2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-導(dǎo)數(shù)證明恒成立問題大題練習(xí)100題

2023高考數(shù)學(xué)一導(dǎo)數(shù)證明恒成立問題大題必刷100

1.已知函數(shù)/(x)=SinX+e'+"ln(x+l).

當。=-時，求函數(shù)在］上的最小值;

(1)2/U)(τ°

(2)若〃χ)≥ι恒成立,求實數(shù)”的值.

【答案】

(1)1；

(2)-2.

【分析】

2

(1)求出/(x)的解析式，""=c°sx+e當Xe(T0］時，CoSX+e*≤2,

2

二?-，∕,ω≤θ,由/(χ)的單調(diào)性即可得最小值；

,t

f(γ?(1,πn?∕(x)=cosx+e+—^―A(x)=∞sx+e'+--

⑵/⑴定義域為(T+8)/Lχ+ι,令」x÷l,

a

13=er-sinx-

則(x+l)2,分別討論α=-2,α<-2,-2<α<O和α≥O時〃x)的單

調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理以及"°)=ι即可求解.

(1)

當α=-2時，/(x)=SinX+e*-21n(x+l),

2

f,(x)-Cosx+ev--------

所以''χ+ι,

2.2

因為Xe(T⑼時，cosx+ev≤2,x+?~,

2

YU/1八1/z(x)—cosX+e?---------≤0

所以Xe(ToJ時，?'x÷l,

所以/(X)在(T°］上是單調(diào)減函數(shù)，/(%=/(O)=SinO+e,>_2Inl=1,

所以/(x)在(τ,o］上的最小值是1.

(2)

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/(x)=SinX+e*+αln(x+l)定義域為(-l,+8),/(x)=CoSX+e',

=COSX+e*H—h,(x?-ex-sinX----------r

令㈠x+1,則'，("I)2,

若a=-2,由(1)知，則/(x)mj"°)=l,"x)Nl在區(qū)間(T,+∞)恒成立.

若α<-2,因為》e(—L。],e'-sinx>0,

aθ

x2>

xw[0,+8),e-sinA->O,^U+1),則“‘卜)>°,

所以MX)即/'U)是增函數(shù).

-1<旦<0

當x>-"l>l時，x+?>-a9x+1,

所以《)"，⑴=e+c°sl+皆τ>0,又因為/，(。)=2+”。，

所以存在正數(shù)西，使得/(XJ=°,

當O<X"時，小)<0,/(x)是減函數(shù)，所以/(xj</(O)=1,不合題意.

若-2<a<0,因為Xe(T°],e'-sinx>O,

a二0

x2>

x∈[0,+8),e-sinx>O,^U+1).貝|嚴(力>°,

a_°。

Z?r/\—I1<.X<—I1—<O------<—2

所以/(X)是增函數(shù)，當2時，x+l,

∕,(x)<∕(0)=l+l+-^?<0又((o)=2+α>O

所以存在正數(shù)9￡㈠，。)，使得了‘(々)=°,

當多<χ<o時，/'(再)>0,/(x)是增函數(shù)，所以〃Xz)<∕(°)=l,不合題意.

若Q≥0,因為“e(T°],cosx+ex>O,

x∈[0,+∞)cosx+ex>0,x+l-θ,

則/(x)=CoSX+e*+R1>0,∕?(x)是增函數(shù).因為〃0)=1,

所以當T<x<0時，/(x)<∕(O)=l,不合題意.

綜上所述，實數(shù)”的值為-2.

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2.已知函數(shù)/(x)="(e"-ex)S≠O).

(1)討論/U)的單調(diào)性：

(2)若/(x)>"l對x≡[2,+°0)恒成立，求。的取值范圍.

【答案】

(1)答案不唯一，具體見解析

(2)Ie-2e)

【分析】

(1)求導(dǎo)得/'(x)="(e'-e),在分”>0,"0兩種情況討論求解即可；

x+1

(2)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為">三二最對X?2,+8)恒成立，進而構(gòu)造函數(shù),

求解函數(shù)最值即可.

(1)

解：函數(shù)的定義域為及，/'(x)=α(e'-e).

當α>0時，令/'(x)>0,得x>l,令/'(x)<0,得x<l；

當α<0時，令/'(尤)>0,得XC1,令/'(x)<0,得x>l.

綜上，當時，/U)在.'I)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增；

當"0時，/(x)在(7，1)上單調(diào)遞增，在(1，+8)上單調(diào)遞減.

