高中數(shù)學(xué)《第四章 數(shù)列》單元檢測試卷與答案解析（共五套）

高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（一）本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．等差數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝7，則a7＝()A．10B．20C．16D．122．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于()A．－eq\f(16,3)D．eq\f(16,3)C．－eq\f(8,3)D．eq\f(8,3)3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶34．在等比數(shù)列{an}中，已知前n項和Sn＝5n＋1＋a，則a的值為()A．－1B．1C．5D．－55．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，n為正奇數(shù)，,an＋1，n為正偶數(shù)，))則254是該數(shù)列的()A．第8項B．第10項C．第12項D．第14項6．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1a2a3＝15，且eq\f(3,S1S3)＋eq\f(15,S3S5)＋eq\f(5,S5S1)＝eq\f(3,5)，則a2＝()A．2D．eq\f(1,2)C．3D．eq\f(1,3)7．如果數(shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，那么an＝()A.eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))D．eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))C.eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))D．eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))8．若有窮數(shù)列a1，a2，…，an(n是正整數(shù))，滿足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整數(shù)，且1≤i≤n)，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m＞1，m∈N*)的對稱數(shù)列，且1,2,4，…，2m－1是數(shù)列{bn}的前m項，則當m＞1200時，數(shù)列{bn}的前2019項和S2019的值不可能為()A．2m－2m－2009B．22019－1C．2m＋1－22m－2019－1D．3·2m－1－22m－2020－1二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，等差數(shù)列{bn}的首項b1＝12，若a9>b9且a10>b10，則以下結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)9·a10<0B．a(chǎn)9>a10C．b10>0D．b9>b1010．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則下列命題正確的是()A．若S5＝S9，則必有S14＝0B．若S5＝S9，則必有S7是Sn中最大的項C．若S6＞S7，則必有S7＞S8D．若S6＞S7，則必有S5＞S611．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．則下列說法正確的是()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的eq\f(1,4)D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．若數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}(n∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有()A．a(chǎn)n＝3nB．a(chǎn)n＝n2＋1C．a(chǎn)n＝eq\r(n)D．a(chǎn)n＝lneq\f(n,n＋1)第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2020－3n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．14．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則an＝________，S10＝________.15．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則eq\f(b2,a1＋a2)＝________.16．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)確定．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列；(2)當x1＝eq\f(1,2)時，求x2020.18．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－1，eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32).(1)求等比數(shù)列{an}的公比q；(2)求aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).19．(本小題滿分12分)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.20．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.21．(本小題滿分12分)在①an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))為等差數(shù)列，其中eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)＋1，eq\f(1,a6)成等比數(shù)列，③eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＝eq\f(3n2－n,2)這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，然后解答補充完整的題目．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，________.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝anan＋1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Tn＜eq\f(1,3).注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．22．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an,an＋1)，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列？若存在，請說明理由．答案解析一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．等差數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝7，則a7＝()A．10B．20C．16D．12解析：選D∵{an}是等差數(shù)列，∴d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝eq\f(5,2)，∴a7＝2＋4×eq\f(5,2)＝12.2．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于()A．－eq\f(16,3)D．eq\f(16,3)C．－eq\f(8,3)D．eq\f(8,3)解析：選B∵a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，a3＝(－1)3×2×eq\f(2,3)＝－eq\f(4,3)，a4＝(－1)4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－eq\f(8,3)，a5＝(－1)5×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝eq\f(16,3).3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3解析：選A在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.4．