“畫計算”教學(xué)實踐與思考-以“100以內(nèi)加減法”教學(xué)為例 論文

“畫計算”教學(xué)實踐與思考——以“100以內(nèi)加減法”的教學(xué)為例摘要：本文從“什么是‘畫計算’”、“為什么‘畫計算’”和“怎樣‘畫計算’”三個方面闡述作為“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)五大課型之一的“畫計算”教學(xué)的實踐探索和理性思考。關(guān)鍵詞：“畫計算”，“數(shù)學(xué)畫”，教學(xué)實踐，計算育人一、什么是“畫計算”？小學(xué)生心理特征、認知發(fā)展規(guī)律與數(shù)學(xué)學(xué)科高度抽象性和嚴密邏輯性之間存在矛盾，怎樣引導(dǎo)小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)？這是小數(shù)教學(xué)的核心問題，我們回到數(shù)學(xué)的研究對象：數(shù)量關(guān)系和空間形式，聚焦“數(shù)”與“形”的關(guān)系，探索出“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)道路。立德樹人是教育的根本任務(wù)，以數(shù)學(xué)育人是小數(shù)教學(xué)的不懈追求，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，怎樣通過“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)培育小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？這是我們著力要解決的問題。自2014年9月正式投入教學(xué)實踐與研究以來，“數(shù)學(xué)畫”經(jīng)歷了“教學(xué)探索——課程建設(shè)——項目推進”的發(fā)展路徑，累積起可觀的實踐案例和理性思考。其成果包括已經(jīng)形成“畫概念”“畫思路”“畫計算”“畫結(jié)構(gòu)”“畫繪本”等五大課型及其教學(xué)策略?！碑嬘嬎恪弊鳛椤皵?shù)學(xué)畫”五大課型之一，是在計算教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生畫圖探究算法、表征算理，也就是把計算的推理過程與結(jié)果畫出來。二、為什么“畫計算”？首先，我們需要思考的是，計算的教學(xué)價值在哪里？我們一般認為計算教學(xué)有四個主要目標：算法探究并掌握、算理理解、計算技能形成以及計算策略的掌握。筆者認為還有一點非常重要，那就是在落實以上四個主要目標的過程中實現(xiàn)以計算育人，即將計算教學(xué)指向?qū)W生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育和學(xué)生健康成長的滋養(yǎng)。為了說得簡單明白，我們不妨從反面現(xiàn)象切入。1.有些計算教學(xué)停留于“會算”層面筆者聽過一節(jié)《兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法》，由復(fù)習(xí)不進位加法導(dǎo)入，然后師生問答式推進筆算進位加法，主要還是以教師講解為主，很快就完成主體環(huán)節(jié)即例題的教學(xué)，得出進位加法的算法，隨即課堂進入較長時間的練習(xí)，學(xué)生參與度高，教學(xué)效果好，一節(jié)課下來學(xué)生真的是掌握了，大多數(shù)學(xué)生可以“算得又對又快”。這節(jié)課也得到了同行的一致好評，全班都會算了嘛！還不是好課嗎？”會算”就可以了嗎？