(2)

解：由(1)知，函數(shù)8("=。'-3在[2,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)2g(2)=e(e-2)>0,

x+1

所以/(x)>x+l對xe[2,+∞)恒成立等價于“>/二五對x∈[2,+∞)恒成立.

e—XeX

A(X)=^1L(X>2)"(x)=kexY

設(shè)函數(shù)I)e-P>,則S叫，

設(shè)P(X)=ere'(x≥2),則“(x)=-(x+l)e'<0,則P(X)在P，+8)上單調(diào)遞減,

所以P(X)"(2)=e-2e2<0,則I(X)<0,

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所以“(X)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,

所以MX)max=6(2)=6_2e；

a>^-f^τ-,+∞

故e2-2e,即。的取值范圍是Ie-2e

3.已知函數(shù)/(x)=α2*'Tnx-α,α>0.

(1)若。=1,證明：/(x)≥°;

(2)若/(x"°恒成立，求a的取值范圍.

【答案】

(1)證明見解析

⑵[I，+?

【分析】

(1)由。=1,求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可證明；

(2)先由“X)川可得α≥l,再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)e'2x+l,

不等式的性質(zhì)證明最小值恒大于0即可求解.

(1)

當α=l時，/(x)=e"T-lnx-l,/(X)-丫>°,

易知y=∕'(χ)在(0,+8)單調(diào)遞增，且/'(I)=。，

所以0<xvl時,∕,ω<θ,X>1時，/'(x)>0

.?J(x)在((U)單調(diào)遞減，(Le)單調(diào)遞增,

,y(x)≥∕(ι)=o

(2)

?.J(χ)±o,

.√(')≥0,

???α≥1,

f,ae

^='''--tχ>o,易知E'(x)在(°，+8)單調(diào)遞增,

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且/,⑴=∕T≥0,dτ?)j2e+-L-<°,

/'(%)=°且/(力在(°，x。)單調(diào)遞減，(/，+00)單調(diào)遞增,

.?./(XL="/)=/*”，/-“，且"'=￡,

易證e*≥x+l,

x-l

.?.eχ-'≥x,.?.e2>4x,

....當“≥ι時,∕ω≥θ,

???實數(shù)a的取值范圍是［"S).

4.已知函數(shù)/("="一"

(1)求函數(shù)/U)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g3="x匕廠一獷，若χ≥0時，g(b°恒成立，求實數(shù)a

的取值范圍.

【答案】

(1)答案見解析

(2)-C≤?≤2-In2

【分析】

(1)根據(jù)。分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)化簡g('),利用導(dǎo)數(shù)求出g'(x)min=g'(°)=j,分類討論，分別求出

g(xLn,令g(X)min≥°求解即可.

(1)

f(x)=ex-ax

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f'(x)=ex-a

當“MO時，/'(x)>0,/(x)=e'-6在R上單調(diào)遞增

當a>0時，令/'(x)=e'-4=0,得X=Inα.

x<ln4時，/'(x)<°,/U)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，

x>ln4時，/'(x)>°,/(?x)在(Md+00)上單調(diào)遞增，

故當αV0時，A”的單調(diào)遞增區(qū)間是R；

當α>0時，的單調(diào)遞減區(qū)間是(口，Ina),單調(diào)遞增區(qū)間是(Ina，包).

(2)

g3=〃x)_；x2_；/=e工_辦_#一9

gz(x)=ex-x-α

g"(x)=el,

?.?x≥0,

...g"(x)=e'-l≥0,式》)在[°，+8)上單調(diào)遞增，

g'(x)min=g'(O)=I-α.

當l-α≥0,即α≤l時，

g'(xL=~》。,83在口+8)上單調(diào)遞增，

則g(x%m=g(°)=l-]"‘°,-√2≤a≤√2,

故-√∑4α≤l.

當l-α<0,即。>1時，

g'(x)min=l-α<°,

A

3?>0τg'(x(>)=eb-XO-α=0,即a=e%或e*=α+x°,

o<χ<χ。時，g'(χ)<o,g(?r)在(°戶。)上單調(diào)遞減，

χ>χ。時，g'(χ)>o,g(`)在(％，+00)上單調(diào)遞增,

x

貝i∣g(xL1=g(xo)=e-g(xo+α)2=e%-gp)2=H(2-e°BO

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βγ°≤2,

.O<x0≤In2

令函數(shù)MX)=e'-x,月0<χ≤l∏2,

∕φ)=eT≥0,∕z(x)=e*-x在(0,ln2]上單調(diào)遞增，

l<A(x)≤2-ln2

?.?a=e"~xo(0<x≤ln2),

.?.1<α≤2-In2.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是-四Wα<2-ln2.

