高等數(shù)學(xué)-第六章-定積分的應(yīng)用

定積分應(yīng)用上一章，已經(jīng)系統(tǒng)地介紹了定積分的根本理論和計算方法。在這一章中，將利用這些知識來分析解決一些實際問題。定積分的應(yīng)用很廣泛，在自然科學(xué)和生產(chǎn)實踐中有許多實際問題最后都?xì)w結(jié)為定積分問題。本章不僅對一些幾何物理量導(dǎo)出計算公式，更重要的是介紹運(yùn)用“微元法”將所求的量歸結(jié)為計算某個定積分的分析方法。重點微元法，面積，弧長，旋轉(zhuǎn)體的體積，定積分在物理方面的應(yīng)用，微元法，參數(shù)方程確定的曲線所圍的面積，定積分在物理方面的應(yīng)用。根本要求①正確理解和掌握微元法的根本思想，并會靈活運(yùn)用它。②會用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程所給出的三種求積公式求出一些常見圖形的面積。③會求旋轉(zhuǎn)體的體積④會求平面曲線的弧長⑤會用定積分解決物理方面的實際問題。難點通過對不均勻量〔如曲邊梯形的面積，變速直線運(yùn)動的路程〕的分析，采用“分割、近似代替、求和、取極限”四個根本步驟確定了它們的值，并由此抽象出定積分的概念，我們發(fā)現(xiàn)，定積分是確定眾多的不均勻幾何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通過定積分來求值呢？我們先來回憶一下前章中講過的方法和步驟是必要的。定積分的微元法求Ｕ的步驟分用分點將區(qū)間分成n個小區(qū)間粗把Ｕ在小區(qū)間上的局部量用某個函數(shù)f(x)在的值與之積代替和把局部量的近似值累加得到總量的近似值即設(shè)量Ｕ非均勻地分布[a,b]上由此可知，假設(shè)某個非均勻量Ｕ在區(qū)間[a,b]上滿足兩個條件：〔1〕總量在區(qū)間上具有可加性，即把區(qū)間分成幾個小區(qū)間時總量就等于各個小區(qū)間上的局部量之和，〔2〕局部量可用近似表示它們之間只相差一個的高階無窮小不均勻量Ｕ就可以用定積分來求得精分析其實質(zhì)，不難將四步簡化為兩步第一步“分割取近似”含“分”、“粗”兩步即將區(qū)間分成子區(qū)間在其上用均勻變化近似代替非均勻變化求得局部量的近似值它對應(yīng)著積分表達(dá)式中的被積式第二步“求和取極限”含“和”、“精”兩步:各局部量的近似值相加并取極限得到總量的準(zhǔn)確值這是建立所求量的積分式的根本方法即對被積式作積分Ⅰ。求微元寫出典型小區(qū)間上的局部量的近似值這就是局部量的微元Ⅱ。求積分即把微元在區(qū)間[a,b]上相當(dāng)于把作積分表達(dá)式求它在[a,b]上的定積分即這就是微元法

“無限積累”起來定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積1直角坐標(biāo)系作為一般情況討論，設(shè)平面圖形由[a,b]上連續(xù)的兩條曲線y=f(x)與y=g(x)及兩條直線x=a,x=b所圍成在[a,b]上任取典型小區(qū)間[x,x+dx]與它相對應(yīng)的小曲邊梯形的面積為局部量dAdA可用高為底為dx

的矩形面積近似表示即故ab當(dāng)dx很小時所圍成的圖形的面積解為確定圖形的存在區(qū)間由聯(lián)立方程組解得交點A〔-1，1〕B〔1，1〕故例1求兩曲線所圍圖形的面積解首先定出圖形所在的范圍解得交點為〔2，-2〕和〔8，4〕假設(shè)取x為積分變量在[x,x+dx]上取局部量那么對于x的不同值局部量的位置不同其上、下曲邊有多種情況運(yùn)用上述公式計算較為復(fù)雜如以下圖例2計算以y為變量計算將會簡單在[-2,4]上任取一小區(qū)間其上相應(yīng)的窄條左、右曲邊分別為但假設(shè)將這一面積看作是分布在區(qū)間[-2，4]上由此可見在面積計算中應(yīng)根據(jù)平面區(qū)域的具體特征恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量找出相應(yīng)的面積微元可使計算簡化上述問題的一般情況是平面區(qū)域由[c,d]上連續(xù)的曲線及直線y=c,y=d所圍成