在等比數(shù)列{an}中，已知前n項和Sn＝5n＋1＋a，則a的值為()A．－1B．1C．5D．－5解析：選D因為Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比數(shù)列的前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，可知其常數(shù)項與qn的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a＝－5.5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，n為正奇數(shù)，,an＋1，n為正偶數(shù)，))則254是該數(shù)列的()A．第8項B．第10項C．第12項D．第14項解析：選D當n為正奇數(shù)時，an＋1＝2an，則a2＝2a1＝2，當n為正偶數(shù)時，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次類推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，歸納可得數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\f(n＋1,2)－1，n為正奇數(shù)，,2\f(n,2)＋1－2，n為正偶數(shù)，))則2eq\f(n,2)＋1－2＝254，n＝14，故選D.6．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1a2a3＝15，且eq\f(3,S1S3)＋eq\f(15,S3S5)＋eq\f(5,S5S1)＝eq\f(3,5)，則a2＝()A．2D．eq\f(1,2)C．3D．eq\f(1,3)解析：選C∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋eq\f(1,a1a3)＝eq\f(3,5).∵a1a2a3＝15，∴eq\f(3,5)＝eq\f(a3,15)＋eq\f(a1,15)＋eq\f(a2,15)＝eq\f(a2,5)，∴a2＝3.故選C.7．如果數(shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，那么an＝()A.eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))D．eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))C.eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))D．eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))解析：選A由題知a1＝1，q＝eq\f(1,3)，則an－an－1＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1.設(shè)數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n項和為Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))，∴an＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))).8．若有窮數(shù)列a1，a2，…，an(n是正整數(shù))，滿足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整數(shù)，且1≤i≤n)，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m＞1，m∈N*)的對稱數(shù)列，且1,2,4，…，2m－1是數(shù)列{bn}的前m項，則當m＞1200時，數(shù)列{bn}的前2019項和S2019的值不可能為()A．2m－2m－2009B．22019－1C．2m＋1－22m－2019－1D．3·2m－1－22m－2020－1解析：選A若數(shù)列{bn}的項數(shù)為偶數(shù)，則數(shù)列可設(shè)為1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，當m≥2019時，S2019＝eq\f(1×1－22019,1－2)＝22019－1，故B可能．當1200＜m＜2019時，S2019＝2×eq\f(1×1－2m,1－2)－eq\f(1×1－22m－2019,1－2)＝2m＋1－22m－2019－1，故C可能．若數(shù)列為奇數(shù)項，則數(shù)列可設(shè)為1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，當m≥2019時，S2019＝eq\f(1×1－22019,1－2)＝22019－1.當1200＜m＜2019時，S2019＝2×eq\f(1×1－2m－1,1－2)－eq\f(1×1－22m－1－2019,1－2)＋2m－1＝3·2m－1－22m－2020－1，故D可能．故選A.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，等差數(shù)列{bn}的首項b1＝12，若a9>b9且a10>b10，則以下結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)9·a10<0B．a(chǎn)9>a10C．b10>0D．b9>b10解析：選AD∵等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，∴a9和a10異號，∴a9a10＝aeq\o\al(2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))<0，故A正確；但不能確定a9和a10的大小關(guān)系，故B不正確；∵a9和a10異號，且a9>b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一個數(shù)是負數(shù)，又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故D正確；∴b10一定是負數(shù)，即b10<0，故C不正確．故選A、D.10．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則下列命題正確的是()A．若S5＝S9，則必有S14＝0B．若S5＝S9，則必有S7是Sn中最大的項C．若S6＞S7，則必有S7＞S8D．若S6＞S7，則必有S5＞S6解析：選ABC∵等差數(shù)列{an}的前n項和公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)，若S5＝S9，則5a1＋10d＝9a1＋36d，∴2a1＋13d＝0，∴a1＝－eq\f(13d,2)，∵a1＞0，∴d＜0，∴a1＋a14＝0，∴S14＝7(a1＋a14)＝0，A對；又∵Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝－eq\f(13nd,2)＋eq\f(nn－1d,2)＝eq\f(d[n－72－49],2)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知S7是Sn中最大的項，B對；若S6＞S7，則a7＝a1＋6d＜0，∴a1＜－6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴a6＝a1＋5d＜－6d＋5d＝－d，a8＝a7＋d＜a7＜0，S7＞S8＝S7＋a8，C對；由a6＜－d不能確定a6的符號，所以S5＞S6不一定成立，D錯．故選A、B、C.11．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．則下列說法正確的是()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的eq\f(1,4)D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析：選ABD設(shè)此人第n天走an里路，則{an}是首項為a1，公比為q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列．所以S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×eq\f(1,4)＝48，所以A正確，由a1＝192，則S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正確．a(chǎn)2＝a1q＝192×eq\f(1,2)＝96，而eq\f(1,4)S6＝94.5＜96，所以C不正確．