5已知/(x)=e'-2x+sinx,g(x)=∣x3-2x+2sinx+,n

(1)求/U)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x≥0時，/(x"g(x)恒成立，求m的取值范圍.

【答案】

(1)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0，+CO)單調(diào)遞增.

(2)N

【分析】

(1)先對函數(shù)進行求導(dǎo)，再進行分類討論判斷導(dǎo)數(shù)值的正負，即可得到答案;

以、ex--X3-sinxCu(x)=ex-??3-sinx(x...O)

(2)將問題轉(zhuǎn)化為3在x?O恒成立，令'3\

再利用(1)的結(jié)論進行求解，即可得到答案；

(1)

Vf(x)=ex-2x+sinx,?2+cosx,

(J)當X,0時，e'-2∈(-2,—1],—LCoSX,,1,

???靖-2+(:05八0在三0恒成立，,?.∕,(χ),O,/U)在(-∞,0)單調(diào)遞減，

②當x>0時，令g(x)=e"-2+cosx,則g'(x)=e*_SinX>0在χ>0,恒成立，

.?.g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,且g(0)=°,—在(o,÷∞)恒成立,

即/'(x)>0在(0,+∞)恒成立，

.?./(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，

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綜上所述：/(X)在(-8,0)單調(diào)遞減，在9+8)單調(diào)遞增.

(2)

八ex-2x+sinx..-^x3-2x+2sinx+w

當x?..0時，3

二.幽，ex--X3-sinxCu(x)=ex-??3-sinx(χ..O)

3在x??°恒成立，令3\

??u(x)=ex-X2-COSx,令U(X)=e"-χ2一CoSX(X...0),

由(I)得M(X)=e'-2x+sinx.W(O)=I,—0)在+8)單調(diào)遞增，且T(O)=O,

."(x)...O在x≥0恒成立，.?.”(x)在[0,+8)單調(diào)遞增，"(0)=1,

,?.m≤"(X)min="(O)=?

6.已知曲線HX)=爾+z÷∕≡R)在點(IJ⑴)處的切線方程是y+2=0.

(1)求,a)的解析式；

(2)若對任意為624-2,3],都有|/(占)-/(々)|?機，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】

(?)f(x)=xi-3x

(2)[20,+∞)

【分析】

(1)求出/'U)和/"⑴以及/⑴，利用點斜式求出切線方程再根據(jù)多項式

相等可得答案；

(2)轉(zhuǎn)化為對任意Xe卜2,3],都有/(x)mx-"x)min≤巴利用導(dǎo)數(shù)求出/⑴耐、

〃XL可得答案.

(1)

/⑴=α+b/"(x)=3ox2+b∕r(l)=3α+Z?

所以“X)在點(IJ(I))處的切線方程是f(ι)=?r(X)(XT),

即y-Q-b=(3α+6)(x-l),化簡得：y=(3α+b)x-2α,

∕3α+b=0

又切線方程是》+2=0,故[-24=-2,

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4=1,6=-3,

所以〃X)的解析式為"x)=Y_3x

(2)

因為對任意4*24-2,3],都有|/(占)-/(乙)歸機，

所以對任意X<-2,3],者B有/(X)E一/("min≤m,

因為/'(x)=3χ2-3=3(x+l)(x-l),

所以當x/2,T)時,f'(x)>O,則/U)是增函數(shù),

當xe(Tl)時，/'(x)<°,則/U)是減函數(shù)，

當XG(1,3]時，/(x)>0,則〃x)是增函數(shù)，

max

所以/(XLl={∕(T)JGA='/(x)min=min{∕(-2)j(l)}=-2,

所以m≥20,實數(shù)機的取值范圍是W,+∞).

7.已知函數(shù)"X)=SinX+e'+"

求函數(shù)“X)在1上的零點個數(shù);

(1)若”0,

(2)當Ta+00)時都有了(?1,求實數(shù)“的取值范圍.

【答案】

(1)只有一個零點

(2)I，+oo)

【分析】

(1)首先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在定理即可判斷函數(shù)

的零點個數(shù)(2)可通過討論/(X)在Xe他+8)的最小值，使"x)≥l恒成立，來

確定實數(shù)。的取值范圍

(1)

因為。=0,所以/(x)=SinX+e?∕'(X)=COsx+e',

(ππ?(ππ?