那么其面積為cd當(dāng)直角坐標(biāo)系下的平面區(qū)域的邊界曲線由參數(shù)方程的形式給出時，只須對面積計算公式作變量代換即可。計算時應(yīng)注意積分限在換元中應(yīng)保持與原積分限相對應(yīng)。例3求橢圓的面積解由對稱性面積A等于橢圓在第一象限內(nèi)的局部的面積的4倍即設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有證明存在唯一的使曲線f〔x〕與兩直線所圍圖形的面積是y=f(x)與兩直線所圍圖形面積的3倍證例4故由零點定理知又令2極坐標(biāo)系某些平面圖形，用極坐標(biāo)來計算是比較方便的假設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程給出極坐標(biāo)系下研究面積的根本圖形不是曲邊梯形而是由射線所圍成的稱為曲邊扇形的區(qū)域可用半徑為圓心角為由于曲邊扇形的面積分布故面積元素為的圓扇形的面積來近似解由對稱性知總面積=4倍第一象限局部面積解利用對稱性知通過以上幾例可見在實際計算中應(yīng)充分利用所求量的對稱性和等量關(guān)系來簡化計算。二、平面曲線弧長的概念①直角坐標(biāo)情形弧長元素弧長解所求弧長為解曲線弧為弧長②參數(shù)方程情形解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限局部的弧長證根據(jù)橢圓的對稱性知故原結(jié)論成立.③極坐標(biāo)情形曲線弧為弧長解求心形線的全長解由對稱性例12求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.〔注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運(yùn)算〕平面曲線弧長的概念弧微分的概念求弧長的公式直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下小結(jié)思考題兩邊同時對求導(dǎo)xyo積分得思考題1解答所以所求曲線為不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長．思考題2

解答練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題練習(xí)題答案

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積為xyo所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積為例1求橢圓所圍成的平面圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體〔旋轉(zhuǎn)橢球體〕的體積類似地，由連續(xù)曲線①這個旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個橢圓及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體②與上同理橢球體也可以看成由半個橢圓及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體解特別當(dāng)a=b時旋轉(zhuǎn)體成為球體解解例4證明由平面圖形〔f(x)連續(xù)〕繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為對應(yīng)的局部量可近似看成內(nèi)徑為x，外徑為x+dx高為f(x)的薄壁圓筒故證或展開后近似于長為寬為dx高為f(x)的薄長方體利用這個公式，可知上例中解體積元素為求圓心在(b,0)半徑為a(0<a<b)的圓繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的環(huán)狀體的體積解圓的方程例6繞x軸旋轉(zhuǎn)dV=薄片圓柱的體積〔底半徑為f(x)，高為dx〕——柱片法繞y軸旋轉(zhuǎn)dV=薄壁圓筒的體積〔內(nèi)徑為x，外徑為x+dx高為f(x))——柱殼法旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為一般地如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積二、平行截面面積為的立體的體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積點A〔1,0,1),B(0,1,0)，線段AB繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由S和兩平面z=0,z=1所圍立體的體積解AB的方程為在z軸上截距為z的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面為一個圓，此截面與z軸交于點Q(0,0,z)，與AB交于點M(z,1-z,z)，截面面積立體體積故截面的半徑為例8旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周平行截面面積為的立體的體積思考題三、小結(jié)交點立體體積思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用前面我們已經(jīng)介紹了定積分在幾何方面的應(yīng)用，我們看到，在利用定積分解決幾何上諸如平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積等問題時，關(guān)鍵在于寫出所求量的微元定積分在物理方面的應(yīng)用的關(guān)鍵也是如此，希望大家注意如何寫出所求量的微元——微功、微壓力、微引力等由物理學(xué)知道，如果一個物體在常力F作用下，使得物體沿力的方向作直線運(yùn)動，物體有位移s時，力F對物體所作的功為：W=F*s這個公式只有在力F是不變的情況下才適用，但在實際問題中，物體在運(yùn)動過程中所受到的力是變化的。下面我們通過例子來說明如何利用微元法來求變力所作的功。例1彈簧每伸長0.02m要用9,8N的力，求把彈簧拉長0,1m需作多少功一、變力沿直線作功當(dāng)我們拉長彈簧時，需要克服彈性力作功，由Hoke定律，彈性力F與伸長量x之間有函數(shù)關(guān)系：F=kx

