數(shù)學(xué)-第21講 解直角三角形（解析）

第二十一講——解直角三角形考向一求三角函數(shù)的值1．（2020·吉林長(zhǎng)春市·中考真題）比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示．設(shè)塔頂中心點(diǎn)為點(diǎn)，塔身中心線與垂直中心線的夾角為，過點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)．通過測(cè)量可得、、的長(zhǎng)度，利用測(cè)量所得的數(shù)據(jù)計(jì)算的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求的大?。铝嘘P(guān)系式正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定所在的直角三角形，找出直角，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解；【詳解】由題可知，△ABD是直角三角形，，，,．選項(xiàng)B、C、D都是錯(cuò)誤的，故答案選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形中三角函數(shù)的定義理解，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C、D，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．【詳解】∵和∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝，∴在Rt△ACB中，AB=根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝，∴=，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題．1．（2020·浙江杭州市·中考真題）如圖，在中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題．【詳解】∵中，，、、所對(duì)的邊分別為a、b、c∴，即，則A選項(xiàng)不成立，B選項(xiàng)成立

，即，則C、D選項(xiàng)均不成立故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．2．（2020·山東聊城市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么的值為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，在中，利用勾股定理求得線段AC的長(zhǎng)，再按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，則，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考向二利用特殊角的三角函數(shù)值求值1．（2020·廣西玉林市·中考真題）sin45°的值等于（）A．12 B．22 C．32

【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】sin45°=22．故選B【點(diǎn)睛】容易題.失分的原因是沒有掌握特殊角的三角函數(shù)值.2．（2020·江蘇鹽城市·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)．求的長(zhǎng)？【答案】6【分析】由求出∠A=30°，進(jìn)而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分線得出∠CBD=30°，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，最后用sin∠A即可求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，是的平分線，又，在中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．1．（2020·四川宜賓市·中考真題）如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，若是等邊三角形，則___________．

【答案】【分析】由△OBC是等邊三角形、則∠COB=60°，然后由圓周角定理可得∠A=30°,然后運(yùn)用余弦定義求解即可．【詳解】解：∵△OBC是等邊三角形∴∠COB=60°∴∠A==30°∴=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握同弦所對(duì)的圓周角為圓心角的一半是解答本題的關(guān)鍵．2．（2020·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）=______.【答案】.【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值填空即可.【詳解】由特殊角的三角函數(shù)值，能夠確定=.故答案是【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值.考向三復(fù)雜幾何圖形中的三角函數(shù)問題1．（2020·山東濟(jì)南市·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝10，AB＝8，將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B落在處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段EB'上的點(diǎn)處，EF為折痕，連接．若CF＝3，則tan＝_____．

【答案】【分析】連接AF，設(shè)CE＝x，用x表示AE、EF，再證明∠AEF＝90°，由勾股定理得通過AF進(jìn)行等量代換列出方程便可求得x，再進(jìn)一步求出B′C′，便可求得結(jié)果．【詳解】解：連接AF，設(shè)CE＝x，則C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折疊知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，當(dāng)x＝6時(shí)，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合題意，應(yīng)舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，已知是一個(gè)銳角，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，畫射線．過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)

，，則________．【答案】【分析】連接AB交OD于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥ON于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OH⊥AB，AH=BH，從而得四邊形ABED是平行四邊形，利用勾股定理和三角形的面積法，求得AG的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】連接AB交OD于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥ON于點(diǎn)G，由尺規(guī)作圖步驟，可得：OD是∠MON的平分線，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，∵，∴DE∥AB，∵，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，∵OB?AG=AB?OH，∴AG===，∴=．故答案是：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．1．（2020·江蘇常州市·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側(cè)作正方形、，連接、，則_________．

【答案】【分析】設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長(zhǎng)、∠GCD=ECD=45°，進(jìn)而說明△ECG為直角三角形，最后運(yùn)用正切的定義即可解答．【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2020·湖北咸寧市·中考真題）如圖，在矩形中，，，E是的中點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)，則的值為（）A． B． C． D．

【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AEB=∠AEF，再根據(jù)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，從而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到結(jié)果.【詳解】解：由折疊可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，以及余弦的定義，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到∠ECF=∠AEB.考向四解直角三角形的應(yīng)用—坡角（堤壩）問題1．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，為了了解山坡上兩棵樹間的水平距離，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)們測(cè)得該山坡的傾斜角，兩樹間的坡面距離，則這兩棵樹的水平距離約為_________m（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】4.7【分析】如圖所示作出輔助線，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定義，得到即可解答．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AC平行于水平面，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，則AC為所求，由題意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，則，

即，故答案為：4.7．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟悉余弦的定義．2．（2020·山東泰安市·中考真題）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．，斜坡長(zhǎng)，斜坡的坡比為12∶5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿至少向右移________時(shí)，才能確保山體不滑坡．（?。敬鸢浮?0【分析】如圖，設(shè)點(diǎn)B沿BC向右移動(dòng)至點(diǎn)H，使得∠HAD=50°，過點(diǎn)H作HF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)AB及AB的坡比，計(jì)算出BE和AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)∠HAF=50°，得出AF的值即可解答．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)B沿BC向右移動(dòng)至點(diǎn)H，使得∠HAD=50°，過點(diǎn)H作HF⊥AD于點(diǎn)F，∵AB=26，斜坡的坡比為12∶5，則設(shè)BE=12a，AE=5a，∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，∵∠HAF=50°，則，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，故坡頂B沿至少向右移10時(shí)，才能確保山體不滑坡，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

