2022-2023學(xué)年河北省衡水市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省衡水市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z∣=2+i,Z2=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則z=z∣.Z2的在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)得乘法運(yùn)算，得出Z即可求解.

【詳解】復(fù)數(shù)z∣=2+i,Z2=l-2i,則z=z∣?Z2=(2+i)(l-2i)=2+2+(l-4)i=4-3i,Z在復(fù)平面內(nèi)的

對應(yīng)點(diǎn)(4,-3)位于第四象限.

故選：D.

2.在一ABC中，若kH=∣AC∣=∣AB-AC∣,則C的形狀為()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的減法法則可得∣A8-AC∣=∣CB∣,由三邊相等關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】因為卜@=|ACl=k8-AC∣,

所以,@=卜4=「4,

所以.ABC為等邊三角形.

故選：A

3.已知向量e∣,/不共線，實(shí)數(shù)X，y滿(3x-4y)q+(2x-3y)/=&I+3弓，貝!|工一)的值是()

A.3B.-3C.0D.2

【答案】A

,?[3x-4y=6,

【解析】根據(jù)向量Cl,與不共線可得'/Q

IZΛ,-3y=3,

3x-4y=6,

【詳解】由題意得解得χ-y=3.

2x-3y=3,

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題。

4.將12根長度相同的小木棍通過粘合端點(diǎn)的方式(不可折斷)，不可能拼成().

A.正三棱柱B.正四棱錐C.正四棱柱D.正六棱錐

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.

【詳解】正三棱柱中9條棱長度可以完全相同，故A成立；

正四棱錐中5條棱長度可以完全相同，故B成立；

正四三棱柱中12條棱長度可以完全相同，故C成立；

因為正六邊形的中心到六個頂點(diǎn)的距離都等于邊長，

所以正六棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，故D不成立；

故選：D.

5.已知向量α=(x-l,2),6=(2,4),則“a與》夾角為銳角”是“χ>-3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】首先求0與b夾角為銳角時，X的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，判斷選項.

【詳解】當(dāng)。力=2(X-I)+2x4>0,解得：x>-3,

且當(dāng)a∕∕b時，4(x-l)-4=0,解得：x=2,

所以與匕夾角為銳角時，X的取值范圍是x>-3且xx2,

所以與b夾角為銳角”是“x>-3”的充分不必要條件.

故選：A

6.如圖，圓臺上底面半徑為3,下底面半徑為5,若一個平行于底面的平面沿著該圓臺母線的中點(diǎn)

將此圓臺分為上下兩個圓臺，設(shè)該平面上方的圓臺側(cè)面積為R,下方的圓臺側(cè)面積為52,則$：52=

()

A.9:25B.9:16C.7:9D.16:25

【答案】C

【分析】作出截面圖形，求出截面圓半徑，設(shè)出上下方圓臺的母線長，根據(jù)圓臺側(cè)面積公式即可解

得.

如圖為圓臺的截面圖形，截面圓圓心為0,半徑為r,則r=三=4,/為上下方圓臺的母線長，則

5,=τ(3+4)∕=7R,S?=萬(4+5)/=96,/.5,:5,=7:9

故選：C.

21

7.已知A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)0）,KOA=mOB+2n0C（m>0,n>0）,則一+一的

tnn

最小值為（）

A.10B.9C.8D.4

【答案】C

【分析】先根據(jù)三點(diǎn)共線，求出〃z+2n=l,利用基本不等式求最值.

【詳解】因為A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O）,SLOA=mOB+2nOC（m>0,n>0）,

所以"?+2〃=1

2+++2鼠）=4+例+二≥4+24=8

mn?mnJmn

當(dāng)月.僅當(dāng)4竺/7二m',即I加I；時等號成立.

mn24

故選：C

【點(diǎn)睛】（1）A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O）,且04=20B+"OC,則有2+〃=1；

（2）利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等“：

①“一正”就是各項必須為正數(shù)；

②“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把

構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

③“三相等''是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不

是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

ab

8.規(guī)定=ad-bc,若在復(fù)平面上的三個點(diǎn)A,B,C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)O,?,zi,其中Z滿足

ca

z1—i

lψi1)，貝LABC的面積為()

255

A.25B.—C.5D.-

22

【答案】D

【分析】根據(jù)行列式的計算可得z=2+i,由此可得三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及三條邊的長度，推斷

出一A3C是等腰直角三角形，最后由面積公式求解即可.