a(chǎn)1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,4)))＝336，則后3天走的路程為378－336＝42而且42×8＝336，所以D正確．故選A、B、D.12．若數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}(n∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有()A．a(chǎn)n＝3nB．a(chǎn)n＝n2＋1C．a(chǎn)n＝eq\r(n)D．a(chǎn)n＝lneq\f(n,n＋1)解析：選CD對A，若an＝3n，則an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不為遞減數(shù)列，故A錯誤；對B，若an＝n2＋1，則an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}為遞增數(shù)列，故B錯誤；對C，若an＝eq\r(n)，則an＋1－an＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故C正確；對D，若an＝lneq\f(n,n＋1)，則an＋1－an＝lneq\f(n＋1,n＋2)－lneq\f(n,n＋1)＝lneq\f(n＋1,n＋2)·eq\f(n＋1,n)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2＋2n)))，由函數(shù)y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2＋2x)))在(0，＋∞)遞減，所以數(shù)列{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故D正確．故選C、D.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2020－3n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．解析：由an＝2020－3n>0，得n<eq\f(2020,3)＝673eq\f(1,3)，又∵n∈N*，∴n的最大值為673.答案：67314．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則an＝________，S10＝________.解析：設(shè){an}的首項，公差分別是a1，d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(20×20－1,2)×d＝20，))解得a1＝20，d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n.S10＝10×20＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝110.答案：22－2n11015．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則eq\f(b2,a1＋a2)＝________.解析：因為數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因為數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以beq\o\al(2,2)＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q為等比數(shù)列的公比)，所以b2＝3，則eq\f(b2,a1＋a2)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)16．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________.解析：設(shè){an}的公比為q，q>0，且aeq\o\al(2,3)＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，a1＝eq\f(1,q2)＝4.∴S5＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25)))＝eq\f(31,4).答案：eq\f(31,4)四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)確定．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列；(2)當x1＝eq\f(1,2)時，求x2020.解：(1)證明：∵xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N*)，∴eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，∴eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2且n∈N*)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋(n－1)×eq\f(1,3)＝2＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n＋5,3).∴eq\f(1,x2020)＝eq\f(2020＋5,3)＝675.∴x2020＝eq\f(1,675).18．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－1，eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32).(1)求等比數(shù)列{an}的公比q；(2)求aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).解：(1)由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－eq\f(1,32)，q＝－eq\f(1,2).(2)由(1)，得an＝(－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1，所以aeq\o\al(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1，所以數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是首項為1，公比為eq\f(1,4)的等比數(shù)列，故aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))).19．(本小題滿分12分)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝3，,4a1＋6d＝16，))解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，an＝2n－1，∴bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).20．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，則a2＝q，a3＝q2，因為S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，則1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，則Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，兩式相減，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化簡得Tn＝(2n－3)×2n＋3.21．(本小題滿分12分)在①an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))為等差數(shù)列，其中eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)＋1，eq\f(1,a6)成等比數(shù)列，③eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＝eq\f(3n2－n,2)這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，然后解答補充完整的題目．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，________.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝anan＋1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Tn＜eq\f(1,3).注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．