2023年江蘇省無(wú)錫市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考預(yù)測(cè)試題(含答案帶解析)

2023年江蘇省無(wú)錫市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考預(yù)測(cè)試題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

1

設(shè)N=xy2+e?.HJ??-=.

1?x?y

2.

已知f(x)=e?"則J∕(κ)d”等于(),

Λ.-e+aretanx+CB.-?e'5*÷arctan?+C

C-2e'1?+-?-ln(?+x1)+cθ?-ye*2^+yln(l+*1)+c

設(shè)，(X)的一個(gè)原函數(shù)是(x+l)sinx,則//(X-DdX=

A.sinlB.-SinlC.OD.1

3.

4.

下列定積分的值等于。的是

x

A.∫1ι(e-e^*)dxB.J：xe"dx

212

C.∫'xln(l+x)dx∫?Xcosxdr

5.函數(shù)y=χ3+12x+l在定義域內(nèi)

A?A?單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.圖形為凸D.圖形為凹

*dr()

D1

6.A-IBOC3

7.設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,則Jf(X)dx=。

A.A.xlnx+CB.xlnxC.l+Inx+CD.(l∕2)ln2x+C

8.

下列函數(shù)為同一函數(shù)的是

A./(x)=Inx2,g(x)=21nx

2

B.?(?)=xtg(x)=(√x)

C./(x)=x,g(x)=x(sec2x-tan2x)

D./(x)=∣x∣,g(x)=√Tr

9.

設(shè)人工）=：工3一工,則H=I是人工）在［-2,21上的

A.極小值點(diǎn)，但不是最小值點(diǎn)

B.極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)

C.極大值點(diǎn)，但不是鍛大值點(diǎn)

D.極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

10設(shè)/(7)=Xw,冰笛以吟產(chǎn)等于(A.2(x-y)B,2(x+y)C,4D,2

11.

1呼的連續(xù)區(qū)間是

函數(shù)/Cr)=(

2xl≤x≤3

A.[1,3]B.[0,DU(l,3]

C[O,1)D.[0,3]

J2函數(shù)∕<?r)=?1匕點(diǎn)處切線斜率為3.

13.a*y??+??則廣

OO

32

A.

設(shè)人力是連續(xù)函數(shù).則Q)CLr-[

?(ɑ+6—Jr)CLr等于

A.O

B.1

C.a+b

D

14.U?

設(shè)/CO=Xμ+α"+ln0,(a>0Ka≠?的常數(shù))，則/‘⑴=

A.o(l÷lnα)B.ɑ(l-lnɑ)C.a?naD.。+一

15.

16段”，)為連續(xù)的?∣?*數(shù)NH?)=也.》IF(T)等J-)

A.A.F(x)B.-F(x)C.0D.2F(x)

已知函數(shù)/⑶在x=2處可導(dǎo)，且如空喑皿4則"2)=

18.

袋中有.5個(gè)乒乓球，其中4個(gè)白球，1個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球的不可能事件是

A.{2個(gè)球都是白球}B.{2個(gè)球都是紅球}

C.{2個(gè)球中至少有1個(gè)白球}D.{2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}

19.當(dāng)x→0時(shí)，下列變量是無(wú)窮小量的是【】

A.sinx/xB.In∣x∣C.x∕(l+x)D.cotx

20.

/ex?4VO

若函數(shù)八工)=,、八在H=O處可導(dǎo)，則α,b值必為

Ia~~OJC9>xN0

A.α=6=-1B.a=-1,6=1

C.a=l,6=-1D.a=6=1

21.

設(shè)，(公=4"工3一N,則X=I是/(H)在［-2,2］上的

A.極小值點(diǎn)，但不是最小值點(diǎn)

B.極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)

C.極大值點(diǎn)，但不是最大值點(diǎn)

D.極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

設(shè)函數(shù)Z=C<?(x+)2),則［/等于().