【詳解】解：由題意得z-(l+i)(l-i)=i,

.?.z=2+i,?,?zi=(2÷i)i=-l÷2i,

ΛA(0,0),6(2,1),C(T2),

.?.∣AB∣=√5,∣ΛC∣=√5,IBCI=M,

222

ΛI(xiàn)ABI+∣AC∣=∣BC∣,即AABC是等腰直角三角形，

.?.JlBC的面積S=gχ>Λχ召=|.

故選：D

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)Z=二，貝U()

1-1

A.z2M是純虛數(shù)B.若IzI-Zl=1,則㈤的最大值是2

C.Z的共聊復(fù)數(shù)為_iD.復(fù)數(shù)5+z.i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

【答案】ABC

【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡z,結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和幾何意義依次分析選項即可.

【詳解】解：z=*=喏==7子不)，

1-17(lr-ι)(l+ι)1+(-1)

505

,z≡>=i≡'=(i*).i=i,是純虛數(shù)，故A正確；

若∣z∣τ∣=l,即區(qū)-i∣=l,則Zl所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓，

則IZIl的最大值是2,故B正確；

Z的共規(guī)復(fù)數(shù)為-i,故C正確；

z+z?i=-i+i?i=-l-i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(TT),在第三象限，故O錯誤.

故選：ABC.

10.已知向量”=(2,l),/?=(1,-1),c=(m-2,τz),e向量是與〃方向相同的單位向量，其中加，n

均為正數(shù)，且(α-6)∕∕c,下列說法正確的是()

A.α與人的夾角為鈍角B.向量α在8方向上的投影向量為We

C.2%+/=4D.的最大值為2

【答案】CD

【分析】由數(shù)量積的符號可判斷A；根據(jù)投影定義直接計算可判斷B；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可

判斷C；由基本不等式結(jié)合(αC可判斷D.

【詳解】對于A,向量。=(2,1),?=(1,-1),則α^=2-l=l>0,則。力的夾角為銳角，錯誤;

ab√2

對于B,向量α=(2,1),6=(1,-1),則向量〃在b方向上的投影為W=T，錯誤；

對于C向量a=(2,I),b={?,T),則〃一匕=(I,2),若("％)〃，，則(-〃)=2(〃?-2),變形

可得2根+〃=4,正確；

對于D,由C的結(jié)論，2"?+〃=4,而，"均為正數(shù)，則有〃?〃=，"(4-2〃?)=-2[(加-Iy-1],當(dāng)根=1,

〃=2時，有最大值2,正確；

故選：CD.

11.在58C中，角A,β,C的對邊分別是。，b,c,則能確定B為鈍角的是()

A.sin2A+sin2C>sin2BB.AB-BC<0

C

C.—<COSAD.0<tanAtanC<1

b

【答案】CD

【分析】結(jié)合正弦定理、余弦定理、向量運(yùn)算、三角恒等變換確定正確選項.

【詳解】A選項，由正弦定理得42+c2>∕ΛcosB=空/H>0nB為銳角.

2ac

B選項，Aβ?βC=∣Aβ∣?∣BC∣?cos(?-B)=-∣AB∣?∣BC∣?cosβ<0,cosB>0=>3為銳角.

222

C選項，由余弦定理得￡<生土士互，c+a<b,COSB=一+c、"<0n8為鈍角.

b2bc2ac

D選項，OvtanAtanCcl,0<嗎嗎;<1,由于三角形中，最多只有一個鈍角，所以

COSACOSC

cosA>O,cosC>0,則sinAsinC<cosAcosC,∞s(A+C)>O,即一COSB>O,cosB<0,B為鈍角.