1．（2020·四川自貢市·中考真題）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形，∥,長(zhǎng)為6米，坡角為45°，的坡角為30°，則的長(zhǎng)為________米（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分別在Rt△CEB與Rt△DFA中使用三角函數(shù)即可求解.【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB與Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．2．（2020·湖南婁底市·中考真題）如實(shí)景圖，由華菱漣鋼集團(tuán)捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動(dòng)工，2020年2月28日竣工，彰顯了國(guó)企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”．該橋的引橋兩端各由2個(gè)斜面和一個(gè)水平面構(gòu)成，如示意圖所示：引橋一側(cè)的橋墩頂端E點(diǎn)距地面，從E點(diǎn)處測(cè)得D點(diǎn)俯角為30°，斜面長(zhǎng)為，水平面長(zhǎng)為，斜面的坡度為1∶4，求處于同一水平面上引橋底部的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，）．【答案】引橋橋墩底端A點(diǎn)到起點(diǎn)B之間的距離為．

【分析】延長(zhǎng)，與相交于F，過點(diǎn)D、C兩點(diǎn)分別作的垂線交于點(diǎn)G、H，計(jì)算AG，GH，BH的長(zhǎng)度，再求和即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，與相交于F，過點(diǎn)D、C兩點(diǎn)分別作的垂線交于點(diǎn)G、H，則在中，，，在中，答：引橋橋墩底端A點(diǎn)到起點(diǎn)B之間的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，熟練的構(gòu)造直角三角形，并計(jì)算各邊的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．考向五解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題1．（2020·遼寧葫蘆島市·中考真題）如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大橋主架在水面以上的高度，在觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得大橋主架頂端的仰角為30°，測(cè)得大橋主架與水面交匯點(diǎn)的俯角為14°，觀測(cè)點(diǎn)與大橋主架的水平距離為60米，且垂直于橋面．（點(diǎn)在同一平面內(nèi)） （1）求大橋主架在橋面以上的高度；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求大橋主架在水面以上的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)）【答案】（1）大橋主架在橋面以上的高度為米；（2）大橋主架在水面以上的高度約為50

米．【分析】（1）在Rt△ACM中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM的長(zhǎng)度．（2）在Rt△BCM中，求出BM的長(zhǎng)度，再求出AB的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）垂直于橋面在中，（米）答：大橋主架在橋面以上的高度為米．

（2）在中，（米）答：大橋主架在水面以上的高度約為50米．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，銳角三角函數(shù)的意義，掌握銳角三角函數(shù)的意義是解決問題的前提．2．（2020·湖北鄂州市·中考真題）鄂州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行50米至B處，測(cè)得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段的長(zhǎng)為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上．其中米．（1）求無人機(jī)的飛行高度；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】（1）米；（2）263米【分析】（1）根據(jù)正切的定義即可求出AM的長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)B作BH⊥MD，根據(jù)三角函數(shù)求出DH的長(zhǎng)，利用CD=DH-CH即可求解．【詳解】（1）由題意可得AF∥MD∴∠ACM=∠FAC=在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米);（2）如圖，過點(diǎn)B作BH⊥MD，在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=∴DH=BH÷tan30°=÷=300米，∵AM⊥DM，AM⊥AF∴四邊形ABHM是矩形∴MH=AB=50米∴CH=CM-MH=-50(米)∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米）故河流的寬度為263米．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知解直角三角形的方法．1．（2020·云南昆明市·中考真題）（材料閱讀）2020年5月27日，2020珠峰高程測(cè)量登山隊(duì)成功登頂珠穆朗瑪峰，將用中國(guó)科技“定義”世界新高度．其基本原理之一是三角高程測(cè)量法，在山頂上立一個(gè)規(guī)標(biāo)，找到2個(gè)以上測(cè)量點(diǎn)，分段測(cè)量山的高度，再進(jìn)行累加．因?yàn)榈厍蛎娌⒉皇撬降?，光線在空氣中會(huì)發(fā)生折射，所以當(dāng)兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)的水平距離大于300m時(shí)，還要考慮球氣差，球氣差計(jì)算公式為f＝（其中