因為、'「5刃，所以?f(x)>°,所以/U)在“十萬以上是單調(diào)增函數(shù)，

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所以/(x)在TkR上只有一個零點.

(2)

因為/(x)=SinX+e*+αx,所以/'(X)=CoSX+e'+0

v,t

令力(X)=CoSX+e+oA(x)=e-sinxg∣>^x∈[θ,+∞)e×>?

所以MX)>0,MX)為增函數(shù)，Mx)≥M0)=2+α,

當2+q≥0時，即α≥-2時，Mx)≥A(0)=2+α≥0,gp∕,(x)≥0,

所以/(x)在[0,+8)上為增函數(shù)，/(X)》/(O)=1,

所以2-2時滿足XW°,+∞)時都有/(.NI;

當2+α<0時，即α<-2時，Mo)=2+α<0,

q/?(ln(2-4))=cos(in(2-Q))+e=Cos(n-a)卜2〉0

所以我e(0,ln(2-a)),使MXO)=O,

所以χe(o,χ°)時MX)<o,即/'(χ)<°,/U)為減函數(shù)，/(χ)<八°)=ι,與

矛盾，所以。<-2不成立，

綜上實數(shù)”的取值范圍是卜2,M)

8.已知函數(shù)/("LT)-"/.

(1)若函數(shù)在X=T時取極值，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當時/(x)≤°,求實數(shù)α的取值范圍.

【答案】(I)/(χ)的單調(diào)增區(qū)間為(YOI)和(°，+8),單調(diào)減區(qū)間為(τ°);

(2)[e-1,+8)

【分析】

(1)由/'(-1)=°可得。的值，進而可得/O)表達式，再分別解不等式

/'(X)>°和/'(X)<°即可得單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間；

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(2)根據(jù)題意可得e*-0x-l≤O對于恒成立，令8(、)個'一辦-1,只需

g(x)m"4°,利用導(dǎo)數(shù)討論ɑ≤l、l<α<e、a≥e時g(x)的單調(diào)性以及最值即

可求解.

【詳解】

(1)r(x)=(x+l)e，-20xT,

因為函數(shù)“X)在X=T時取極值，所以/'(T)=-20x(-I)-I=0,

a=—/(x)=x(ev—l)-??2

可得：2,所以八'''2,

/'(X)=(^+?)e?-X-I=(x+l)(ev-?

由/(x)>°可得：x<-l或x>0;由/'(x)<°可得T<x<0,

所以73在(-8,-1)單調(diào)遞增，在(τ°)單調(diào)遞減，在(°，+8)單調(diào)遞增，

所以“X)在X=T時取極大值，符合題意；

所以/(、)的單調(diào)增區(qū)間為(~00，-1)和(°，+8),單調(diào)減區(qū)間為(T，°)；

(2)/(x)=x(e"7)-αx2=MeX-ax-1)

若當X?0』時/(x)≤0,可得］_奴-150對于》?°，1］恒成立，

令g(x)=e-ax-l,只需g(x)nm≤O,g<x)=e-a,

當a41時，g'(x)=e"-"O恒成立，此時g(x)=e'-ax-l在(°』上單調(diào)遞增，

g(x)>g(0)=0,所以g(x)6不成立

當Iea<e時，由g(x)=e-可得χ>lna,由g(?r)=e-可得0<χ<［na,

所以g(x)=e'-"T在(0,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+∞)上單調(diào)遞增，

因為g(°)=°,所以只需g⑴=e-a-l≤O,解得：a>e-l,所以e-14a<e,

當aNe時，g'(x)=e'-a≤°恒成立，此時g(X)=e'-"一1在(°/上單調(diào)遞減，

所以g(x)<g(0)=0,所以g(x)≤°恒成立，所以a≥e符合題意，

綜上所述：^≥e-l,

所以實數(shù)a的取值范圍是［CT，+00),

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9.已知函數(shù)/(x)="lnx-∕-c在X=I處取得極值3_,其中短也C為常數(shù).

(1)試確定°力的值；

(2)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對任意x>0,不等式“x)*2c2有解，求C的取值范圍.