故選：CD

12.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖.其平面圖形記為圖2中的正八邊形

ABCDEFGH,其中OA=ι,

C.AECGD.∣OA-OC∣=√2

【答案】CD

【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知每個中心角為45°、ACHHD,結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可判斷AB；

根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0即可判斷C；根據(jù)直角三角形和向量的線性運(yùn)算即可判斷D.

【詳解】A：正八邊形ABCO瓦G”被分成8個全等的等腰三角形，

所以每個中心角為幽=45°,由正八邊形的性質(zhì)可知ACHHD,

8

設(shè)。4=1,則HQ=2,4C=0,所以AB+BC=AC=也HZ),故A錯誤；

2

在正方形OAPC中，OA+OC=OP,OP=歷OB=-五OF,

所以O(shè)A+OC=-應(yīng)OF，故B錯誤;

C：由OE_LOC,得OE?OC=0,

所以AE?CG=(20E)?(20C)=4(0EOC)=0,故C正確；

D：如圖，在/OC中，由O4J?OC,OA=OC=],得AC=虛,

所以一Ocl=Ial=√Σ,故D正確.

故選：CD.

三、填空題

13.如圖所示，平行四邊形O'P'Q'R'是四邊形。PQR的直觀圖，若OTy=3,OR=I,則原四邊形

OPQR的周長為.

【答案】10

【分析】利用直觀圖反推原圖形，易知其為矩形，進(jìn)而易求其周長.

【詳解】由四邊形。PQR的直觀圖可知該四邊形是矩形，

如圖，月.OP=OTy=3,OR=IOR=2,

所以原四邊形OPQR的周長為2χ（3+2）=10.

故答案為：10.

14.把一個半徑為R的實(shí)心鐵球鑄成三個小球（不計損耗），三個小球的體積之比為1：3：4,其

中最小球的半徑為.

1R

【答案】r=-R∕r=-

【分析】求出小球與原來球的體積的比值，即可求解

【詳解】原球的體積為最R3,

把一個半徑為R的實(shí)心鐵球鑄成三個小球（不計損耗），三個小球的體積之比為1：3：4,

1Arr

則最小球的體積為:、9出,

o3

設(shè)最小球的半徑為小可得,

3o?

所以r=]R,

故答案為：r=^R

15.已知“∕=16,e是與〃方向相同的單位向量，若“在人上的投影向量為4e,則W=.

【答案】4

【分析】根據(jù)投影向量公式求得結(jié)果即可.

ab16.

【詳解】。在6上的投影向量為Me=We=4e,

所以W=4.

故答案為：4.

16.已知向量a=（l,sin，）,6=（l,cos。），則卜-匕|的最大值為.

【答案】√2

【分析】求出“-6=（0,sin。-COS0）,可得m-N=Jl-Sin26,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出答案.

【詳解】〃一b=（O,sin，一COSe）,

Λ?cι-?∣=J（Sin夕-CoS6）?=JI-Sin26,

則當(dāng)sin26=-1時，卜叫取最大值忘.

故答案為：-Jl-

四、解答題

17.已知AB=（-1,3）,BC=（3,優(yōu)）,C。=（1,〃）,A0〃BC.

（1）求實(shí)數(shù)W的值；

（2）若AC_LB￡＞，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【答案】（1）W=—3；（2）m=±?.

【詳解】試題分析：ɑ）利用向量的//品，建立關(guān)于"的方程，即可求解〃的值；（2）寫出向

量AC,B。的坐標(biāo)，利用ACJ.B。得出關(guān)于機(jī)的方程，即可求解實(shí)數(shù)，〃的值.