d為兩點(diǎn)間的水平距離，R為地球的半徑，R取6400000m），即：山的海拔高度＝測(cè)量點(diǎn)測(cè)得山的高度+測(cè)量點(diǎn)的海拔高度+球氣差．（問題解決）某?？萍夹〗M的同學(xué)參加了一項(xiàng)野外測(cè)量某座山的海拔高度活動(dòng)．如圖，點(diǎn)A，B的水平距離d＝800m，測(cè)量?jī)xAC＝1.5m，覘標(biāo)DE＝2m，點(diǎn)E，D，B在垂直于地面的一條直線上，在測(cè)量點(diǎn)A處用測(cè)量?jī)x測(cè)得山項(xiàng)覘標(biāo)頂端E的仰角為37°，測(cè)量點(diǎn)A處的海拔高度為1800m．（1）數(shù)據(jù)6400000用科學(xué)記數(shù)法表示為；（2）請(qǐng)你計(jì)算該山的海拔高度．（要計(jì)算球氣差，結(jié)果精確到0.01m）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m【分析】（1）科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．（2）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球氣差即可．【詳解】解：（1）6400000＝6.4×106，故答案為6.4×106．（2）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BE于H．由題意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，在Rt△ECH中，EH＝CH?tan37°≈600（m），∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），由題意f＝≈0.043（m），∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，科學(xué)記數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)造直角三角形解決問題．2．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量建筑物的高度，他們借助測(cè)角儀和皮尺進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下表．測(cè)量項(xiàng)目測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)角儀到地面的距離點(diǎn)到建筑物的距離從處觀測(cè)建筑物頂部的仰角從處觀測(cè)建筑物底部的俯角請(qǐng)根據(jù)需要，從上面表格中選擇3個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)，并利用你選擇的數(shù)據(jù)計(jì)算出建筑物的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：．）（選擇一種方法解答即可）【答案】【分析】第一種選擇：選取，解直角三角形ACE求得AE，根據(jù)AE+EB即可得到結(jié)論；第二種選擇：選取，先解直角三角形BCD求出BD的長(zhǎng)，再解直角三角形ACE求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)AE+EB即可得到結(jié)論；第三種選擇：選取，，求出CD和AE的長(zhǎng)即可．【詳解】解：第一種選擇：選取‘

∴四邊形為矩形在中，答：建筑物的高度約為．第二種選擇選取∴四邊形為矩形在中，在中，答：建筑物的高度的為．第三種選擇選取，∴四邊形為矩形在中，在中，答：建筑物的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．考向六解直角三角形的應(yīng)用—方位角問題1．（2020·湖北咸寧市·中考真題）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°

方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是________．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）【答案】20.8【分析】證明△ABP是等腰三角形，過P作PD⊥AB，從而求得PD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，

在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案為：20.8.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出垂線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2020·湖北荊門市·中考真題）如圖，海島B在海島A的北偏東方向，且與海島A相距20海里，一艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方向航行．2小時(shí)后，快艇到達(dá)C處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的E處．（1）求的度數(shù)；（2）求快艇的速度及C，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】（1）；（2）快艇的速度為9.85海里時(shí)，C，E之間的距離為19.9海里．【分析】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，作于點(diǎn)E，根據(jù)題意求出∠ABD和∠ADE的度數(shù)，即可求解；（2）求出BE的長(zhǎng)度，根據(jù)解直角三角形求出BF和EF的長(zhǎng)度，在中，求出AD、BD的長(zhǎng)度，證出四邊形為矩形，可求得快艇的速度和CE之間的距離．【詳解】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，作于點(diǎn)E．由題意得：，，∵，∴，而∴．（2）（海里）在中，，（海里），（海里），在中，，（海里），（海里），∵，，，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，設(shè)快艇的速度為v海里/時(shí)，則（海里時(shí)）答：快艇的速度為9.85海里時(shí)，C，E之間的距離為19.9海里．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用?方位角問題，理清題中各個(gè)角的度數(shù)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．

1．（2020·湖北省直轄縣級(jí)行政單位·中考真題）如圖，海中有個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北偏西60°方向，此時(shí)輪船與小島的距離為________海里．【答案】20【分析】過點(diǎn)A作AC⊥BD，根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BD，依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．2．（2020·廣西中考真題）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向，距離小島的點(diǎn)處，它沿著點(diǎn)的南偏東的方向航行．（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島最近(結(jié)果保留根號(hào))？（2）漁船到達(dá)距離小島最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行到點(diǎn)處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島上的救援隊(duì)求救，問救援隊(duì)從處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少(結(jié)果保留根號(hào))？

【答案】（1）；（2）南偏東；【分析】（1）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則AD為所求，根據(jù)已知條件得到∠BAD=45°即可解答；（2）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值得到∠C=30°，∠DBC=60°，從而求出BC的長(zhǎng)度，再求出∠DBE的度數(shù)，即可得到∠EBC的度數(shù)．【詳解】解：（1）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，∵垂線段最短，上的點(diǎn)距離點(diǎn)最近，即為所求，由題意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，∴，∴漁船航行時(shí)，距離小島最近．（2）在中，，∠DBC=60°，∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴，.答：從處沿南偏東出發(fā)，最短行程.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．考向七解直角三角形的應(yīng)用—其他問題1．（2020·山東濟(jì)南市·中考真題）如圖，△ABC、△FED區(qū)域?yàn)轳{駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE的央角∠PBE＝43°，視線PE與地面BE的夾角∠PEB＝20°，點(diǎn)A，F(xiàn)為視線與車窗底端的交點(diǎn)，AFBE，AC⊥BE，F(xiàn)D⊥BE．若A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離AB＝1.6m，則盲區(qū)中DE的長(zhǎng)度是（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【分析】首先證明四邊形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的長(zhǎng)，即可得DF的長(zhǎng)，利用∠PEB的正切值即可得答案．【詳解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∵∠ACD＝90°，∴四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB?sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．2．（2020·山西中考真題）圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時(shí)智能閘機(jī)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時(shí)行人即可通過．圖②是兩圓弧翼展開時(shí)的截面圖，扇形和是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對(duì)稱，和均垂直于地面，扇形的圓心角，半徑，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平線上，且它們之間的距離為．