22.?x?r

A.-2ycos(x+y2)

B.-2ysin(x+y2)

C.2ycos(x+y2)

D.2ysin(x+y2)

設(shè)函數(shù)二=e+，則當(dāng)g)=

23.'Oo

A.2e2B.4e2C.e2D.0

設(shè)則由?()

24A.^ιiye'drdyB.x2r^(3dr+Zxydy)C.h1e'drD.dy

設(shè)/(x+%D)=3,則駕3+駕3

25xy?x?y

A.A.x+y

1÷X

B.y

?X

-÷-

c√)'

L-L

D.yy'

26.

W汽?t9：與函較/，的圖像如圖3I所示.則在

-x.-工內(nèi)∕r)的單調(diào)遞增區(qū)間是().

Λ.-X.-J)B.(-?.0)

C.tθ.l)D.(-I,+X)

已知y=*,則y'=

27.XOo

COSX

-COSX

B.2%

XCOSX-2sinX

C./

XCoSX+2SinX

設(shè)A與B為互不相容事件，則下列等式正確的是()

A.，(AB)=I

B.P(yW)^O

C.I?ΛB)P(A)P(Li)

28D?P(AB)-P(A)-IP(B)

曲線y=jrsin;()

A.僅有水平漸近線BBl有水平漸近線又有留直漸近線

29.C.僅有蛤直漸近線D.既無(wú)水平漸近線又無(wú)船直漸近線

設(shè)函數(shù)/(X)=-L+3CoSX,則/'(X)=

30.4

-----L+3sinx

A.A.2√?

-----Lr-38inx

B.2√xj

?v?÷3sinx

C.2

?v?-3sinx

2

D.

二、填空題(30題)

設(shè)/(，)=帆(含J,則/，(/)=______.

???

點(diǎn)‘-I)”,。%在Z=O點(diǎn)極限存在則ɑ

已知函數(shù)/Cr)=

32.τ^a(x<01

34.J:√Γθ6J7

35.?;f'(sinx)=cos2x,貝IJf(X)=

36.

點(diǎn)?r=0是函數(shù)y=-?-?一的

A.連續(xù)點(diǎn)B.可去向斷點(diǎn)

C.跳躍間斷屈I).第二類間斷點(diǎn)

37.

設(shè)Z=ln[1χy+In(Ny)],則受

??dx

1y∕x(l+x)

已知/(x-y,xy)=χ2+y2-Xy,則?f(x,y)ι?f(x,y)

-7CoS—dx=

λλ設(shè)/(%)=[arctan√7dz(%>0),則/'(1)=________

42?Jo

43.

極限IimJC≡

，-e?+er

44.設(shè)函數(shù)y=x11+2n,則y(m(l)=。

45.

曲線y=2x2+3x-26上點(diǎn)M處的切線斜率是15,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是_

f?I1

ZlN若[(ZBin'x+2αχT)d%=5,則O=______.

4θ?J-15

設(shè)y=e2arccosj,貝I」y'=

47.?r=°

設(shè)Z=“Inv,而U=COSx,v=cx,則蟲=_____________

48.dx

49.

Iim(I+且嚴(yán)=e,則k=________.

Jg→CBJC

50.

設(shè)f(H)在點(diǎn)X=O處可導(dǎo)，且/(0)=0,則】而瓜2=________.

x-*0X

如果b>O,且∫*lnxdx=1,則b=，

51.

52.

?sin,jr≠0,

若函數(shù)八公=H在/=O處連續(xù)，則。=

UfX=O

C.-1D?

A.0B.1

f2x+IXW0,

53已知〃?。藙t/(OW

x>0.

54.

設(shè)y=ln(x*÷l)÷sin^,則,'=.

,L4WirccttrdLr=

55.

56.曲線y=x+ex在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率k=

57.

從0,1,2,345共六個(gè)數(shù)字中,任取3個(gè)數(shù)組成數(shù)字不重復(fù)的3位奇數(shù)的概率是一

1∏./4/

`—,?∣H/\

59.

60.

設(shè)Z=>則dz=

三、計(jì)算題（30題）

61.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶（如圖所示），其周長(zhǎng)為

12m,為使窗戶的面積A達(dá)到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少？

*?[?-TTTj-

63求微分方程2,"+5y'=5H'-2JΓ-1的通解.

64.求極限懺等

求極限Iimg二

65.sin?

計(jì)算定積分cos,Jsir‰rcLr.

66.

求不定積分17Γ?Tdx?