解：若選條件①：(1)易知an≠0，∵an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3.又eq\f(1,a1)＝1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(1,an)＝3n－2，∴an＝eq\f(1,3n－2).(2)證明：由(1)可知，bn＝eq\f(1,3n－23n＋1)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))，∴Tn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n＋1)))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,9n＋3)＜eq\f(1,3)，故Tn＜eq\f(1,3).若選條件②：(1)設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的公差為d，則eq\f(1,a2)＝1＋d，eq\f(1,a3)＋1＝2＋2d，eq\f(1,a6)＝1＋5d，∵eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)＋1，eq\f(1,a6)成等比數(shù)列，∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝3或d＝－1.當d＝－1時，eq\f(1,a2)＝1＋d＝0，此時eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)＋1，eq\f(1,a6)不能構(gòu)成等比數(shù)列，∴d＝3，∴eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝eq\f(1,3n－2).(2)由(1)可知，bn＝eq\f(1,3n－23n＋1)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))，∴Tn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n＋1)))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,9n＋3)＜eq\f(1,3)，故Tn＜eq\f(1,3).若選條件③：(1)由eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＝eq\f(3n2－n,2)知，當n≥2時，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an－1)＝eq\f(3n－12－n－1,2)，兩式相減，得eq\f(1,an)＝eq\f(3n2－n,2)－eq\f(3n－12－n－1,2)＝3n－2，∴an＝eq\f(1,3n－2)(n≥2)，當n＝1時，a1＝1也適合上式，∴an＝eq\f(1,3n－2).(2)由(1)可知，bn＝eq\f(1,3n－23n＋1)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))，∴Tn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n＋1)))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,9n＋3)＜eq\f(1,3)，故Tn＜eq\f(1,3).22．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an,an＋1)，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列？若存在，請說明理由．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝55，,20a1＋\f(20×19,2)d＝210，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋9d＝11，,2a1＋19d＝21，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝1.))所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．(2)假設(shè)存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,m)＝b1bk.因為bn＝eq\f(an,an＋1)＝eq\f(n,n＋1)，所以b1＝eq\f(1,2)，bm＝eq\f(m,m＋1)，bk＝eq\f(k,k＋1)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,m＋1)))2＝eq\f(1,2)×eq\f(k,k＋1).整理，得k＝eq\f(2m2,－m2＋2m＋1).以下給出求m，k的方法：因為k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－eq\r(2)<m<1＋eq\r(2).因為m≥2，m∈N*，所以m＝2，此時k＝8.故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比數(shù)列．高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（二）注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題只有一個選項為正確答案，每題5分，共40分）1．已知數(shù)列中，，，則等于（）A．B．C．D．2．等比數(shù)列的各項均為正實數(shù)，其前n項和為Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，則S5＝（）A．32B．31C．64D．633．在等比數(shù)列中，，則（）A．3B．C．3或D．或4．在遞減等比數(shù)列中，是其前項和，若，，則（）．A．B．C．D．5．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A．B．C．D．6．已知等比數(shù)列的前n項和為，若公比，則數(shù)列的前n項積的最大值為（）A．16B．64C．128D．2567．已知等差數(shù)列的前n項的和為，且，有下面4個結(jié)論：①；②；③；④數(shù)列中的最大項為，其中正確結(jié)論的序號為（）A．②③B．①②C．①③D．①④8．已知等差數(shù)列的前n項和為，若是一個確定的常數(shù)，則數(shù)列中是常數(shù)的項是（）A．B．C．D．二、多選題（每題有多個選項為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9．設(shè)是等差數(shù)列，為其前項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．、均為的最大值10．已知數(shù)列滿足：，當時，，則關(guān)于數(shù)列說法正確的是（）A．B．數(shù)列為遞增數(shù)列C．數(shù)列為周期數(shù)列D．11．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)．則下列說法正確的是（）A．此人第三天走了二十四里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為（）A．B．C．D．第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分）13．已知是等比數(shù)列，，，則______.14．在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則的值是________.15．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S6＝30，S9＝70，則S3＝___.16．已知等差數(shù)列的公差，前項之和為，若對任意正整數(shù)恒有，則的取值范圍是______.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．已知在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．18．已知數(shù)列的前項和為，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）記數(shù)列的前項和為，求19．已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，其前項和為，且數(shù)列也為等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：，設(shè)的前項的和為，求證：.22．已知數(shù)列中，是的前項和且是與的等差中項，其中是不為的常數(shù).（1）求.（2）猜想的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.