2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第38講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）

第38講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．（2020春?道里區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是A．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)可以做出無(wú)數(shù)條母線 B．直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐 C．圓柱的上底面下底面互相平行 D．五棱錐只有五條棱【分析】對(duì)于，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)只能做出1條母線；對(duì)于，直角三角形繞其繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是兩個(gè)圓錐的組合體；對(duì)于，由圓柱的定義得圓柱的上底面、下底面互相平行；對(duì)于，五棱錐有十條棱．【解答】解：對(duì)于，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)只能做出1條母線，故錯(cuò)誤；對(duì)于，直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是兩個(gè)圓錐的組合體，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由圓柱的定義得圓柱的上底面、下底面互相平行，故正確；對(duì)于，五棱錐有十條棱，故錯(cuò)誤．故選：．2．（2020春?秦淮區(qū)期末）底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是A． B．1 C． D．【分析】先求出正三棱柱的底面積，由此能求出正三棱柱的體積．【解答】解：底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是：．故選：．3．（2020春?蘇州期末）已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積為．故選：．4．（2020?天津）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【分析】正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出半徑后，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意，正方體的對(duì)角線就是球的直徑，所以，所以，．故選：．5．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知，，為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓．若的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．【分析】畫(huà)出圖形，利用已知條件求出，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積．【解答】解：由題意可知圖形如圖：的面積為，可得，則，，，外接球的半徑為：，球的表面積：．故選：．6．（2020?濟(jì)南模擬）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．若，則圓柱的表面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形可以得出；代入圓柱的表面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可得：；；故選：．7．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面三角形底邊上的高為，則依題意有：，因此有（負(fù)值舍去）；故選：．8．（2020?永康市模擬）連接正方體各表面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體，則正八面體的體積和正方體的體積之比為A． B． C． D．【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)是1，構(gòu)成的八面體可以看作是由兩個(gè)正四棱錐組成，一個(gè)正四棱錐的高等于正方體棱長(zhǎng)的一半，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)根據(jù)勾股定理可知是，求出正四棱錐的體積，得到正八面體的體積，得到比值．【解答】解：解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)是1，構(gòu)成的八面體可以看作是由兩個(gè)正四棱錐組成，以上面一個(gè)正四棱錐為例，它的高等于正方體棱長(zhǎng)的一半，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)根據(jù)勾股定理可知是，這個(gè)正四棱錐的體積是，構(gòu)成的八面體的體積是，八面體的體積是，正方體體積是，．故選：．9．（2020春?達(dá)州期末）已知三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)都在球上，，，．則球的表面積為A． B． C． D．【分析】先求解出底面外接圓半徑和高，結(jié)合球心在高線上，利用球心到各頂點(diǎn)距離等于球半徑即可求解．進(jìn)一步求出球的表面積．【解答】解：由題知三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)都在球上，故該球?yàn)槿忮F的外接球，在中，，，根據(jù)三角形的外接圓半徑公式，可得的外接圓半徑，因此，三棱錐的外接球半徑，因?yàn)?，所以，故三棱錐的外接球半徑為2，根據(jù)球體的表面積公式，可得球的表面積為．故選：．10．（2020春?臨沂期末）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為，若“牟合方蓋”的體積為18，則正方體的棱長(zhǎng)為A．18 B．6 C．3 D．2【分析】先求出正方體的內(nèi)切球的體積，再求出正方體內(nèi)切球半徑，由此能求出正方體的棱長(zhǎng)．【解答】解：正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為，“牟合方蓋”的體積為18，正方體的內(nèi)切球的體積，設(shè)正方體內(nèi)切球半徑為，則，解得，正方體的棱長(zhǎng)為．故選：．11．（2020春?韶關(guān)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”．現(xiàn)有一鱉臑如圖所示，底面，，，其體積為8，則這個(gè)鱉臑的表面積為A． B．32 C． D．【分析】根據(jù)三棱錐的體積求出的長(zhǎng)，再求出三棱錐的表面積．【解答】解：三棱錐的體積為，所以，所以，又底面，所以，又，所以平面，所以，所以，，所以這個(gè)鱉臑的表面積為．故選：．12．（2020春?菏澤期末）如圖所示，已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，則四棱錐的體積為A． B． C． D．【分析】取中點(diǎn)，連接，求得并證明平面，再由棱錐體積公式求解．【解答】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，三棱柱是正三棱柱，，又正三角形的邊長(zhǎng)為1，．而平面平面，且平面平面，平面，又四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，四棱錐的體積為．故選：．13．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)，，則球的體積為A． B． C． D．【分析】由題意畫(huà)出圖形，證明三棱錐為正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，再由補(bǔ)形法求外接球球的體積．【解答】解：如圖，由，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，可知三棱錐為正三棱錐，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的中心，連接并延長(zhǎng)，交于，則，又，，可得平面，則，，分別是，的中點(diǎn)，，又，即，，得平面，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，把三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為．半徑為，則球的體積為．故選：．14．（多選）（2020春?沈陽(yáng)期末）正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，則下列敘述正確的是A．正三棱錐高為3． B．正三棱錐的斜高為 C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐側(cè)面積為【分析】正三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，取中點(diǎn)，連結(jié)，，過(guò)作平面，交于，由此能求出正三棱錐高、斜高、體積和側(cè)面積．