k——彈性系數(shù)用微元法由題設(shè)9.8=0.02k

k=490要求的是變力所作的功F=490x

取x為積分變量積分區(qū)間為[0,0.1]彈簧由x處拉到x+dx處，由F(x〕的連續(xù)性，當(dāng)dx很小時，彈性力F(x)變化很小，可近似地看作是不變的〔常力〕解于是在小區(qū)間[x，x+dx]上對應(yīng)的變力F所作的功近似于把變力F看作常力F=490x所作的功例2發(fā)射火箭需要計算克服地球引力所作的功，設(shè)火箭的質(zhì)量為m，問將火箭垂直地向上發(fā)射到離地面高H時，需作多少功。并由此計算初速度至少為多少時，方可使火箭脫離地球的引力范圍解取

ox

軸豎直向上xoRR+H地球半徑設(shè)為R質(zhì)量為M，由萬有引力定律，即x=R時火箭所受的引力就是火箭的重力mg火箭所受地球的引力隨火箭發(fā)射的高度

x而變化當(dāng)火箭在地面上代入上式為了發(fā)射火箭，必須克服地球引力，克服地球引力的外力F與f大小相等下面用微元法來求變力所作的功。取x為積分變量所須作的功為了使火箭脫離地球引力范圍，也就是說要把火箭發(fā)射到無窮遠(yuǎn)處那么動能為因此要使火箭脫離地球引力范圍，須有代入上式得——第二宇宙速度這功是由火箭上的動能轉(zhuǎn)化而來，假設(shè)火箭離開地面時的初速度為半徑為R，高為H的圓柱形貯水桶，盛滿了水，問將水桶中的水全部吸出須作多少功？解這個問題雖然不是變力作功問題，但是由于吸出同樣重量不同深度的水時所作的功是不同的，所以也要用定積分來計算?？梢岳斫馑且粚右粚拥乇晃酵翱诘脑趨^(qū)間[y,y+dy]上對應(yīng)一小薄柱體該水柱重為將這一小水柱提到桶口所經(jīng)過的距離例3將以上幾例的解法一般化可得假設(shè)一物體在變力F(x)的作用下，沿力的方向〔ox軸〕作直線運(yùn)動，當(dāng)物體由x=a移到x=b時，變力F(x)對物體所作的功為

由物理學(xué)知道，一水平放置在液體中的薄板，其面積為A，距液面的深度為h，那么該薄板的一側(cè)所受的壓力P等于液體的壓強(qiáng)p與受力面積的乘積，而壓強(qiáng)等于深度與比重的乘積，于是但在實際問題中，往往需要計算與液面垂直放置的薄板一側(cè)的所受的壓力，由于薄板在不同深度處壓強(qiáng)不同，因而不能直接應(yīng)用上述公式進(jìn)行計算，需要采用微元法，利用定積分來計算。例4設(shè)半徑為R的圓形水閘門，水面與閘頂平齊，求閘門一側(cè)所受的壓力。二、液體的側(cè)壓力取坐標(biāo)系如圖oxyy+dy2Ry奇函數(shù)偶函數(shù)四分之一圓面積x解邊長為a,

b的矩形薄板，與液面成角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深h

處，設(shè)

a>b液體的比重為，求板的一側(cè)所受的壓力。解如圖建立坐標(biāo)系坐標(biāo)為x處液體的深度為xx+dxab例5得液體的側(cè)壓力的計算公式將以上幾例的解法一般化由萬有引力定律：兩個質(zhì)量分別為相距為r的質(zhì)點間的引力假設(shè)要計算一細(xì)長桿對一質(zhì)點的引力，此時由于細(xì)桿上各點與質(zhì)點的距離是變化的，所以不能直接利用上述公式計算。例6設(shè)有一長為l質(zhì)量為M的均勻細(xì)桿，另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點和桿在一條直線上，它到桿的近端距離為a，求細(xì)桿對質(zhì)點的引力。三、引力取x為積分變量該小段細(xì)桿的質(zhì)量為假設(shè)把問題改為求細(xì)桿對位于它的一端垂線上距桿a處的質(zhì)量為m質(zhì)點的引力。解

取坐標(biāo)系如圖0l·ma取x為積分變量該小段細(xì)桿的質(zhì)量為假設(shè)把問題改為求細(xì)桿對位于它的一端垂線上距桿a處的質(zhì)量為m質(zhì)點的引力。解如圖建立坐標(biāo)系尤其是如何在具體問題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡單問題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束手無策，不知如何下手。四、平均值和均方根關(guān)于定積分在物理方面的應(yīng)用，除了應(yīng)熟記各個公式的結(jié)果外，還須了解其推導(dǎo)過程關(guān)于定積分的應(yīng)用說明三點：1。選擇適宜的坐標(biāo)系2。善于根據(jù)問題的性質(zhì)和要求構(gòu)造積分元素，主要是選擇好參數(shù)，并能正確地確