答案解析第I卷（選擇題）一、單選題（每題只有一個選項為正確答案，每題5分，共40分）1．已知數(shù)列中，，，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在數(shù)列中，，，則，，，.故選：B.2．等比數(shù)列的各項均為正實數(shù)，其前n項和為Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，則S5＝（）A．32B．31C．64D．63【答案】B【解析】依題意，即，解得，所以.故選：B3．在等比數(shù)列中，，則（）A．3B．C．3或D．或【答案】C【解析】若的公比為，∵，又由，即有或,∴或，故有或故選：C4．在遞減等比數(shù)列中，是其前項和，若，，則（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】則，解得或，∵是遞減數(shù)列，則，∴，（舍去）．∴，．故選：A．5．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.6．已知等比數(shù)列的前n項和為，若公比，則數(shù)列的前n項積的最大值為（）A．16B．64C．128D．256【答案】B【解析】由，，得，解得，所以數(shù)列為8，，2，，，，……，前4項乘積最大為64.故選：B.7．已知等差數(shù)列的前n項的和為，且，有下面4個結(jié)論：①；②；③；④數(shù)列中的最大項為，其中正確結(jié)論的序號為（）A．②③B．①②C．①③D．①④【答案】B【解析】由得，，則，，所以，所以，①正確；，故②正確；，故③錯誤；因為，，故數(shù)列中的最大項為，故④錯誤．故選：B.8．已知等差數(shù)列的前n項和為，若是一個確定的常數(shù)，則數(shù)列中是常數(shù)的項是（）A．；B．；C．；D．【答案】D【解析】由于題目所給數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有，故為確定常數(shù)，由等差數(shù)列前項和公式可知也為確定的常數(shù).故選:D二、多選題（每題有多個選項為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9．設(shè)是等差數(shù)列，為其前項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．、均為的最大值【答案】ABD【解析】由得，即，又∵，，，故B正確；同理由，得，，故A正確；對C，，即，可得，由結(jié)論，顯然C是錯誤的；與均為的最大值，故D正確；故選：ABD.10．已知數(shù)列滿足：，當時，，則關(guān)于數(shù)列說法正確的是（）A．B．數(shù)列為遞增數(shù)列C．數(shù)列為周期數(shù)列D．【答案】ABD【解析】得，∴，即數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，得，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列為遞增數(shù)列，所以易知ABD正確，故選：ABD.11．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)．則下列說法正確的是（）A．此人第三天走了二十四里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BD【解析】由題意，此人每天所走路程構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，記該等比數(shù)列為，公比為，前項和為，則，解得，所以此人第三天走的路程為，故A錯；此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正確；此人第二天走的路程為，故C錯；此人前三天走的路程為，后三天走的路程為，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正確；故選：BD.12．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由題意可得，則，由于為整數(shù)，則為的正約數(shù)，則的可能取值有、、，因此，正整數(shù)的可能取值有、、.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分）13．已知是等比數(shù)列，，，則______.【答案】【解析】由題意，等比數(shù)列中，，，可得，解得，又由，且，即數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：.14．在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則的值是________.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得(負值舍)，則.故答案為：.15．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S6＝30，S9＝70，則S3＝________.【答案】10【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，若Sn是等比數(shù)列的和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比數(shù)列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即.解得S3＝10或S3＝90(舍)．故答案為：16．已知等差數(shù)列的公差，前項之和為，若對任意正整數(shù)恒有，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為對任意正整數(shù)恒有，所以為最小值，因此，即故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．已知在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得解得，所以等差數(shù)列的通項公式可得;（2）由（1）可得，所以.18．已知數(shù)列的前項和為，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）記數(shù)列的前項和為，求【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）當時，因為，所以，即首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得，.當時，.當時，，符合題意，所以.所以，所以.19．已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），，，又，，，；（2），，兩式相減得，則.20．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，其前項和為，且數(shù)列也為等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，成等差數(shù)列，，解得，，經(jīng)檢驗，所以數(shù)列為等差數(shù)列，.（2），，設(shè)數(shù)列的前項和為，則.21．已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：，設(shè)的前項的和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由是，的等差中項得，所以，解得，由，得，解得或，因為，所以.所以.（2），在成立，又有，.22．已知數(shù)列中，是的前項和且是與的等差中項，其中是不為的常數(shù).（1）求.（2）猜想的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.【答案】（1）；；（2）猜想：；證明見解析【解析】（1）由題意知：即，當時，，解得.當時，，解得.當時，，解得.（2）猜想：證明：①當時，由（1）知等式成立.②假設(shè)當時等式成立，即，則當時，又則，，∴，即所以，即當時，等式成立.結(jié)合①②得對任意均成立.高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（三）注：本檢測滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題一、單選題1．已知數(shù)列，，，，…，則是這個數(shù)列的（）A．第8項B．第9項C．第10項D．第11項2．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．180B．C．162D．3．在數(shù)列中，，（，），則（）A．B．1C．D．24．等比數(shù)列的前n項和為，若，，，則（）A．B．C．D．5．兩等差數(shù)列和，前n項和分別為，，且，則的值為（）A．B．