67.

求極限J.

68.

求不定不分/,」.一；

69.J?Jl+/

?求不定積分〉sin?dr.

711

71.求解微分方程TnJdy+(y-ku?)<Lr=0滿足條件Me)=1的特解.

?=r—ln(1÷f*)?>*

巳知函數(shù)工-/y)由參數(shù)方程《確定.求fτ?

72.y=arctan∕y

73.求微分方程-*yv,=1一d的通解.

74求1s?n(ln?)d?.

76設(shè)函數(shù)y=y(?r)由方程y=(l∏χ>?χhu確定,求'?

求極限Iim(J-L).

77.??ιIiu/-I

79.

計(jì)算二重積分/=『(工：+/+3y)<Lrdy,其中D=((j?.y)I?*÷√≤αj.?≥01.

求不定積分

80.

8］設(shè)Z=UV+si∏z?而“=IE=CO".求去.

“Ndy,其中。為Bl環(huán)區(qū)域：［≤∕+y≤4.

82.

83計(jì)算二次積分CM:答此

求極限Iim八十工）c二

84.

85.求IIt分方程??*÷5J?-5√-O的通解.

86.已知X=-I是函數(shù)f（x）=aχ3+bχ2的駐點(diǎn)，且曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)（1，5）,

求a,b的值.

87.求M∣an<ryz）的全微分.

設(shè)函數(shù)y=THlVn?求y

88.x+4x÷3

計(jì)算二重積分［（/+y）dxdy,其中D為曲線y=/與1/所用成的區(qū)域.

89.

改變積分Jd-??/(j?.y)dy+?d??'〃工,Wdv的積分次序.

90.

四、綜合題（10題）

91.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當(dāng)月相金定為2000元時(shí),公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100兀時(shí)?就會(huì)多一套公宜租不出去,而租出去的公宜每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi).試問(wèn)租金定為多少可獲得最大收入？般大收入是多少？

C,求由曲線了=r?4與y=所Bl成的平面圖形的面積?

92.

求函數(shù)"幻=t-?∣?∕+：的單?IM澗和極值.

y?*

94.

設(shè)八H)在區(qū)間［α.6］上可導(dǎo)，且/Q)=/(6)=0.證明：至少存在一點(diǎn)WSQ,6),使得

/($)+3ξ,∕(f)=0.

95.i寸論函數(shù)Kr)-3J?的單調(diào)性?

證明：方程］臺(tái)山=志在(0.D內(nèi)恰有_實(shí)根.

97證明：當(dāng)工》。時(shí).∣n(l十號(hào)喏?

求函數(shù)y=「(，-Dα-2>dr的單調(diào)區(qū)間及極值.

2(r—1)

99*明：當(dāng)XJl時(shí)?3，?,■^,

100.

過(guò)曲線YK/(工。0)上某點(diǎn)A作切線.若過(guò)點(diǎn)A作的切線.曲線yY/及?軸圍成

的圖形面積為求該圖形繞，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體枳V.

五、解答題(10題)

設(shè)由/+/+2x-2>z=e；確定z=z(x,?),求生，—.

t

102.（本題滿分8分）計(jì)算∫（tan*+?）dx.

103.

甲乙兩人獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊,甲乙兩人擊中目標(biāo)的概率分別為0?8與0,.兩人各射擊

一次,求至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

104.（本題滿分8分）一枚5分硬幣，連續(xù)拋擲3次，求“至少有1次國(guó)徽

向上”的概率.

105.

求由方程［∕dz+￡zdz+∫θCOSZdZ=0所確定的隱函數(shù)N=/（工,山的全微分也.

106.

〔W三TIO分）當(dāng)X*Q時(shí).證明：e'>1+x.

107已知Iy=尸"+arcs噬+ln(z-51求力.

108.設(shè)函數(shù)y=lncosx+lnα,求dy/dx。

求極限Iirn'J叫"1

AAOln(1+?)

109.

110.

計(jì)算jχ2Inxd工

六、單選題(0題)

111.

sin2x.C

-------9?≠0?

設(shè)函數(shù)/(?r)=<x在Z=O處連續(xù)，則α=

。,?=0

A.-lB.lC.2D.3

參考答案

2y-----??e?(.y÷x)2y-----(>÷?)