【答案】(1)。=-6；?≈-3.(2)單調(diào)遞增區(qū)間為((U),/O)的單調(diào)遞

減區(qū)間為(1，+8)；

'_2；

⑶[2:

【分析】

(1)由/⑴=3-c,求得b,由f'(1)=°,得勺

(2)將(1)中得到的“出的值代入函數(shù)表達式，進而得到/'(x)=T2xlnx.判

定導(dǎo)數(shù)的正負區(qū)間，進而得到單調(diào)區(qū)間；

(3)由(2)知，得到函數(shù)A、)最大值，根據(jù)不等式有解得到C的不等式

求解即得.

【詳解】

(1)由題意知/⑴=3-c,因此-6-C=3-C,從而6=-3.

由題意求導(dǎo)得因此"26=0,解得。=-6；

(2)由(1)知/'(x)=T2xlnx.令/'(x)=0,解得x=l.

X(0,1)1(1,+8)

/’3+0—

f(x)/極大值/⑴?

因此/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(°』)，而/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(I，+?；

(3)由(2)知，“X)在x=l處取得極大值"l)=3-c,此極大值也是最最

值.

要使/(x)≥2c?(-O)有解，只需3-C≥2C2.

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即2C?2+C-3≤0,從而(2C+3)(CT)≤0.

--<c<1

解得2

所以C的取值范圍為LU2alJ.

10.已知函數(shù)/(x)=2xe-e',g(x)=∕(x)+α(Y+4x)+4,其中0兇e為

自然對數(shù)的底數(shù).

(1)判斷函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(2)若不等式g(x"°在區(qū)間n+8)上恒成立，求”的取值范圍.

【答案】

(1)/(x)在(一8，1)單調(diào)遞減；在(L+8)上單調(diào)遞增；

(2)L2A

【分析】

(1)〃x)的定義域為R,求/'(X),分別解不等式/'(x)>°,?z'")<°即可

得單增區(qū)間和單減區(qū)間即可求解；

(2)求出g(x)的解析式以及g'(x),討論。VO時，g(x)在(°』)上單調(diào)遞減，

而g(°)=°不符合題意，當4>0時，對g'(x)再求導(dǎo)可判斷g'(x)在他+8)上單調(diào)遞

增，g<x)≥g<0)=4α-2,再討論40-2≥0和4”2<0時，V=g")的單調(diào)性和最

值即可求解.

(1)

函數(shù)/(X)的定義域為R,

由/(X)=2xe'-4et可得/'⑺=2e'+2xe'-4e'=2e"(x-1)

由/'(x)>?？傻脁>l,由/'(x)<0可得x<l,

所以/(x)在(-8,1)單調(diào)遞減；在U+00)上單調(diào)遞增；

由題意得g(x)=(2l)e'+α?+4x)+4,且g<x)=2e"(》_1)+2α(x+2)

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(U

當αV0時,因為0<x<l時，g'(x)<°,所以g(x)在()上單調(diào)遞減,

又因為g(°)=°,故第》)20在［°，+8)上不可能恒成立；

當α>0時，令%(x)=g'(x)=2e?-l)+20(x+2),

p∣∣j/?'(X)=2xex÷2(7>0

所以V=g'(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則g'(x)≥g'(0)=4α-2,

①當44-2≥0,即“用時，V=g(x)在［°，+")上單調(diào)遞增，

所以g(x：L=g(°)=°,故g(X)20在［。，+8)上恒成立；

②當4"2<0,即時，g'(0)=4"2<0,/⑴=6α>0,

故存在在Xoe((U)使得g'(%)=°,

此時函數(shù)N=g(`)在((X/)上單調(diào)遞減，又g(°)二°,

故g(x)≥0在［0，+巧上不可能恒成立，故不符合題意.

綜上所述，。的取值范圍12).

11.已矢口函數(shù)/(外="2_(2竊+1口+歷工.

(1)當。=1時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若F(X)<°恒成立,求。的取值范圍.

【答案】

(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(町1a+00),單調(diào)遞減區(qū)間為白)，極大值

/f⑴?l?---4?n2,極小值〃1)=-2

⑵(T0］

【分析】

(1)由題可求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而再求出極值即

可；

(2)分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可求解.

(1)

第14頁共140頁

當α=l時，函數(shù)/(x)=--3x+lnx,定義域為電+00),

∕V)S7+-+]J21)(f

XXX

當/'(χ)>o時，°<x<5或x>ι,

?

當/’(χ)<。時，I<x<11,

fo?l[-

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為I2人(l,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(2

所以當2時，函數(shù)”O(jiān)取得極大值UJ4,

當x=l時，函數(shù)/(X)取得極小值/⑴=-2.