試題解析：(1)AB=(-1,3),BC=(3,m),CD=(1,n),

.*.AD=AB+BC+CD=(3,3+∕π+π),

AD//BC

:.3(3+m+ri)—3m—O

.?.n=—3

(2)由(1)得

CD=(1,-3),AC=AB+BC=(2,3^-加)，BD=BC+CD=(4,∕n-3)

AClBD所以8+(3+w)(3-∕n)=0,.?.ZM=±1

【解析】向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

18.設(shè)復(fù)數(shù)Zl=X+2i,z2=?+2yi,其中x,yeR,且復(fù)數(shù)4,4所對應(yīng)的點(diǎn)都在復(fù)平面第一象限內(nèi)

⑴若團(tuán)=同=3,求實(shí)數(shù)χ,y的值；

⑵設(shè)4,Z2所對應(yīng)的向量為OZl,OZ?,若與0%共線，求2x+y的最小值.

【答案】⑴X=底y=8

(2)2√2

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.

(2)由復(fù)數(shù)的幾何意義以及基本不等式即可求解.

【詳解】(1)Zl=X+2i,Zz=l+2M對應(yīng)的點(diǎn)分別為(x,2),(l,2y),且x>O,y>O,由㈤=%∣=3

可得：X2+4=9,l+4y2=9,故x=7?,y=0.

(2)OZ∣=(x,2),OZ?=(l,2y),0Z∣與OZ?共線，所以D=1,由基本不等式可得：2x+”2匹=2√Σ,

當(dāng)且僅當(dāng)X=曰,y=應(yīng)取等號.所以2x+y的最小值為2√Σ

19.在一4?C中，α,6,c是角AB,C所對的邊，+b2-c2=ab

(1)求角C的大?。?/p>

⑵設(shè)向量α=(2sinA,l),向量匕=卜。sC,j,且向量α,b共線，判斷JWC的形狀.

【答案】(嗚

(2)直角三角形

【分析】(1)利用余弦定理可求CoSC=g,結(jié)合三角形性質(zhì)可得角C的大??；

TT

(2)根據(jù)向量共線得出角A=z,進(jìn)而可以判斷三角形的形狀.

O

2,12_21

【詳解】(1)因為必，所以CoSC=巴zy士之二J=L;

Iah2

因為C∈(0,π),所以C=g；

(2)因為d=(2si∏A,l),6=卜0$。,；)共線，所以SinA=CoSC=；,

冗

所以A=^Jr或A=5?(舍)；

66

TTTT

當(dāng)A=Z時，B=-,所以一ABC為直角三角形.

62

20.如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的直徑為8cm,圓柱筒高

(2)要在這樣的3000個“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠多少克?

【答案】(1)—^兀CnT'

(2)26400?？?/p>

【分析】(1)由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；

(2)由球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求解出一個的表面積，然后乘以3000得總面積，按照

規(guī)定再乘以01即可解決問題.

【詳解】(1)由題意得該幾何體由兩個半球和一個圓柱筒組成，

所以體積為一個球體體積和一個圓柱體積之和，

44756

由球體的體積為：?=-πΛ3=-π×43=^-πcm?

圓柱體積為：?=π7?2?Λ=π×42×3=48πcm3,

所以浮球的體積為：V=K+%=竽π+48τt=竿πc∏√.

222

(2)上下半球的表面積：Sl=4πΛ=4π×4=64πcm,

圓柱側(cè)面積：S?=2πR∕z=2兀χ4x3=24ncr∏2,

所以，1個浮球的表面積為S=64τt+247t=88ιrcm2,

3000個浮球的表面積為：3000×88π=26400()πcm2,

因此每平方厘米需要涂膠0」克，

共需膠264000π×0.1=264OOπ克.

21.如圖，在菱形ABC。中，BE=^BC,CF=2FD.

⑴若EF="B+y">,求3x+2y的值：

(2)若IABI=6,ZBAD=60。,求ACEE

【答案】(I)-I

(2)-9

1,2

【分析】(1)由題意可知M=/A§A8,即可求解；

12

(2)AC=AB+ADr從而AC?政=(48+4。)-(54。-543)即可求解.

【詳解】(1)因為在菱形ABCD中，BE=?C,CF=2FD.

12

^EF=^EC+CF=-AD--AB,

23

21

故