C．D．6．等比數(shù)列中（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則7．函數(shù)的正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列，則（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A．B．C．D．二、多選題9．無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A．可能為等差數(shù)列B．可能為等比數(shù)列C．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列10．數(shù)列的前項和為，若，，則有（）A．B．為等比數(shù)列C．D．11．設(shè)是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．與均為的最大值12．將n2個數(shù)排成n行n列的一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，記這n2個數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）A．m＝3B．C．D．三、填空題13．已知數(shù)列的通項公式是，那么達到最小值時n為________.14．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________．15．在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴展”.將數(shù)列1，4進行“擴展”，第一次得到數(shù)列1，4，4；第二次得到數(shù)列1，4，4，16，4；……；第次得到數(shù)列1，，，…，，4，并記，其中，.則的通項___________.16．如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設(shè).若，，則數(shù)列的通項公式是________.四、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的存在最大值，則求出最大值；若問題中的不存在最大值，請說明理由.問題：設(shè)是數(shù)列的前項和，且，__________，求的通項公式，并判斷是否存在最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.20．設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，，且是，的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.21．已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項和.22．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．答案解析一、單選題1．已知數(shù)列，，，，…，則是這個數(shù)列的（）A．第8項B．第9項C．第10項D．第11項【答案】B【分析】將數(shù)列中的每一項都寫成，即可判斷是第幾項.【詳解】可將數(shù)列改寫為，，，，...，由此可歸納該數(shù)列的通項公式為，又，則其為該數(shù)列的第9項.故選：B.【點睛】本題考查了由數(shù)列的前幾項歸納出其通項公式，屬于基礎(chǔ)題.2．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．180B．C．162D．【答案】B【分析】先利用等差數(shù)列的通項公式，求出等差數(shù)列的首項和公差，再根據(jù)前項和公式即可求出.【詳解】，，,解得，，，，.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．在數(shù)列中，，（，），則（）A．B．1C．D．2【答案】A【分析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性，關(guān)鍵是通過遞推式求出前幾項觀察出周期，是基礎(chǔ)題.4．等比數(shù)列的前n項和為，若，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到,結(jié)合，利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造二次方程求解得到的值，進而得到等比數(shù)列的首項和公比，然后利用求和公式計算即得所求.【詳解】由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，所以，故解得：，從而公比那么，故選：D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的求和，屬中檔題.5．兩等差數(shù)列和，前n項和分別為，，且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】在為等差數(shù)列中，當，，，時，．所以結(jié)合此性質(zhì)可得：，再根據(jù)題意得到答案．【詳解】解：在為等差數(shù)列中，當，，，時，．所以，又因為，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，屬于中檔題．6．等比數(shù)列中（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及求和公式，等比數(shù)列的公比分析即可求出答案.【詳解】等比數(shù)列中，，當時，可得，及，故B正確；但和不能判斷大小（正負不確定），故A錯誤；當時，則，可得，即，可得，由于不確定，不能確定的大小，故CD錯誤.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式和求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．函數(shù)的正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先將函數(shù)化簡為，再解函數(shù)零點得或，，再求即可.【詳解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列為：故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)運算求解能力，是中檔題.8．已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)，采用倒序相加的方法可得，從而得到，根據(jù)基本不等式求得最小值.【詳解】由題可知：令又于是有因此所以當且僅當時取等號本題正確選項：【點睛】本題考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值問題.關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)的規(guī)律求得與的和，從而能夠構(gòu)造出基本不等式的形式.二、多選題9．無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A．可能為等差數(shù)列B．可能為等比數(shù)列C．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列【答案】AC【分析】由可求得的表達式，利用定義判定得出答案．【詳解】當時，．當時，．當時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當時，是等差數(shù)列，不可能是等比數(shù)列；當時，從第二項開始是等差數(shù)列．故選：AC【點睛】本題只要考查等差數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，利用求通項公式，屬于基礎(chǔ)題．10．數(shù)列的前項和為，若，，則有（）A．B．為等比數(shù)列C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)的關(guān)系，求得，結(jié)合等比數(shù)列的定義，以及已知條件，即可對每個選項進行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和滿足，當時，，兩式相減，可得，可得，即，又由，當時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為；當時，，又由時，，適合上式，所以數(shù)列的的前項和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，綜上可得選項是正確的.故選：ABD.【點睛】本題考查利用關(guān)系求數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)例的證明和判斷，屬綜合基礎(chǔ)題.11．