（1）求閘機(jī)通道的寬度，即與之間的距離（參考數(shù)據(jù)：，，）；（2）經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的倍，人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約分鐘，求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)．【答案】（1）與之間的距離為；（2）一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．【分析】（1）連接，并向兩方延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，,則，,根據(jù)的長(zhǎng)度就是與之間的距離，依據(jù)解直角三角形，即可得到可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度；（2）設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人，根據(jù)“一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的倍，人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約分鐘”列出分式方程求解即可；還可以設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人，根據(jù)題意列方程求解．【詳解】解：連接，并向兩方延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，．由點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平線上，，均垂直于地面可知，，，所以的長(zhǎng)度就是與之間的距離．同時(shí)，由兩圓弧翼成軸對(duì)稱可得．在中，，，，，．．與之間的距離為．（1）解法一：設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．根據(jù)題意，得解，得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解當(dāng)時(shí)，

答：一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．解法二：設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．根據(jù)題意，得．解，得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．答：一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是掌握含30度的直角直角三角形的性質(zhì)．1．（2020·浙江金華市·中考真題）如圖是小明畫的卡通圖形，每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形的頂點(diǎn)，AB與地面BC所成的銳角為β，則tanβ的值是______．【答案】【分析】作AT//BC，過點(diǎn)B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=a，然后再.求出BH、AH即可解答．【詳解】解：如圖，作AT//BC，過點(diǎn)B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=a

觀察圖像可知：所以tanβ＝．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)和解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確添加常用輔助線、構(gòu)造直角三角形求解．2．（2020·貴州遵義市·中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（）A． B．﹣1 C． D．【答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.1．（2020·廣西河池市·中考真題）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，解題的關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．2．（2020·四川南充市·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC=（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作BD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面積求出BD，最后在直角△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的意義求解．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，∵，∴，

∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面積，三角函數(shù)的意義等知識(shí)，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形和利用三角形的面積求出BD是解決問題的關(guān)鍵．3．（2020·山東泰安市·中考真題）如圖，四邊形是一張平行四邊形紙片，其高，底邊，，沿虛線將紙片剪成兩個(gè)全等的梯形，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．

【答案】D【分析】過點(diǎn)F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令A(yù)F=x，根據(jù)，根據(jù)正切值可得EM的長(zhǎng)，加起來等于BC即可得到結(jié)果．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)F作交BC于點(diǎn)M，

∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM，令A(yù)F=x，∵兩個(gè)梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，又∵BC=6，∴，∴．故答案選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用特殊角的三角函數(shù)值及三角函數(shù)的意義進(jìn)行求解，準(zhǔn)確根據(jù)全等圖形的性質(zhì)判斷邊角是解題的關(guān)鍵．4．（2020·湖南長(zhǎng)沙市·中考真題）從一艘船上測(cè)得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角是30度，船離燈塔的水平距離為（）A．米 B．米 C．21米 D．42米【答案】A【分析】在直角三角形中，已知角的對(duì)邊求鄰邊，可以用正切函數(shù)來解決．【詳解】解：根據(jù)題意可得：船離海岸線的距離為42÷tan30°=42（米）.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．5．（2020·廣東深圳市·中考真題）如圖，為了測(cè)量一條河流的寬度，一測(cè)量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長(zhǎng)）可以表示為（）

A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D．米【答案】B【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長(zhǎng)，以及∠PQT的度數(shù)，進(jìn)而得到∠PTQ的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PT的長(zhǎng)．【詳解】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴，∴，即河寬米，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角與正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·中考真題）如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長(zhǎng)為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米【答案】B【分析】過點(diǎn)A′作A′C⊥AB于點(diǎn)C，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：如答圖，過點(diǎn)A′作A′C⊥AB于點(diǎn)C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由題意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本題選B．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．（2020·湖北孝感市·中考真題）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算的長(zhǎng)為______．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】如圖（見解析），先在中，解直角三角形可求出CF的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得DE的長(zhǎng)，從而可得CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過A作，交DF于點(diǎn)E，則四邊形ABFE是矩形由圖中數(shù)據(jù)可知，，，，在中，，即解得是等腰三角形則的長(zhǎng)為故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．8．（2020·四川樂山市·中考真題）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯的傾斜角為，在自動(dòng)扶梯下方地面處測(cè)得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動(dòng)扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函數(shù)即可得出答案．【詳解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，得出BC=AB=4是解題關(guān)鍵．9．（2020·湖南湘潭市·中考真題）計(jì)算：________．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接書寫即可．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢固記憶是解題的關(guān)鍵．10．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖所示，在四邊形中，，，．連接，，若，則長(zhǎng)度是_________．

【答案】10【分析】根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系，先計(jì)算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．【詳解】解：在中，∵，∴．在中，．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的邊角間關(guān)系，求出AC是解決本題的關(guān)鍵．11．（2020·江蘇泰州市·中考真題）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作兩條坐標(biāo)軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、，則直線與軸所夾銳角的正切值為______．【答案】【分析】由題意，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上且橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，3），