如果是這樣，買臺計算機或計算器就好了，機器比人厲害；計算教學(xué)之所以在人工智能飛速發(fā)展的時代仍然有其存在價值，絕對不僅僅因為“會算”。比“會算”更重要的是理解算理，“滿十進一”不應(yīng)該只是存進學(xué)生大腦的一個程序，更應(yīng)該是學(xué)生深刻領(lǐng)悟的一個道理。只有理解基礎(chǔ)上的掌握才是牢固的。2.有些計算教學(xué)淺浮于“計算”層面很多計算課眼里只有“計算”，教加法就盯著加，教除法就只有除，而不能夠在知識上融會貫通。還以《兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加法》為例，要做到融會貫通不僅僅是由不進位加向進位加螺旋上升，也不僅僅是從20以內(nèi)進位加向100以內(nèi)進位加的遷移，更要關(guān)注運算對象即兩位數(shù)的特征。筆者以為，計算的基礎(chǔ)有兩個，一是深刻理解運算的含義，比如理解加法的含義，是合并，是單位的累加等等；一是深刻理解運算對象的含義，比如兩位數(shù)的含義，23不僅像5、7這些一位數(shù)那樣表示23個一，它還表示2個十和3個一。算法也好，算理也罷，都是以運算及運算對象的內(nèi)涵特征為基礎(chǔ)來構(gòu)建的。對算理的理解首先包括對運算對象的理解，缺乏理解運算對象的算理理解注定是膚淺的。3.還有些計算教學(xué)局限于“教學(xué)”層面正如前文所述，計算教學(xué)關(guān)注到了“算法、算理、算技、計算策略”就夠了嗎？如果這就夠了，未免太浪費計算課，因為它可以承載的價值其實更多?；氐健秲晌粩?shù)加兩位數(shù)進位加法》這節(jié)課，算法探究的過程中學(xué)生可以學(xué)會推理，感悟理性精神；算法多樣化的呈現(xiàn)中學(xué)生可以學(xué)會交流學(xué)會欣賞、認識他人和自我；算法優(yōu)化中學(xué)生可以學(xué)會比較學(xué)會取舍；算式書寫中學(xué)生可以認識到簡化和規(guī)范化的作用、增進規(guī)則意識；對加數(shù)和加法的深刻理解基礎(chǔ)上的計算操作過程可以幫助學(xué)生感悟到十進位值制計數(shù)法的特點和建立在此基礎(chǔ)上的加法運算的算法邏輯和算法之美；計算在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用則可以促進學(xué)生對算理的理解，還可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系和實際作用，等等。像其他教學(xué)一樣，計算教學(xué)不僅僅是教學(xué)，更是教育。我們說“以數(shù)學(xué)育人”包括“以計算育人”。以上這些反面現(xiàn)象和正面目標，正是“畫計算”教學(xué)的關(guān)注點和追求?！爱嬘嬎恪苯虒W(xué)有效地克服了這些“反面”而盡可能靠近“正面”，“為什么‘畫計算’”可以從下文“怎樣‘畫計算’”論述中更加詳細地得到反映和證實。三、怎樣“畫計算”？”畫計算”其實并不難，只要能處理好以下四對關(guān)系，就基本能實現(xiàn)“畫計算”的教學(xué)追求。1.“畫計算”VS“畫數(shù)”任何運算法則及其道理的基礎(chǔ)都是運算對象的特征，比如小學(xué)階段數(shù)的運算，無論整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，都是計數(shù)單位的累計，所以其加減法計算的法則都有“相同單位才能相加減”的規(guī)定，于是有了“相同數(shù)位對齊”“小數(shù)點對齊”“分母相同”諸規(guī)則，追根揭底指向的是數(shù)概念的內(nèi)涵。因此，“畫計算”的關(guān)鍵是“畫數(shù)”，而“畫數(shù)”的前提是“懂?dāng)?shù)”。