-ln(n-l)n(n-l)

當(dāng)時(shí)，有qYqY2,從而〃(0‘一/1)一夕〃+2>0.

9

因此，當(dāng)24〃4加+1時(shí)，數(shù)列遇~二目單調(diào)遞增，

H—1

故數(shù)歹—。的最大值為_i,

n—\m

②設(shè)/Xx)=2*(1-x),當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)=(In2-l-xln2)2*<0,

所以/(x)單調(diào)遞減，從而f(x)</(0)=1.

當(dāng)2M%時(shí)，-^-=^(/?-1)<2"(1--)=/(-)<1,

qnnnn

n-\

因此，當(dāng)2K/1K%+1時(shí)，數(shù)列｛9—｝單調(diào)遞減，

H-1

故數(shù)列｛y｝的最小值為

n—\m

因此，d的取值范圍為［4(/二2)當(dāng)匚］

mtn

21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)

作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

A.［選修4-1：幾何證明選講］(本小題滿分10分)

如圖，圓。的半徑為2,A8為圓。的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

過(guò)P作圓。的切線，切點(diǎn)為C.若PC=26,求BC的長(zhǎng).

B.［選修4-2：矩陣與變換J(本小題滿分10分)

23（第題）

已知矩陣A=21-A

12

(1)求A的逆矩陣A-'；

(2)若點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P(3,l),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

C.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(本小題滿分10分)

在極坐標(biāo)系中，直線/的方程為°sin(二-9)=2,曲線C的方程為夕=4cos6,求直線/

6

被曲線C截得的弦長(zhǎng).

D.［選修4一5：不等式選講］(本小題滿分10分)

10

若x,y,z為實(shí)數(shù)，且x+2y+2z=6,求f+y?+z?的最小值.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解

答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

22.(本小題滿分10分)

如圖，在正三棱柱ABC-481cl中，AB=AA!=2,點(diǎn)P,Q分別為48口

BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線BP與AG所成角的余弦值；

(2)求直線CJ與平面AQJ所成角的正弦值.

23.(本小題滿分10分)

設(shè)"eN",對(duì)1,2,…，n的一個(gè)排列我…小如果當(dāng)時(shí)，有is＞，；，

則稱(4,()是排列注…的一個(gè)逆序，排列柱…)的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序

數(shù).例如:對(duì)1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,2),(3,1),則排列231的逆

序數(shù)為2.記￡(%)為1,2,”的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù).

(1)求力(2),￡(2)的值；

(2)求力(2)(〃25)的表達(dá)式(用c表示).

11

21.【選做題】

A.［選修4一1：幾何證明選講］

本小題主要考查圓與三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力.滿分10分.

證明：連結(jié)。C.因?yàn)镻C與圓。相切，所以。CJ_PC.

又因?yàn)镻C=28，0c=2,

所以0P=yJPC2+OC2=4.

又因?yàn)?8=2,從而8為RtZ\0CP斜邊的中點(diǎn)，所以8c=2.

B.［選修4-2：矩陣與變換］

本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、線性變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分.

23

解：(1)因?yàn)?=det(A)=2x2-lx3=1^0,所以A可逆,

12

從而4一‘=

31.[x'\3

(2)設(shè)P(x,y),則I,所以II

J2JLx-1

因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-1).

C.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分.

解：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos。，

所以曲線C的圓心為(2,0),直徑為4的圓.

因?yàn)橹本€/的極坐標(biāo)方程為psin(--0)=2,

則直線/過(guò)A(4,0),傾斜角為二，

6

所以A為直線/與圓C的一個(gè)交點(diǎn).

設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為8,則/OAB=m.

6

連結(jié)。B,因?yàn)?。A為直徑，從而/OBA=殳,

2

12

所以AB=4cos'=26.

6

因此，直線/被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2G.

D.［選修4一5：不等式選講］

本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力.滿分10分.

證明：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(F+22+22)2(x+2y+2z)2.

因?yàn)閤+2y+2z=6,所以Y+y2+?224,

當(dāng)且僅當(dāng)二=上=三時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)x=2,丫=芻，z=d,

122333

所以f+V+z?的最小值為4.

22.【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用

空間向量解決問(wèn)題的能力.滿分10分.

解：如圖，在正三棱柱ABC-ASG中，設(shè)AC,AiG的中點(diǎn)分別為O,O”則O8_L

OC,OOxVOC,OOi±OB,以｛。反反,03；｝為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oryz.

因?yàn)锳B=A4I=2,

所以A(O,-1,0),B(區(qū)0,0),