1.y^y

2.D

答S3D.

分析，工葷壹三記；—???-T-^Λ'√τtW?.

因?yàn)?x∣xe?-≡??-r.

1*xβ

斫。j/(?)d-t=J(e5/dX=-?e：，+皿」+C.

所以選D.

［解析］由原函數(shù)的定義可得J∕(x)dx=(x+l)sinx+C

貝IJ∫θ∕(Λ-l)dx=∫θ∕(Λ-l)d(x-l)=xsin(x-l)∣θ=0

J?Lz

4.C解析：

因?yàn)橹挥羞x項(xiàng)C中的被積函數(shù)Xln(I+，)是奇函數(shù)

5.A

函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+∞)o

因?yàn)閥'=3χ2+12>0,

所以y單調(diào)增加，χ∈(-∞,+∞)o

又y"=6x,

當(dāng)x>0時(shí)，y,'>0,曲線為凹；當(dāng)XVo時(shí)，y,'<0,曲線為凸。

故選A。

6.C

7.A

∫∕(x)dx=∕(x)+C=xlnx+C.

8.D

9.B

we/解析)因?yàn)轳{出+更?M?=2"2人故選B.

10.Baχ?y

11.B

12(1-1)和(U)GI,4)和(1,1)

13.B

z=?+?),=^7-??

14.A

［解析］ff(x)≈(xaY+(axY+(?nay=axa~'+ax?na

所以/'(I)=α+"lnα=α(l+lna),選A.

15.A

16.B

【提示】利用〃T)?/U)及F(r)?(7θ)曲.作變It代快，?-?.蚓

F(-1)■?/(-M)d(-?)■-J/(■)<!??-F(*),

所以吩造B.

［解析］根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式可知

Hmf(2+2-0“⑵」

z→o?x2

/(2),=7

17.A4

18.B

［解析1袋中只有1個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球都是紅球是不可能發(fā)生的.

19.C經(jīng)實(shí)際計(jì)算及無(wú)窮小量定義知應(yīng)選

Iim=1?limlnI?|=-8Jimτ-γ-=OJimcoLr=8.

x→0Xx-?0r-?Q1I?x→0

20.C

21.B

22.A

23.C

?z2

0.2)=e

24.B

25.D

設(shè)r+}^=w.xy=v,則/(M,v)=—,即/Cr,Iy)=V,所以

Vy

y(x,?)ι?f(x,y)_1x

?x?yyy2

26.D

答應(yīng)選D.

分析本版考杳的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)/'(x)的圖像來(lái)確定函數(shù)曲般的單網(wǎng)區(qū)間.

因?yàn)樵赬軸上方/'(x)>0.而/'(X)>0的區(qū)間為/(*)的單詡遞增區(qū)間,所以選I).

27.C

,,(sinx),?Λ2-sinx?(x2/xcosx-2sinx

因rr1為j>'=-——----j?——JL=-----------i----------

"2)2必

28.B

29.A

30.B

患

/Xx)=(9+3CoSXM—+32=--3sinx.

l+2∕/

32.1

33.

ln∣z+cosx∣+C

34.2/27

∫'-7=?==dr-['(-±).-?dr=-?['七空'業(yè)一!『√iθ→7dz+

,

JT∕1O_6?rJT、6VzK)-fi?6JT√1O-6X6JT

τΓ,√f?一一±∫'ι[-±(∣0-6r)4]d(10-6j)÷乳E春(IoiTklO-6幻=表X

-?(lθ-e?)?I-∣∣×2(lO-6τ)Tj-^×(8-64)--∣-×(2-4)=?.

注：，題可另解*■下：令，10—6*=八則H=~?<↑0-t,).

I

-O

6

所以[->,.?'-?t??H?∫?ιo->>Λ≡?(l<x-y<,)-?×

JT>∕10—6JTl

8\2

O十1

一64

3-一

203/

?27

36.C

37.2

38.1/2

π

~2

[解析]??~-L產(chǎn)~r=2∫~—d%2=2arclanjx?^=2--=—

I。Jl√7(l+x)j'l+(4)21'42

40.2x+12x+l解析

因?yàn)閒(x-yfΛ,V)=X2+y2-xy=(x-y)2+x>,

所以〃2)=∕+y則監(jiān)Rf駕。2=21

σxσy

41.