筆者曾3/20面對從未接觸過“數(shù)學(xué)畫”的二年級學(xué)生執(zhí)教過一節(jié)《畫加法》：師（指5+7，23+18）：請觀察加法算式，加法是把什么加起來？生：加數(shù)（數(shù)）。師：要想畫好加法，得先懂這些加數(shù)，你懂5嗎？請你說一說5表示什么意思？生1：5就是5個一。師：如果要你畫5和7，你會嗎？拿出紙筆畫出你心目中的5和7.（學(xué)生畫數(shù)，全班展評）師：畫好5和7了，那“+”是什么意思？生2：就是把兩個數(shù)合起來的意思。師：真好！5和7合起來是多少？生：12！師：數(shù)和數(shù)相加，和還是一個數(shù)。你懂12嗎？生3：12就是12個一。師（指黑板上5和7圖）：是啊，5個一加7個一不就是12個一嗎？這樣想的人對于12懂得還不夠，真正懂12的人不但會看出12與5、7的共同點，也會看出它們的不同點。生4：12表示1個十和2個一。師：你是怎么想到的？生4：12跟5、7不一樣，5、7是一位數(shù)，而12是兩位數(shù)，多了一個十位。生5：12是個兩位數(shù)，個位上的2表示2個一，十位上的1表示1個十。師：這里能看出12的這個意思嗎？現(xiàn)在只能看出12個一哦！你能看出1個十和2個一嗎?你能圈一圈、畫一畫，讓別人也能看懂嗎？（學(xué)生圈畫，指名展評，如圖1、2）圖1圖2師：這樣一圈，把10個一換成了1個十，這就是“滿十進一”（板書）。我們畫出了5+7的過程和結(jié)果，那23+18呢？你懂23和18嗎？生6：23表示2個十和3個一。生7：18表示1個十和8個一。師：你會畫23+18的過程和結(jié)果嗎？試一試?。▽W(xué)生畫圖表征，師選擇典型作品展評、改進，見圖3-5）圖3圖4圖5不難看出在以上教學(xué)中，“懂?dāng)?shù)——畫數(shù)——畫計算”一脈相承環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)行為指向的是數(shù)學(xué)理解，理解數(shù)和計數(shù)法，理解運算和運算法則。有了這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生會感悟到：“滿十進一”不僅僅是運算法則，也是計數(shù)法則；進而明白：之所以加法計算時要“滿十進一”，是因為計數(shù)時是“滿十進一”的。2.算法探究VS算理理解3、5上面所舉《畫加法》課例是在學(xué)生已經(jīng)會算時教學(xué)的，意在畫圖表征其算理，這是“畫計算”的一種情況；另一種情況，是在學(xué)生不會計算的時候畫圖探究算法，比如筆者面向有畫數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的二年級學(xué)生執(zhí)教的另一節(jié)課《畫減法》：師：92-38你會算嗎？（停頓）怎么了？有困難嗎？生1：個位不夠減，怎么辦？師：看來這跟上節(jié)課學(xué)習(xí)的減法不太一樣，該怎么算呢？今天不巧，咱都沒有帶小棒和計數(shù)器，不能擺一擺、撥一撥了……生2：我們還可以畫圖！生：對，畫圖也可以幫助我們。師：那就請不會算的同學(xué)畫圖幫助自己計算，少數(shù)會算的同學(xué)你也別閑著，可以畫圖說明自己是怎么算的。（學(xué)生畫圖，師巡輔，選取典型作品展評，出示圖6）師：請小作者說一說是怎么想的？圖6生3（邊指邊說）：我先畫92，減38，3個十減去，然后2不能減8，怎么辦呢？我就從剩下的十里拿出1個十，把它變成10個一，加上原先的2個一，就是12個一，12減8夠了，剩下4個一；這樣一共還剩下64，所以92-38=64.生4：他這個方法很好，但是多畫了1個十，92是9個十和2個一，他畫了10個十，所以結(jié)果應(yīng)該是54.（生3改進作品）師（出示圖7、8）：這里還有兩幅作品，你能看懂嗎？仔細觀察，它們與上一幅作品有什么相同點和不同點？