(2)

7")=2αx-(2α+l)+L*竺71)(匕1)

①當”>0時，/(x)=αdγ2α+l)χ+lnx,x∈(0,+∞)j

令qχ2-(2α+l)x>0,解得一"？+1

?

則當“°C+/+")時，ɑ?o-(2α+l)x0>0j且InXo>ln2>0,

所以函數(shù)〃X)=加一(2α+l)x+Mx>0恒成立，不符合題意，舍去;

②當α≤0時，令f'(x)>0,解得0<x<I,

令/'("O,解得χ>i,

則函數(shù)/(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(I，+00)上為減函數(shù)，

所以函數(shù)/⑴在x=l處取得極大值，也是最大值，

要使得"x)<0恒成立，則只需/⑴="(2α+l)<0,

解得"T,故T<α≤0.

綜上，〃的取值范圍是(-L°L

12.已知函數(shù)/(x)="2+x-e*.

(1)若”5,討論/⑴的單調(diào)性；

第15頁共140頁

(2)若"x)≤l恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】

(1)/(X)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)

(2)S°】

【分析】

(1)根據(jù)題意得/a)=、+I"',再令g(χ)=∕'(χ),求導(dǎo)得g(χ)≤g(°)=°,

進而得函數(shù)/U)為火上的單調(diào)遞減函數(shù).

.e`—X+1j/?e?—X÷1

a≤7——Λ(x∣=——

(2)根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為X2恒成立，再令`/丁，進

而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可求解.

(1)

a=—f(x)=-x2+x-er

解：當2時，八J2,

所以/'(x)=x+l-e",

令g(x)=/'(X)=X+1-砂，則g[x)=l-e",

所以當x>0時，g")<o,g(6單調(diào)遞減，當x<0時，g'(x)>°,gW單調(diào)

遞增，

所以g(x)≤g(O)=O,即一(x)≤0,

所以函數(shù)/⑴為火上的單調(diào)遞減函數(shù).

(2)

解：若"x)≤l恒成立,即4Y+x-e'≤l恒成立,

顯然，當χ=o時成立，

α≤?l

當x≠0時，不等式等價于X2恒成立,

(x-2乂e'+l)

h'(x)=

則I)X3

當”(x)>0時，得X<O或X>2,即函數(shù)MX)在(-8,0)和(2,+8)上單調(diào)遞增,

當"(x)<0時，得O<X<2,即函數(shù)MX)在(°，2)上單調(diào)遞減,

第16頁共140頁

C2-I

”(2)=?。?

由于XT-OO時，MX)由正數(shù)趨近于0,當x=2時,

所以函數(shù)“(X)的草圖如圖,

α≤?l

所以?2恒成立，只需。40

所以實數(shù)”的取值范圍是(-8，°]

(1)討論函數(shù)/a)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當"(0,+8)時，若/(x)4l恒成立，求a的取值范圍.

【答案】

(1)答案見解析.

l、

,、r［一,+00)

(2)e

【分析】

(1)求導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定導(dǎo)函數(shù)的正負得單調(diào)性;

(2)利用(1)的結(jié)論，在時，由函數(shù)的最小值不小于1得結(jié)論，“<。

時，/(χ)<°,題設(shè)不等式不可能成立.由此即得.

(1)

解：函數(shù)定義域是{χ∣χH°},

廠(Mae%：T)

X

第17頁共140頁

α>0時，O<x<l或x<O時，f'(x)<O?x>l時，/'(x)>O,

/(χ)的增區(qū)間是(1，+∞),減區(qū)間是S0)和(0,1).

同理可得"0時,“幻的減區(qū)間是(L+8),增區(qū)間是(YO，°)和(°」).

(2)

由(1)知，若。>0,則x=l時，/(x)min=∕(l)=αe,/(x)≥l恒成立,

1

Cl≥一

則αe≥l,e,

若α<0,x>0時，/(x)<0,不合題意.

[~,+∞)

綜上，”的取值范圍是e

14.已知函數(shù)/(x)”α∣nxg(x)=√α>0)?

(1)若"=1,求函數(shù)/U)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)"χ)=∕(χ)-g(χ),求函數(shù)MX)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在％e[L叱使得〃XO)<g(%)成立，求a的取值范圍.

【答案】

(1)極小值為1,無極大值

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(Ha+°0),單調(diào)遞減區(qū)間為((U+0).