Jft-βin—+C.

??eos-dx=-?eos---d^?j=-sin-÷C.

42.應(yīng)填

π÷4.

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求變上限積分的導(dǎo)數(shù)值.其關(guān)鍵是先求/'（》），再將彳=1代

ΛT（χ）?

因?yàn)?（X）=arctan后,所以/⑴=

4

43.D

44.

45.(31)

(3,1)

因?yàn)椤?4x+3=15

解得X=3又M3)=2X32+3X3-26=1

故點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)是(3,1)

46.

被枳函數(shù)中的xsin'X是奇函數(shù),而2α∕是偶函數(shù).則有

【解析】

(xsin*X÷2OΛ,)dx

所以α=4^?

4

由"=e2"3.2--1.?y=一2e"

47.-2eπ

cosx-xsinx

［解析］方法一

dz?zdu?zdv...u

—=--------+ι—-------=lnv(-sιnx)+i-?ex

dx?udx?vdxv

.,,COSX

-s?nxIne+--e--x--=-xsinx+cosx

ex

方法二

將U=CoSX,V=ejt代入Z=UlnV中，得

Z=Cosxlnex=xcosx

則——=COSx-XSinx

48.dx

49.1/2

50.

51.e

52.D

53.

因?yàn)?(0)=(2z+l)I…=I

54.

2〃

(1-CoSy)(x2+1)

55.1/4

56.2.因?yàn)閥=l+ex,所以k=y<0)=2.

57.

58.

-C—r?-----COtr+C—r?-----cotjc+C

59.sin?lsin?

60.

(??lx-xdv)

Ixy2

因?yàn)??1.Jr=√Ξ

Gx√y2√x2xy

所以dz=牛心+'孫=招"-票dy=掾他-Xdy)

61.

窗戶的面積4=∕∕ι+".

3

/和人滿足2∕ι+3∕=12,得A=6-51,代人4,則有

人6/-#+亨九

孽=6-31+苧30.

m,-4(6÷√3)

付I----?

由于實(shí)際問(wèn)題只有唯一的駐點(diǎn)，可知/="q①?(m)為所求

2—(Jc2—z+l)2-(1-1÷1)1

原式=Iim

62.一1χ3÷lP^÷l~2,

j2-(l-l÷l)1

原式二Iim2i?+D

Ll?-f-1ι3÷ιT

63.

與原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為

2yf+5y'=0,

特征方程為

2rτ+5r=0?

故

?5

rl≡O(shè)trf≡-??

于是

y≈Ci÷C1eR

為齊次線性方程的通解.

而5》-2］一?中的AnO為單一特征根.故可設(shè)

y,≈?(?r?+fir+C)

為

2∕+5√=5J1-2J-1

的一個(gè)特解,于是有?

(y?)'=3Ar1+2Hr+C,(>*)*=6Ar+2B.

知

2(6Ar+2B)+5(3Ar,+2fir+C)=5JI-2J-1.

即

15Λri÷(12A+1OB)X÷4B+5C=5α?,-2J-1.

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B÷5C=-1.

于是

A?U3λ,7

A=τ,B=-y,C≡-

所以

??13?7”

>=T~T÷215

為

2y"+5y'=SJT2—Zx

的一個(gè)特餅,因此原方程的通郵為

y≡=Cl+CjC'+=+if'G?C'為任意常數(shù)）,

與原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為

2><+5y'=0?

特征方程為

2r*+5r=0,

于是

ifl

>=C∣+Cte

為齊次線性方程的通解.

而5)-2]-1中的a=0為單一特征根.故可設(shè)

y,=j(Ar,÷fir+C)

為

2y+5y,=5xl-2J-1

的一個(gè)特解,于是有

(y?)'=3Ar1+2Hr+C.(y,)*=6Ar+2B.

知

2(6Ar+2B)+5(3Arj÷2Hr+C)=5JT1-2J-1.