如圖，AP∥x軸，BP∥y軸，∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖像上，∴點(diǎn)A為（），點(diǎn)B為（1，），∴直線與軸所夾銳角的正切值為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．12．（2020·山東棗莊市·中考真題）如圖，人字梯，的長(zhǎng)都為2米.當(dāng)時(shí)，人字梯頂端高地面的高度是____米（結(jié)果精確到.參考依據(jù)：，，）【答案】1.5.【分析】在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦定義即可求得答案.【詳解】在中，∵，，∴，∴.故答案為1.5.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．13．（2020·浙江金華市·中考真題）圖1是一個(gè)閉合時(shí)的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)．(1)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大值時(shí)，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)是_____cm．

(2)當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與點(diǎn)D重合）時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離為_____cm．【答案】16【分析】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出周長(zhǎng)即可．（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時(shí)，連接OC并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，可得，AH=BH，利用已知先求出，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)，由，求出AH，從而求出AB=2AH的長(zhǎng)．【詳解】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=EF=2cm，∴以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為2+6+2+6=16cm．（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時(shí)，連接OC并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，∴，AH=BH，∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，∴，在Rt△OEF中，，∵，，∴AB=2AH=．故答案為16，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合，做題時(shí)準(zhǔn)確理解題意利用已知的直角三角形進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．14．（2020·吉林長(zhǎng)春市·中考真題）如圖，在中，是對(duì)角線、的交點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)、．（1）求證：．（2）若，，求的值．

【答案】（1）見解析1；（2）【分析】（1）根據(jù)題意由平行四邊形性質(zhì)得，由ASA證得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意由（1）得OE=OF，則OE=2，在Rt△OEB中，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）證明：在中，∵，∴∴又∵∴∴（2）∵，∴∵∴在中，，.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．81．（2020·湖南湘潭市·中考真題）為了學(xué)生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進(jìn)行改造．已知四邊形為矩形，，其坡度為，將步梯改造為斜坡，其坡度為，求斜坡的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】斜坡AF的長(zhǎng)度為20.61米．【分析】先由DE的坡度計(jì)算DC的長(zhǎng)度，根據(jù)矩形性質(zhì)得AB長(zhǎng)度，再由AF的坡度得出BF的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AF的長(zhǎng)度．【詳解】∵，其坡度為，∴在中，∴解得

∵四邊形ABCD為矩形∴∵斜坡的坡度為∴∴在中，（m）∴斜坡的長(zhǎng)度為20.61米．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（2020·貴州貴陽(yáng)市·中考真題）脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是房屋的高所在的直線．為了測(cè)量房屋的高度，在地面上點(diǎn)測(cè)得屋頂?shù)难鼋菫?，此時(shí)地面上點(diǎn)、屋檐上點(diǎn)、屋頂上點(diǎn)三點(diǎn)恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走到達(dá)點(diǎn)時(shí)，又測(cè)得屋檐點(diǎn)的仰角為，房屋的頂層橫梁，，交于點(diǎn)（點(diǎn)，，在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離；（2）求房屋的高（結(jié)果精確到）．【答案】（1）4.2米；（2）14米【分析】（1）可得，在中由即可求AG；（2）設(shè)，利用三角函數(shù)由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．【詳解】解：（1）∵房屋的側(cè)面示意圖是軸對(duì)稱圖形，所在直線是對(duì)稱軸，，∴，，．在中，，，∵，，．∴（米）答：屋頂?shù)綑M梁的距離約是4.2米．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，在中，，，

∵，∴，在中，，，∵，∴．∵，∴，∵，，解得．∴（米）答：房屋的高約是14米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了仰角的定義及其解直角三角形的應(yīng)用，解題時(shí)首先正確理解仰角的定義，然后構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)和已知條件列方程解決問題．16．（2020·安徽中考真題）如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔，已知信號(hào)塔高米，在山腳下點(diǎn)處測(cè)得塔底的仰角，塔頂?shù)难鼋牵笊礁?點(diǎn)在同一條豎直線上)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】75米【分析】設(shè)山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出AD，然后可得關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)山高CD=x米，則在Rt△BCD中，，即，∴，在Rt△ABD中，，即，∴，∵AD－CD=15，∴1.2x－x=15，解得：x=75．∴山高CD=75

米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握三角函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2020·山東德州市·中考真題）如圖，無人機(jī)在離地面60米的C處，觀測(cè)樓房頂部B的俯角為30°，觀測(cè)樓房底部A的俯角為60°，求樓房的高度．【答案】這棟樓高為40米【分析】過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，解，求出AD，即可求出BE，解中，求出CD，問題得解．【詳解】解：過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，由題意知，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴（米）．答：這棟樓高為40米．【分析】本題考查了解直角三角形應(yīng)用-測(cè)高問題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用已知條件解直角三角形．18．（2020·海南中考真題）為了促進(jìn)?？谥鞒菂^(qū)與江東新區(qū)聯(lián)動(dòng)發(fā)展，文明東越江通道將于今年底竣工通車.某校數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組利用無人機(jī)測(cè)算該越江通道的隧道長(zhǎng)度．如圖，隧道