【解答】解：正三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，取中點(diǎn)，連結(jié)，，過(guò)作平面，交于，，，正三棱錐高為：，故正確；正三棱錐的斜高為：，故正確；正三棱錐的體積為：，故錯(cuò)誤；正三棱錐側(cè)面積為：，故錯(cuò)誤．故選：．15．（2020春?湖北期末）棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的表面積為．【分析】將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，正四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【解答】解：將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，正四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，外接球的表面積的值為．故答案為：．16．（2020?海南）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為、的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為．【分析】由題意畫(huà)出圖形，再由等體積法求三棱錐的體積．【解答】解：如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為、的中點(diǎn)，，．故答案為：．17．（2020?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：是．【分析】利用圓錐的側(cè)面積，求出母線長(zhǎng)，求解底面圓的周長(zhǎng)，然后求解底面半徑．【解答】解：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，面積為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，，側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑，則，解得．故答案為：．18．（2019?全國(guó)）已知平面截球的球面所得圓的面積為，到的距離為3，則球的表面積為．【分析】根據(jù)球心到平面的距離結(jié)合球的截面圓性質(zhì)，利用勾股定理算出球半徑的值，再根據(jù)球的表面積公式，可得球的表面積．【解答】解：平面截球的球面所得圓的面積為，則圓的半徑為1，該平面與球心的距離，球半徑．球的表面積．故答案為：．19．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．【分析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體積．【解答】解：因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線切于點(diǎn)，令，由，則，即，解得，，故答案為：．20．（2020?江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是．【分析】通過(guò)棱柱的體積減去圓柱的體積，即可推出結(jié)果．【解答】解：六棱柱的體積為：，圓柱的體積為：，所以此六角螺帽毛坯的體積是：，故答案為：．21．（2019?江蘇）如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積是．【分析】推導(dǎo)出，三棱錐的體積：，由此能求出結(jié)果．【解答】解：長(zhǎng)方體的體積是120，為的中點(diǎn)，，三棱錐的體積：．故答案為：10．22．（2020春?濟(jì)南期末）在①平面，②，③點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心．這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．三棱錐中，，若_____，求三棱錐的體積．注：如果選擇多種條件組合分別解答，按第一種解答計(jì)分．【分析】情形一：若選擇①和②，由題意求出三角形的面積，又因?yàn)槿忮F的高即為的長(zhǎng)度，于是直接利用三棱錐體積公式直接求解即可；情形二：若選擇①和③，由題意得到即為的垂心，進(jìn)而求出的面積，又因?yàn)槿忮F的高即為的長(zhǎng)度，于是直接利用三棱錐體積公式直接求解即可；情形三：若選擇②和③，由題意得到點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心即等邊的中心，于是即為三棱錐的高，再利用三棱錐體積公式直接求解即可．【解答】解：情形一：若選擇①和②，，，為等邊三角形，，平面，即為點(diǎn)到平面的距離，且，．情形二：若選擇①和③，平面，點(diǎn)為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，又因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心，點(diǎn)即為的垂心，，，，平面，即為點(diǎn)到平面的距離，且，．情形三：若選擇②和③，，，為等邊三角形，，設(shè)的中心為點(diǎn)，則點(diǎn)即為的垂心，且，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的垂心，平面，即為點(diǎn)到平面的距離，且，．23．（2020春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知圓柱和圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為兩個(gè)全等的矩形，若該矩形的兩邊分別為4和9，設(shè)圓柱的高為，體積為，圓柱的高為，體積為，其中．（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，由題意列式求得，的值，則的值可求；（2）由（1）求得，，，的值，代入圓柱體積公式可得，，則答案可求．【解答】解：（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，已知圓柱的高為，圓柱的高為，．由圓柱和圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為兩個(gè)全等的矩形，可得：，；（2）由（1）可得，，，，．，．．24．（2020春?威寧縣期末）據(jù)說(shuō)偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．（Ⅰ）試計(jì)算出圖案中圓柱與球的體積比；（Ⅱ）假設(shè)球半徑，試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積．【分析】（Ⅰ）球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，設(shè)為，先求出圓柱的體積和球的體積，由此能求出圖案中圓柱與球的體積比．（Ⅱ）假設(shè)球半徑，利用圓錐的體積公式和表面積公式直接求解．【解答】解：（Ⅰ）球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，設(shè)為，則圓柱的體積，球的體積，圖案中圓柱與球的體積比為：．（Ⅱ）假設(shè)球半徑，圖案中圓錐的體積為：．圓錐的表面積為：．[B組]—強(qiáng)基必備1．（2020?湖北模擬）已知，，，是半徑為3的球面上四點(diǎn)，其中過(guò)球心，，則三棱錐的體積是A． B． C． D．【分析】由余弦定理得，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，得．球心到平面的距離．由此能求出三棱錐的體積．【解答】解：，，，是半徑為3的球面上四點(diǎn)，其中過(guò)球心，，由余弦定理得，，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理，得，解得．球心到平面的距離．三棱錐的體積：．故選：．2．（2020?安徽模擬）如圖，在平面四邊形中，滿足，，且，．沿著把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為A．12 B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)，推導(dǎo)出平面，當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，則，推導(dǎo)出點(diǎn)到以為焦點(diǎn)的橢圓上，的最大值為對(duì)應(yīng)短半軸長(zhǎng)，由此能求出三棱錐體積的最大值．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)，由題意知，，且，平面，，當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，則，，，，點(diǎn)到以為焦點(diǎn)的橢圓上，的最大值為對(duì)應(yīng)短半軸長(zhǎng)，最大值為，最大值為，三棱錐體積的最大值為．故選：．3．（2020?安陽(yáng)二模）如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱，每個(gè)四棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直．則這個(gè)幾何體的體積為．【分析】該幾何體的體積為兩