即

15Arl+(]2Λ+1OB)J-+4B+5C=5〉-2J-1,

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B÷5C?=-1.

于是

所以

2y,+5y,=5x,—ZZ-I

的一個(gè)特解,因此原方程的通解為

>=Cj+C,e'+W—+?Cj為任意常數(shù)

sin?

Iimtanj=Iim≡Iim?Iim—?-=1X1

SinJ

∣.tan?∣.eos?∣.SinX∣.1.

Iim------=Itm------=Iim-------?Iim-------=I1Xvl=I.

jyX>→o?Λ-*O??-MICOSX

Iim=W=IimjLT〉iim=≤≡hm-'7)

，-Q?inx-?#-<iJHn?-?，一°^ιttr-?.…SIrLr-?

,??L,_?.?βLj∣_\

≡Iim‰---------?&Iim------------

■?osin?-?“7sin?一?

=Iim?ΞΞZ=1.=Iim=

65.**osin?jc,?osin?一?

設(shè)U=cθλr?則du=—sin?d?t當(dāng)J?！?O時(shí)"≡=ls當(dāng)JrnT時(shí)，”一。

:?原式-IMdU=-γI一;.

66.Jl4L4

設(shè)“二CORJ,則d“=-SiTLrcLr■當(dāng)Jr=O時(shí)u≡≡11當(dāng)Jr=B?時(shí)?u=0

：?原式一-jM3Jw=_-I—

67.

解法一3第一換元積分法

1

原式=M—Jrd(I+/)=:[<l÷-r)-ldu4.j.t)

2J(1+χ,)t2J(l+χ*)÷

?-?-?[(l+x*)^+-(1+x,)^÷]d(l+J,)

√T+X?！耞_1+C

√Γ+7r1

解法二I第二換元積分法

原式」令甯?sec'冏

fsir?，

Jcos'r?cos∕d∕

-cos，

d(cos∕)

cos,r

―U-d(cθ5∕)+fd(cos∕)

COSfJ

√l+xr++C.

√Γ+7

解法一：第一換元積分法

原式=M―Jrd(I+/)=:]Id(I+/)

2J(1+/)+2J(l+x*)÷

=?π+/H-(1+x,)^÷]d(l+J,)

√T+7r+_1+c,

√T+7r

解法二，第二換元積分法

令

原式」甯?隧C'疝

汕

≡f?cos/dr

Jcos'/

-co—

d(cos∕)

cos,/

—U-d(co5∕)+Id(cosr)

COSitJ

-------kcosr+C

CO5/

√?！?r÷--?——-÷c.

√Γ+7r

2

2，1+2”..2√74

原式=IimIim,V…,=—

1…√1+2x3

68.2√7

?,八變,同代√Γ÷7r

而+C-----------------+c?

?sec，山

d(sin/)

變.同代√Γ+Jr,

^"?Lr.

l???sin?d?=J.r2d(-eos?)

=-JΓ2eos?+?eos?dr2

=—?2eos?+?z??s?d?

=-jrzeos?+2?dstn?

=-JΓ2eos?+2zsin∕-z?sin?d?

=—x2eos?+2xsinx+2COSJ+C.

“sin?d/=Jx2d(-eos?)

=-jr2eos?+?eos?dr2

=-T2eos?+???eos?d?

=-??eos?÷2XdSinN

=-JrZCOS?÷2jrsin∕-z?siɑrd?

=-x2cosjr+z?sin?+2COSJ+C.

將微分方程改寫為黑+在，T

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

y=e"^J七b[J北“dr+C

=i?(∫Tlnjdj÷c)

-?lnx+?,

將y(e)=1代人.解得C=子.所以特解為

lnr+

y?(??

71.

將微分方程改寫為黑+j?kj

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

lb

y=e~J±[j-Le∕τ?'“dt+C

=i?(∫7lnjdj+c)

1..c

T*nj+i^*

將y(e)=1代人.解得C=：.所以特解為

??(,nx+?)?

由求導(dǎo)公式,得竽U仁In(I+gj,=1Z,T÷7

ay(arctanr)]

f+7

于是.富=g?4N二二i2=2"-1)S+D

ay(arctanz)??1,?

72.Γ+?