在水平直線上，且無人機(jī)和隧道在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，無人機(jī)在距離隧道米的高度上水平飛行，到達(dá)點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為繼續(xù)飛行米到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)的俯角為．（1）填空：__________度，_________度；（2）求隧道的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到米)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】（1）30，45；（2）2729米【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn).在中求出AM的值，在中求出NB的值，進(jìn)而可求隧道的長(zhǎng)度.【詳解】解:（1）由題意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案為：30，45；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn).則米，米，在中，，.在中，，，(米).答:隧道的長(zhǎng)度約為米.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問題．19．（2020·山東菏澤市·中考真題）某興趣小組為了測(cè)量大樓的高度，先沿著斜坡走了

米到達(dá)坡頂點(diǎn)處，然后在點(diǎn)處測(cè)得大樓頂點(diǎn)的仰角為，已知斜坡的坡度為，點(diǎn)到大樓的距離為米，求大樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】大樓的高度為52米【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，作BF⊥CD于點(diǎn)F，在Rt△ABE中，根據(jù)坡度及勾股定理求出BE和AE的長(zhǎng)，進(jìn)而由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判斷四邊形BEDF是矩形，得到BF和FD的長(zhǎng)，再在Rt△BCF中，根據(jù)∠CBF的正切函數(shù)解直角三角形，得到CF的長(zhǎng)，由CD=CF+FD得解．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，作BF⊥CD于點(diǎn)F，在Rt△ABE中，AB=52，∵∴tan∠BAE==，∴AE=2.4BE，又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，解得：BE=20，∴AE=2.4BE=48；∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，∴四邊形BEDF是矩形，∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；在Rt△BCF中，tan∠CBF=，即：tan53°==∴CF=BF=32，∴CD=CF+FD=32+20=52．答：大樓的高度為52米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握仰角的定義，準(zhǔn)確確定合適的直角三角形并且根據(jù)勾股定理或三角函數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵．20．（2020·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，一個(gè)人騎自行車由A地到C地途經(jīng)B地當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的北偏東方向有一電視塔P，他由A地向正北方向騎行了到達(dá)B地，發(fā)現(xiàn)電視塔P在他北偏東方向，然后他由B地向北偏東方向騎行了到達(dá)C地．（1）求A地與電視塔P的距離；（2）求C地與電視塔P的距離．

【答案】（1）AP=；（2）6【分析】（1）由題意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，求出AE=BE=3；（2）先利用三角函數(shù)求出BP=6，繼而根據(jù)方位角求得∠CBP=60°，結(jié)合BC=6，即可證得△BCP是等邊三角形，從而求得答案．【詳解】（1）由題意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，如圖，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，∴AE=BE，∵，∴AE=BE=3，在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，∴PE=，∴AP=AE+PE=；（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，∴BP=，又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，∴△BCP是等邊三角形，∴CP=BP=6．【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，方位角的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題意明確各角度及線段，正確計(jì)算即可解決問題．21．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖1為搭建在地面上的遮陽(yáng)棚，圖2、圖3是遮陽(yáng)棚支架的示意圖．遮陽(yáng)棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊E，H可分別沿等長(zhǎng)的立柱AB，DC上下移動(dòng)，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移動(dòng)滑塊使AE＝EF，求∠AFE的度數(shù)和棚寬BC的長(zhǎng)．（2）當(dāng)∠AFE由

60°變?yōu)?4°時(shí)，問棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.9m；（2）當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時(shí)，棚寬BC是減少了，減少了0.5m．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFE＝60°,連接MF并延長(zhǎng)交AE于K，則FM＝2FK，求得,于是得到結(jié)論;（2）解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,∴△AEF是等邊三角形,∴∠AFE＝60°,連接MF并延長(zhǎng)交AE于K，則FM＝2FK,∵△AEF是等邊三角形,∴AK＝,∴,∴FM＝2FK＝,∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）;（2）∵∠AFE＝74°,∴∠AFK＝37°,∴KF＝AF?cos37°≈0.80,∴FM＝2FK＝1.60,∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,6.92﹣6.40＝0.5,答：當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時(shí),棚寬BC是減少了，減少了0.5m.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,觀察圖形,發(fā)現(xiàn)直角三角形是解題的關(guān)鍵.22．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）今年疫情期間，針對(duì)各種入口處人工測(cè)量體溫存在的感染風(fēng)險(xiǎn)高、效率低等問題，清華大學(xué)牽頭研制一款“測(cè)溫機(jī)器人”，如圖1，機(jī)器人工作時(shí)，行人抬手在測(cè)溫頭處測(cè)量手腕溫度，體溫合格則機(jī)器人抬起臂桿行人可通行，不合格時(shí)機(jī)器人不抬臂桿并報(bào)警，從而有效阻隔病原體．

（1）為了設(shè)計(jì)“測(cè)溫機(jī)器人”的高度，科研團(tuán)隊(duì)采集了大量數(shù)據(jù)．下表是抽樣采集某一地區(qū)居民的身高數(shù)據(jù)：測(cè)量對(duì)象男性（18～60歲）女性（18～55歲）抽樣人數(shù)（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，若要更準(zhǔn)確的表示這一地區(qū)男、女的平均身高，男性應(yīng)采用厘米，女性應(yīng)采用厘米；（2）如圖2，一般的，人抬手的高度與身高之比為黃金比時(shí)給人的感覺最舒適，由此利用（1）中的數(shù)據(jù)得出測(cè)溫頭點(diǎn)P距地面105厘米．指示牌掛在兩臂桿AB，AC的連接點(diǎn)A處，A點(diǎn)距地面110厘米．臂桿落下時(shí)兩端點(diǎn)B，C在同一水平線上，BC＝100厘米，點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方5厘米處．若兩臂桿長(zhǎng)度相等，求兩臂桿的夾角．（參考數(shù)據(jù)表）計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（近似值）計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（近似值）0.178.70.284.31.75.7