有發(fā)現(xiàn)的先和同位說一說。生5：我們發(fā)現(xiàn)它們都是拿出1個十，變成10個一，個位就夠減了！生6：它們比上一幅多了一個豎式。師：是呀，大家仔細觀察，豎式與圖畫之間有沒有聯(lián)系？圖7圖8生7：圖7是我的作品，豎式和圖是一個意思，只不過一個是圖，一個是式子。師：你的意思是豎式與圖畫是可以對應(yīng)起來的？生7：是的，你們看（邊指邊說），92就是我畫的這個圖，9個十和2個一；減38，先算個位，2-8不夠，就從9個十里拿出1個十給個位，這時候個位變成12，2-8=4；再算十位，9個十減去3個十是6個十，剛才拿走了1個十，所以還剩5個十；一共就是54.師：說得真好！個位不夠減，從十位借1個十就夠減了。為了記住十位已經(jīng)借走了1個十，我們會在9上面作個標記（師板書豎式并添上點），這樣算起來就不容易出錯。生8：這個點就好像是借別人錢，打個借條。師：哇！這個比方好！看來你借過錢？生8（笑）：不是，我看到我爸爸借錢的時候?qū)懡钘l。在上例中，畫圖不光是表征的工具，可以把心里的思路、想法表達出來；也是計算的工具，能夠幫助學(xué)生找到計算的方法。筆者在日常教學(xué)中常常會碰到學(xué)生自主運用畫圖幫助計算的案例：圖9是一個沒有學(xué)習(xí)過“畫計算”但有“畫思路”等畫圖經(jīng)驗的二年級學(xué)生的作品，他在畫圖解決問題過程中遇到?jīng)]有學(xué)過的42÷3，想到用畫格子圖來得出結(jié)果；類似的一個計算96÷3，也是學(xué)生在解決問題時遇到，也是沒有學(xué)習(xí)過，圖10-12是有“畫計算”基礎(chǔ)的學(xué)生作品，他們的方法顯然比圖9思維層次更高，也就是會從被除數(shù)的組成視角去探索算法；圖13是對同一個問題的錯誤解答，但是小作者有畫出96÷2的算法，與圖9的42÷3比較，更能凸顯學(xué)生對“數(shù)”“計算”的理解深度。圖9圖10圖11圖12圖13當(dāng)然，“畫計算”分為“算法探究”與“算理表征”只是一個大致的說法，為了研究的方便；其實兩者是密不可分的，算法探究里自然有對算理的理解，算理表征同時也是對算法的呈現(xiàn)；這樣的分法之所以能夠被采用，主要是因為在具體的情況下會有所側(cè)重。3.學(xué)具操作VS知識內(nèi)化5兒童的智慧在他的手指尖上”，畫圖是手指尖上的學(xué)習(xí)，學(xué)具操作也是?！惫P者聽過很多學(xué)具操作的數(shù)學(xué)課，有的很好，有的則是表面熱鬧大于實在的效果，這些課堂有個突出的問題，即操作與數(shù)學(xué)是脫節(jié)的，學(xué)生參與了操作，卻鮮有數(shù)學(xué)思考，他們沒有在學(xué)具操作與數(shù)學(xué)理解之間建立聯(lián)系，也就是沒有在手指尖上生成智慧，沒有完成知識的內(nèi)化。這個問題需要在數(shù)學(xué)課上得到解決。以《兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法》為例，怎樣把學(xué)生擺小棒、撥珠子的操作活動與豎式筆算勾連起來呢？學(xué)具操作屬于動作表征，豎式筆算屬于符號表征，兩者之間可以建立聯(lián)系，比如邊操作邊進行豎式筆算，使之對應(yīng)起來。但是實際教學(xué)中要實現(xiàn)以上構(gòu)想往往是困難的，原因何在？其一，學(xué)具操作是動態(tài)過程，不容易被學(xué)生捕捉和把握；其二，學(xué)具操作是形象的直觀的，而豎式是抽象的，兩者要由此達彼需要時間在心理上完成抽象，這個過程并非我們想象中那樣容易。如果兩者之間有一個媒介、搭建一座橋梁呢？畫圖就是這樣的媒介和橋梁。我們來看這節(jié)課的一個片段：師：哪些同學(xué)是擺小棒幫助計算45-17的？誰來展示一下，你是怎么擺怎么算的？（請一生實物展臺前邊擺邊說）師：你們看懂了嗎？他剛才是怎么做的？