(e2+l)

,+o

⑶I一e-IΓ°)

【分析】

(1)研究AM=X-MX的單調(diào)區(qū)間，進而求出/U)的極值；(2)先求"⑴，

再解不等式/(x)>°與"(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間，注意題干中的α>0的條件；(3)

先把題干中的問題轉(zhuǎn)化為在'Hl'H上有MX)而“<°,再結(jié)合第二問研究的MX)的

單調(diào)區(qū)間，對a進行分類討論，求出不同范圍下的"(x)min,求出最后結(jié)果

(1)

當。=1時，〃x)=X-InX,定義域為(0,+8),∕’(X)=I-I

第18頁共140頁

令/'(x)=°得：X=I,當x>l時，/'(x)>°,/(X)單調(diào)遞增；當O<X<1時,

/'(χ)<0,/(x)單調(diào)遞減，故X=I是函數(shù)/(x)的極小值點，/(x)的極小值為

/(ι)=ι,無極大值

(2)

MX)=/⑺-gα)=x5nx+-?z>0),定義域為(0,+8)

21

wi_￡_Ii￡X~~ClX—\-Q(x+l)(χ-l-6f)

v)=2

XXX

因為α>0,所以l+α>0,令"(x)>°得：x>?+a,令，'Cx)<。得:0<x<I+α,

所以MX)在(1+凡+8)單調(diào)遞增，在(°1+。)單調(diào)遞減.

綜上：MX)單調(diào)遞增區(qū)間為(l+/+°0),單調(diào)遞減區(qū)間為((U+°).

(3)

存在x°e[l,￡使得/(x°)<g(x°)成立，等價于存在與e[l,e],使得“(x0)<0,

即在xe[L4上有〃(x)mM<0

由(2)知，MD單調(diào)遞增區(qū)間為(∣+W+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(°1+。)，所以

當l+α≥e,即α≥e-l時,MX)在T，可上單調(diào)遞減，故MX)在χ=e處取得

.Z\.ZX1+"八/+1/+1./+I

h(x].=h?e?=e-a+-----<0a>------->e-ia>----

最小值，由`??mI'C得：e-l,因為e-l,故e-l.

當l<l+α<e,即0<“<e-l時，由⑵知:MX)在Xe(3+。)上單調(diào)遞減,

在xe(l+α,e)上單調(diào)遞增，〃(x)在xe[l,4上的最小值為

令Ml+α)=2+Q-4ln(l+α)

團,j0<In(I+α)<I所:以0<αln(l+α)<Q則2+Q-Q1Π(1+Q)>2叩∕z(l+α)>2

不滿足題意，舍去

-+1-,+∞

綜上所述：a的取值范圍為IeT

f(x)=InX+-^―

15.已知函數(shù)?`7x+l(α∈R).

(1)求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間;

第19頁共140頁

/(x)≤-(x+l)

(2)是否存在aeR,使得不等式八'4''恒成立？若存在，求出a

的取值集合；若不存在，請說明理由.

【答案】

(1)答案見解析

(2)存在，a的取值集合為P)

【分析】

(X)=X2一("22+1

(1)對/(X)求導(dǎo)得x(x+ι)一，然后結(jié)合/(x)的定義域，通過判別

式討論*(x)=∕-(α-2)x+l的零點分布，進而得到“X)的單調(diào)區(qū)間；(2)通過構(gòu)

造新函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值和極值問題，進而求出”的值，然后

利用導(dǎo)函數(shù)檢驗。的值滿足題意即可求解.

(1)

/，(力」一上+l

X(x+l)x(x+l)(x>0),

令夕(X)=X222

-(α-2)x+lJj-111Δ=(α-2)-4=ɑ-4α

①當A≤0時，即0≤α≤4時,/'(x)≥°在(°，+8)上恒成立，故/U)在(°，+°9)上

單調(diào)遞增.

②當A>0時，即α>4或α<0時，

(α-2)-y∣a2-4α(α-2)+?∣a2-4a

χ2_(α_2)x+1=O的兩根分別為XL2,X2=2,

不<3,

由韋達定理可知，x,+xz="2,X,X2=1>0J

⑴當"0時，可知/'(x)>°在((X+8)上恒成立，故/(x)在("+8)上單調(diào)遞增.

(ii)當α>4時，由/")>°得°<X"或x>、2；由f'(x)<O得x∣<x<x?.