3.511.3【答案】（1）176，164；（2）157.4°【分析】（1）根據(jù)樣本平均數(shù)即可解決問題；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出FC，由題意得到AF，即可求出tan∠FAC，根據(jù)表格即可得出∠FAC，即可得出答案．【詳解】解：（1）用表格可知，男性應(yīng)采用176厘米，女性應(yīng)采用164厘米，故答案為：176，164；（2）如圖2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，由題意AF＝10cm，∴tan∠FAC＝＝＝5，∴∠FAC＝78.7°，∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，答：兩臂桿的夾角為157.4°．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，樣本平均數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．

1．（2020·湖北荊州市·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C均在網(wǎng)格交點(diǎn)上，⊙O是的外接圓，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作直徑BD，連接CD，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠BDC，根據(jù)余弦的定義解答即可．【詳解】解：如圖，作直徑BD，連接CD，由勾股定理得，在Rt△BDC中，cos∠BDC=由圓周角定理得，∠BAC=∠BDC，∴cos∠BAC=cos∠BDC=故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理、余弦的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2020·天津中考真題）2sin45°的值等于（）A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】解：2sin45°=2×故選B3．（2020·湖南婁底市·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂，阻力臂，如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（）A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)杠桿原理及的值隨著的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案．【詳解】解：∵動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，∴當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力×動(dòng)力臂為定值，且定值＞0，∴動(dòng)力隨著動(dòng)力臂的增大而減小，∵杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的度數(shù)越來越小，此時(shí)的值越來越大，又∵動(dòng)力臂，∴此時(shí)動(dòng)力臂也越來越大，∴此時(shí)的動(dòng)力越來越小，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2020·四川廣元市·中考真題）規(guī)定：給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．【詳解】解：（1），故此結(jié)論正確；（2），故此結(jié)論正確；（3）故此結(jié)論正確；（4）==，故此結(jié)論錯(cuò)誤.故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，理解題中公式.5．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）如圖①，AB＝5，射線AM∥BN，點(diǎn)C在射線BN上，將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，點(diǎn)P，Q分別在射線AM、BN上，PQ∥AB．設(shè)AP＝x，QD＝y(tǒng)．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過點(diǎn)E(9，2)，則cosB的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得AP＝BQ＝x，由圖象②可得當(dāng)x＝9時(shí)，y＝2，此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時(shí)，y＝2，如圖①所示，可求BD＝7，由折疊的性質(zhì)可求BC的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP＝BQ＝x，

由圖②可得當(dāng)x＝9時(shí)，y＝2，此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時(shí)，y＝2，如圖①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)．理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的具體含義是解題的關(guān)鍵．6．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的長(zhǎng)，則CF可得，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可得到x，進(jìn)一步可得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，

設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理等知識(shí)，屬于?？碱}型，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理與計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江溫州市·中考真題）如圖，在離鐵塔150米的A處，用測(cè)傾儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，測(cè)傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為（）A．(1.5＋150tan)米B．(1.5＋)米C．(1.5＋150sin)米D．(1.5＋)米【答案】A【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，則BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的長(zhǎng)即為BC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，

可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，∵塔頂?shù)难鼋菫?，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．7．（2020·湖南株洲市·中考真題）如圖所示，點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為0、2、4、將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為（）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形ACA1的面積.【詳解】解：由題意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C=AC=4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.∴∠ACA1=60°.∴扇形ACA1的面積為=.即線段CA掃過的圖形的面積為.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積的計(jì)算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．8．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊．則點(diǎn)C到x軸的距離等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作CE⊥y軸于E．解直角三角形求出OD，DE即可解決問題．【詳解】作CE⊥y軸于E．在Rt△OAD中，∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，∴OD=，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，

又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=，∴在Rt△CDE中，∵CD=AB=，∠CDE=，∴DE=，∴點(diǎn)C到軸的距離=EO=DE+OD=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋?；?）量得測(cè)角儀的高度；（3）量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)CE交AB于F，得四邊形CDBF為矩形，故CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的長(zhǎng)和已知的角的度數(shù)，利用正切函數(shù)可求得AF的長(zhǎng)，從而可求出旗桿AB的長(zhǎng)．【詳解】延長(zhǎng)CE交AB于F，如圖，根據(jù)題意得，四邊形CDBF為矩形，∴CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF=∴AF=,

AB=AF+BF=，故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了利用了直角三角形的邊角關(guān)系來解題，通過構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答此類題目的關(guān)鍵所在．10．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用測(cè)角儀和皮尺測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為55°，測(cè)角儀的高度為1米，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設(shè)旗桿的高度為x米，則下列關(guān)系式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)仰角的定義和銳角三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：∵在中，，∴，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．（2020·山東菏澤市·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，若，，則的值為______．【答案】