由求導(dǎo)公式,得半[，-In(I+()T_I1+J

(arctanr)1-

Γ+7

t一叮

于是.d.r=[(1

d>2(aretan/?口]一八―)W+i).

所給方程是可分離變就方程,先將方程分離變量，得

兩邊積分

Wy=∫?

可得

-∣?yl=—?-?*+InIX1+InICI?

y(x,÷y,)=InICrI.

從而可得χt+J2=ln(Cr)2

73.為原方程的通解.其中c為不等于零的任意常數(shù).

所給方程是可分離變葩方程,先將方程分離變量，得

ydy=與HdJ?,

兩邊積分

可得

另*=--?-?*+InI?1+InICI.

乙LΛ

In1CrI■

從而可得/+y，ln(C?)2

為原方程的通解.其中C為不等于零的任意常數(shù).

sin(ln?)d?=CrSin(Injr川-??dsin(?n?)

=esinl-Jeos(lrvr)d?

=esinl-[?eos(ln?)]+∣?deos(ln?)

esinl-ecosl+l-?Sin(InJ?)cLr.

sin(?n?)d?=—[e(sinl-CoSl)+11.

74.

sin(ln?)d?=[?sin(ln?)]-J?dsin(?n?)

=esinl-?eos(lrvr)d?

=esinl-[?eos(ln?)]+JrdCOS(In?)

=esinl-ecosl÷1—?sin(ln?)d?w

sin(ln?)d?=?[e(sinl-cosl)+1].

令一X=八則當(dāng)”-8時(shí).有I-8?所以

75.

y=[(ln?)3'?jrbu+(ln?),?(”)'

=[e""T?xk,+(ln?)*?(ef

=e*?h,"u'rIn(Inx)+?????].h"+(ln?產(chǎn)?盧'，.2lnz??

≡(lru,)j?「In(lrtr)+xta*+2(lnj)r*1?xta*^l.

76.

y,=[(lru?>*J,?jtα,+(ln?)*?(j-hu)*

=[e*,ta,"u,J,?xhu+(l∏j)r?(eta*O,

%一：Ilnx

?I÷lrtr?1=7"

77.

?t?^?,β?f??≡?τ

'T?~-÷?n?

?

V??—1+?ln?

?I+I∣L+1=I*

用換元積分法.令?r=tan/.則

----------?—d?—-----"--------sec2Zdz

?2?√1+jriJftan"?sect

csc∕?cotfd∕

78.

用換元積分法.令?r=tan/.則

----------d.r—f1------------------------------sec2/dr

?rit?√Γ+JTJftan"?sec/

csc∕?cot∕d∕

由對(duì)稱性知,?l3>dj?dy=0.所以

/=∣Γ(JZ+y2)d?dv

79.M

由對(duì)稱性知43?kdy=0.所以

U

I=l?(?2÷yl)d?d?r=2jdθ[r,dr=--α?

=-2∫(l-?)^

=-2(z-InI1÷/∣)+C

再將/=√3^7代人.修理后得

=-2<√3-J-InI1+√Γr7|)+C.

80.

設(shè)t=√3—j?.則工=3—f*.d?=>-2tdt.

dz

∫iψ‰7=-∫?

?7d∕

≡~2∫(1~τ?)dz

-2(LlnI1÷r∣)÷C

再將t=√3^7代人,整理后得

JT=-2(√3-jr-InI1+√3-x∣)+C.

J1T+√?3—?

dz?zdu.?zdv.?z

dz?zdu.?zdv.?■X3SaκHκ■，-M—r—■--'>?t.

(]/?udf?υd/?td/?uCk?υd/?t

≈υe9—wsin∕+cos/=vel-wsin∕+cos/

=efcos/—ersin∕+cos/=efcos∕-e/sin∕Icos/

81.=et(co>∕sin/)+cos/.=er(cos/-sin/)+cos/.

82.

積分區(qū)域D如圖所示，D的邊界尸+式=l,χj+y

=4用極坐標(biāo)表示分別為r2.故積分區(qū)域D在極坐標(biāo)

系下為

{(r,0)IO≤0≤2π.l≤r≤2},

故

r2cos2flkdr

cos:θdθ?r3dr