故/(x)在(Og),H,+00)上單調(diào)遞增，在(和々)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當α≤4時，/3在(°，+功上單調(diào)遞增；

第20頁共140頁

((a-2)--44?(6f-2)÷Va2-4tz

u,,+OO

當。>4時，/U)在(22

J和I上單調(diào)遞增,

2-、

(?a-2)-y∣a-4a(Q-2)+V^-4a

，

22

在1/上單調(diào)遞減.

(2)

g(x)=Inx+-----—(x+1)g")=：-7~.?j-?

設(shè),x+14、,,則X(x+l)4,

依題意，函數(shù)g(χ)≤°恒成立，又由g(D=°,進而條件轉(zhuǎn)化為不等式

g(x)4g(l)對x>0恒成立,

所以g⑴是函數(shù)g(x)的最大值，也是函數(shù)g")的極大值，

故g'0)=°,解得”2,

下面證明當α=2時，滿足題意，

—-1—X+2(x-1乂廠+x+

g'(x)=2)

2x(x+1)"2x(x÷l)2

(x>0),

令g'(x)>O可得0<x<[；令g'(x)<O可得X>I,

故g(x)在(0,1)上遞增，在(1，+8)上遞減.

因此g(χ)≤g(ι)=°,即不等式"xμ5"+ι)恒成立.

綜上所述，存在且a的取值集合為{2}.

16.已知函數(shù)/3=叫

(1)設(shè)函數(shù)g")=rhl"e"),且g(χ)"(χ)恒成立，求實數(shù)/的取值范圍;

f(x)>LZ

(2)求證：e?ex；

y-f(x}-ax--(a∈R]、。2

(3)設(shè)函數(shù)‘)P’的兩個零點不、口求證：xm>2e.

【答案】

,≤二

(1)e

第21頁共140頁

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【分析】

（1）利用參變量分離法得出Y2xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)MX）=2xlnx的最

小值，即可得出實數(shù)t的取值范圍；

X2

JV1lι*ιX

（2）證明出'e'e,即可證得結(jié)論成立；

ln（∕）一生陋JL也In^Λ±Ξ?立＞2

（3）分析可得^中2X「X、XL證得超一王玉，利用基

本不等式可得出“后質(zhì)構(gòu)造函數(shù)""=""一"，分析看可知函數(shù)9（x）

在（0，”）上為增函數(shù)，分析得出夕（同）＞*（缶），結(jié)合函數(shù)*（x）的單調(diào)性可證

得結(jié)論成立.

（1）

解:由g（x）"（x）可得丁hE”，可得∕≤2χ[nχ,

令MX)=2xlnx,其中χ>o則/U)=2(1+Ex),

當°（χ?時，"（χ）＜°,此時函數(shù)"U）單調(diào)遞減,

?

當X建時，"（χ）＞°,此時函數(shù)“χ）單調(diào)遞增,

∣ι（χ}=Mn=-2t≤--

所以，m,n⑴e,所以，-e.

(2)

∕,(Λ,)>—-----x?nx>

解：要證e?ex,即證e'e

xlnx≥-l」

由（1）可知，e,當且僅當e時，等號成立,

m(x)=--~∕n'(x)=上'

令v,ee,其中χ>o,則`,e

當0＜x＜l時，M（X）＞0,此時函數(shù)MX）單調(diào)遞增,

第22頁共140頁

當x>l時,M(X)<0,此時函數(shù)ZM(X)單調(diào)遞減，

∕w(x)=加⑴=-1

所以，MLe,

XInX≥-Jg)≤-1XlnX>土-2/⑴一上

因為e和I'e取等的條件不同，故e、e,即八/e?ex.

(3)

Inxl-?=0x,InX2-」-="，

解：由題知x∣①，％②，

In(XlX2)--+*=α(X,+x)

①+②得J32③，

lnW+^^≈α(x2-x,)

②-①得Vxι)XlX2④.

InaX2)-N-+々)=土也ιn?

χχ

③÷④得中22-∣玉，

/=—>1

不妨設(shè)°<玉<々，記Xl

令尸⑺'3一誓""貝J'")qi?=??>o

所以廠⑺在(ι,+∞)上單調(diào)遞增,

一2(I)X22(X2-X,)

所以尸(f)>F(l)=°,則“"/+I,即??

2(x+x)_x∣+x)

l2In—>2

In(xlx2)-

所以“?i

In(XIX2)_2(&+々)<ln(χ,χ2)一，際=MX]X)-J-

xx

因為XIX2?2JXlX2

=2Iny∣x^2—-----

~J演/

2InJ.%2—/>2InJX]工2-

所以