（集體回憶擺算過程，師動態(tài)呈現(xiàn)小棒圖，同步呈現(xiàn)豎式，介紹和強調(diào)退位點）師：哪些同學(xué)選擇撥珠子幫助計算的？也請一位同學(xué)來撥一撥說一說吧！13/20/（指名上臺邊撥邊說）師：他又是怎么算的？同桌互相說一說。師慢慢地動態(tài)呈現(xiàn)珠子圖，同步呈現(xiàn)豎式，同桌互說撥算過程，教學(xué)片段中的“小棒圖”和“珠子圖”，是對擺小棒和撥珠子操作的一種畫圖記錄，它們的作用非常明顯，具體說有兩個方面：其一，將動態(tài)的操作靜態(tài)化，易于學(xué)生觀察、理解、分析和把握，給予學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的抓手；其二，將具象的學(xué)具操作半抽象化，為接下來抽象到豎式符號做好鋪墊，為學(xué)生搭建完成數(shù)學(xué)抽象的階梯。如此，學(xué)生經(jīng)歷“動作——圖畫——符號”的抽象過程，將數(shù)學(xué)理解實實在在地鏈接到學(xué)具操作上，賦予后者數(shù)學(xué)的靈性。4.圖畫VS算式5上一個片段中已經(jīng)有“小棒圖”“珠子圖”與“豎式”的同步呈現(xiàn)和對應(yīng)勾連，同一節(jié)課中，還有畫圖幫助計算的學(xué)生圖畫作品（見圖17-19）與豎式的聯(lián)系。圖17圖18圖19算式與圖畫的對應(yīng)在《畫加法》一課中也有鮮明體現(xiàn)，教學(xué)片段如下：師：大家順利完成兩項任務(wù)，會畫加法了，接下來咱們來玩?zhèn)€游戲！三人小組1人說計算過程，1人列豎式，1人畫圖，同步完成一道加法計算：23+18.（學(xué)生小組活動，師巡輔，后請一組上臺匯報，見圖20）師：通過這個游戲你發(fā)現(xiàn)了什么？（同桌互說，再指名說）生1：我發(fā)現(xiàn)畫圖與擺豎式步驟和意思一樣，方法不一樣，一個是畫圖，一個是列式子。生2：畫圖是在說明算式，列式是在記錄畫圖。師：是啊，這樣的圖與式原來是可以對應(yīng)起來的，都可以看成對計算過程和結(jié)果的記錄。學(xué)生只有對圖與式的緊密聯(lián)系有著較為深刻的認識，才能真正理解畫圖及操作的意義，才能真正理解計算的算理。在圖畫與算式的關(guān)系問題上，經(jīng)常出現(xiàn)一種誤解，即認為畫圖表征是比較“低級”的，而符號表征比較“高級”，因此有人認為“已經(jīng)會列式計算了就沒有必要再畫圖”。誠然，如果從知識的抽象程度來看，無疑符號表征的算式要比圖畫表征的示意圖程度更高；但是，如果我們從多元表征的視角來看，情況就不一樣了，動作、圖畫、言語、符號等表征形式是等量齊觀的，在數(shù)學(xué)上可以被看作不同的語言，而在不同語言之間能否相互轉(zhuǎn)換是判定理解與否和理解程度的一個指標。從這個意義上說，學(xué)生會列式計算以后，還應(yīng)該會畫圖解釋、會操作演示、會言語說明。教師需要有意識地引導(dǎo)學(xué)生多元表征，從而促進更為深刻和牢固的理解。講到算式與圖畫的對應(yīng)，其實還隱含著另一對關(guān)系，即畫法與算法。很顯然，兩者并不等同。算法是計算的方法，畫法是對算法的圖畫表征方法，算法更為本質(zhì)，相同的算法可以有不同的畫法，不同的算法也可以采用相同的畫法。以畫80-23為例，圖21-26是學(xué)生作品，從算法上可以粗略地分為兩類：圖21-23為一類，屬于“點數(shù)shǔ”，從80個或30個一里減去23個一；圖24-26為一類，屬于“退十當(dāng)一”，從8個十里拿出1個十變成10個一，再從7個十里減去2個十，從10個一里減去3個一。同為“點數(shù)”算法，圖21、22、23的畫法各不相同；同為“退一當(dāng)十”算法，圖24、25、26的畫法也各不相同。我們鼓勵學(xué)生用自己的方法畫計算，允