設(shè)是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．與均為的最大值【答案】BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.12．將n2個數(shù)排成n行n列的一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，記這n2個數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）A．m＝3B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，從而求出通項，再按照分組求和法，每一行求和可得S，由此可以判斷各選項的真假．【詳解】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），∴aij＝ai1?3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]?3j﹣1＝（3i﹣1）?3j﹣1，∴a67＝17×36，∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)（3n﹣1）?n（3n+1）（3n﹣1）故選：ACD.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式的求法，分組求和法，等差數(shù)列，等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、填空題13．已知數(shù)列的通項公式是，那么達到最小值時n為________.【答案】22或23.【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性求得滿足題意的n即可.【詳解】，數(shù)列是遞增數(shù)列.令，解得：，或，則可知達到最小值時n為22或23.故答案為：22或23.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.14．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________．【答案】405【分析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9，公差為9的等差數(shù)列，15．在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴展”.將數(shù)列1，4進行“擴展”，第一次得到數(shù)列1，4，4；第二次得到數(shù)列1，4，4，16，4；……；第次得到數(shù)列1，，，…，，4，并記，其中，.則的通項___________.【答案】【分析】先由，結(jié)合題意得到，再設(shè)求出，得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，進而可求出結(jié)果.【詳解】由題意，根據(jù)，可得，設(shè)，即，可得，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式即可，屬于?？碱}型.16．如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設(shè).若，，則數(shù)列的通項公式是________.【答案】【分析】根據(jù)三角形相似和所有梯形的面積均相等，找到與相關(guān)的遞推公式，再由遞推公式求得通項公式.【詳解】由于所以梯形的面積為的面積減去的面積，則可得即遞推公式為故為等差數(shù)列，且公差，故，得故答案為:【點睛】本題主要考查數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用，根據(jù)幾何關(guān)系尋找遞推有關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.四、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的存在最大值，則求出最大值；若問題中的不存在最大值，請說明理由.問題：設(shè)是數(shù)列的前項和，且，__________，求的通項公式，并判斷是否存在最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】若選①，求出數(shù)列是首項為4，公比為的等比數(shù)列，求出通項公式和前項和，通過討論的奇偶性，求出其最大值即可；若選②，求出數(shù)列是首項為4，公差為的等差數(shù)列，求出通項公式和前項和，求出其最大值即可；若選③，求出，當時，，故不存在最大值.【詳解】解：選①因為，，所以是首項為4.公比為的等比數(shù)列，所.當為奇數(shù)時，，因為隨著的增加而減少，所以此時的最大值為.當為偶數(shù)時，，且綜上，存在最大值，且最大值為4.選②因為，.所以是首項為4，公差為的等差數(shù)列，所以.由得，所以存在最大值.且最大值為（或），因為，所以的最大值為50.選③因為，所以，所以，，…，則，又，所以.當時，，故不存在最大值.【點睛】此題考查數(shù)列的通項公式和求和公式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題18．數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】(1)當時，，利用得到通項公式，驗證得到答案.(2)根據(jù)的正負將和分為兩種情況，和，分別計算得到答案.【詳解】(1)當時，，當時，.綜上所述.(2)當時，，所以，當時，，.綜上所述.【點睛】本題考查了利用求通項公式，數(shù)列的絕對值和，忽略時的情況是容易犯的錯誤.19．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由變形得：，可得證明.（2）由（1）知：,∴,用裂項相消可求和,從而可證明.【詳解】（1）由變形得：又，故∴數(shù)列是以1為首項1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知：∴∴∴【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列，考查用裂項相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.20．設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，，且是，的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件列出方程組，求出首項和公比，即可得出通項公式；（2）先由（1）得到，再由錯位相減法，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.依題意，有，將代入得，得.聯(lián)立得兩式兩邊相除消去得，解得或（舍去），所以，所以，，（2）因為所以，①②①②，得.所以，數(shù)列的前n項和.【點睛】本題主要考查求等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列的和，涉及等差中項的應(yīng)用，屬于?？碱}型.21．已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求出；（2）根據(jù)數(shù)列特點采用分組求和法求解.【詳解】（1）當時，，當時，，將代入上式驗證顯然適合，所以.（2）因為，，，，所以，所以.【點睛】本題考查和的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.22．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據(jù)此進一步計算數(shù)列的前2n項和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項和為.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（四）注：本檢測滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題一、單選題1．已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則（）A．-4B．-6C．-8D．-102．設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，，則公比等于（）A．B．C．D．3．已知等差數(shù)列，的前項和分別為和，且，則（）A．B．C．D．4．若數(shù)列滿足：，而數(shù)列的前項和最大時，的值為（）A．6B．7C．8D．95．著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足.若某一半音與的頻率之比為，則該半音為（）頻率半音CDEFGABC（八度）A．B．GC．D．A6．若數(shù)列滿足：對任意的