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴DC=DB，

∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2020·江蘇常州市·中考真題）數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短．在菱形中，．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使得邊在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_________．【答案】(2，)【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函數(shù)即可求出線段OD的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴AD=AB=CD=2，∵∴在Rt△DOA中，∴OD=∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，)．故答案為：(2，)．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直接坐標(biāo)系中直角三角形的計(jì)算問題，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握特殊三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．13．（2020·山東濰坊市·中考真題）如圖，矩形中，點(diǎn)G，E分別在邊上，連接，將和分別沿折疊，使點(diǎn)B，C恰好落在上的同一點(diǎn)，記為點(diǎn)F．若，則_______．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE，BC=AD=8，證得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】矩形中，GC=4，CE=3，∠C=90，∴GE=，根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE=∠C=90，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，∴DE=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識(shí)等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．14．（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）如圖，小明在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：,則斜坡AB的長(zhǎng)是__________米．

【答案】【分析】首先根據(jù)題意得出∠ABF=30°，進(jìn)而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出即可．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，

∵斜面坡度為1：，∴tan∠ABF=，∴∠ABF=30°，

∵在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，

∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，

∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出PB=AB是解題關(guān)鍵．15．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．若BD的長(zhǎng)為2，則m的值為_____．【答案】2或2．【分析】由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，得到點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，求得BD垂直平分

AC，設(shè)垂足為E，得到BE＝，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，證出BE＝DE，即可求出m；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∵△ABC是等邊三角形，∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∴BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，綜上所述，m的值為2或2，故答案為：2或2．【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想、銳角三角函數(shù)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．16．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖，測(cè)角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為50°．若測(cè)角儀的高度是1.5m，則建筑物AB的高度約為_____m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】7.5【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)正切進(jìn)行求解即可；【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，

在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2020·河南中考真題）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)的仰角為，然后沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為．測(cè)角儀的高度為，求觀星臺(tái)最高點(diǎn)距離地面的高度(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：)；“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次測(cè)量，求平均值【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)條件證出四邊形BMNC為矩形、四邊形CNED為矩形、三角形ACD與三角形ABD均為直角三角形，設(shè)AD的長(zhǎng)為xm，則CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的長(zhǎng)度，再加上DE的長(zhǎng)度即可；（2）根據(jù)（1）中算的數(shù)據(jù)和實(shí)際高度計(jì)算誤差，建議是多次測(cè)量求平均值．

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，設(shè)AD的長(zhǎng)為xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由題易得，四邊形BMNC為矩形，∵AE⊥ME，∴四邊形CNED為矩形，∴DE=CN=BM=，在Rt△ABD中，，解得：，即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：觀星臺(tái)最高點(diǎn)距離地面的高度為12.3m．（2）本次測(cè)量結(jié)果的誤差為：12.6-12.3=0.3m，減小誤差的合理化建議：多次測(cè)量，求平均值．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．18．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）如圖，點(diǎn)E與樹AB的根部點(diǎn)A、建筑物CD的底部點(diǎn)C在一條直線上，AC＝10m．小明站在點(diǎn)E處觀測(cè)樹頂B的仰角為30°，他從點(diǎn)E出發(fā)沿EC方向前進(jìn)6m到點(diǎn)G時(shí)，觀測(cè)樹頂B的仰角為45°，此時(shí)恰好看不到建筑物CD的頂部D（H、B、D三點(diǎn)在一條直線上）．已知小明的眼睛離地面1.6m，求建筑物CD的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．）【答案】19.8m．【分析】延長(zhǎng)FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，設(shè)BN＝NH＝x，則根據(jù)tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的和可求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)FH，交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，

∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，則BN＝NH，設(shè)BN＝NH＝x，∵HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，∴tan30°＝，解得x≈8.22，根據(jù)題意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵M(jìn)N＝AC＝10，則DM＝10+8.22＝18.22，∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度約為19.8m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題，理解仰角俯角的概念，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．19．（2020·浙江舟山市·中考真題）為了測(cè)量一條兩岸平行的河流寬度，三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，他們?cè)诤幽习兜狞c(diǎn)A處測(cè)得河北岸的樹H恰好在A的正北方向．測(cè)量方案與數(shù)據(jù)如下表：課題測(cè)量河流寬度測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器，皮尺等測(cè)量小組第一小組第二小組第三小組測(cè)量方案示意圖說明點(diǎn)B，C在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B，D在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正西方向．測(cè)量數(shù)據(jù)BC＝60m，BD＝20m，BC＝101m，

∠ABH＝70°，∠ACH＝35°．∠ABH＝70°，∠BCD＝35°．∠ABH＝70°，∠ACH＝35°．（1）哪個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算出河寬？（2）請(qǐng)選擇其中一個(gè)方案及其數(shù)據(jù)求出河寬（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【答案】（1）第二個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算河寬；（2）河寬為56.4m【分析】（1）第二個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算出河寬；（2）第一個(gè)小組：證明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三個(gè)小組：設(shè)AH＝xm，則CA＝，AB＝，根據(jù)CA+AB＝CB，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1）第二個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算河寬；（2）第一個(gè)小組的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，∴∠BHC＝∠BCH＝3