安徽省池州市池州市名校 2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024年池州名校九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．?dāng)?shù)學(xué)試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共4頁(yè)，“答題卷”共6頁(yè)．3．請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無(wú)效的．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1.下列圖形中．是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．原圖是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．原圖軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．原圖是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選不項(xiàng)符合題意；D．原圖不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．2.在中，，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查正切值的計(jì)算方法，掌握直角三角形中正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意作圖，再根據(jù)正切值的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下，∴，故選：．3.若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比為，則這兩個(gè)三角形的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方”，求解即可．【詳解】解：相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比為，這兩個(gè)三角形的面積之比為，故選：B．4.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．將二次函數(shù)配方，即得答案．【詳解】，該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選A．5.在同圓或等圓中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.等弧對(duì)等弦 B.等弧所對(duì)的圓心角相等C.等弦所對(duì)的圓心角相等 D.等弦所對(duì)的圓周角相等【答案】D【解析】【分析】本題考查了同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系．熟練掌握同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，同圓或等圓中，等弧對(duì)等弦，A說(shuō)法正確，故不符合要求；在同圓或等圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等，B說(shuō)法正確，故不符合要求；在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓心角相等，C說(shuō)法正確，故不符合要求；在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，D說(shuō)法錯(cuò)誤，故符合要求；故選：D．6.如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，正確得出，兩點(diǎn)位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再結(jié)合圖像即可求解．【詳解】解：正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故選：B．7.如圖，是的外接圓，是直徑，是的內(nèi)切圓，連接，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握三角形的外接圓，內(nèi)切圓的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)外接圓，是直徑可得，根據(jù)內(nèi)切圓，可得是角平分線，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：是外接圓，是直徑，∴，∴在中，，∵是內(nèi)切圓，∴是的角平分線，∴，∴在中，，故選：B．8.如圖，在矩形中，與交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理先求出，再證明，得出，然后求出，最后求出．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，，，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．9.一次函數(shù)（a是常數(shù)且）和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中大致圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，利用一次（二次）函數(shù)的圖象排除選項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a的符號(hào)，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符，判斷正誤．【詳解】解：A、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時(shí)二次函數(shù)的圖象應(yīng)該開口向上，對(duì)稱軸，故選項(xiàng)正確；B、由一次函數(shù)的圖象可得：且，矛盾，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時(shí)二次函數(shù)的圖象應(yīng)該開口向下，對(duì)稱軸，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由一次函數(shù)的圖象可得：且，矛盾，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．10.如圖，在中，，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．連接，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查全等三角形，勾股定理，垂線段最短．在上取一點(diǎn)D，使得，連接，利用證明，然后得到當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，此時(shí)是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理解題即可．【詳解】如圖，在上取一點(diǎn)D，使得，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴．∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，此時(shí)是等腰直角三角形，在中，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的最小值為，故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.已知點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，則代數(shù)式___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖象的運(yùn)用，根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上可得，代入計(jì)算即可求解，掌握反比例函數(shù)中關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算比例系數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，，∴，∴代數(shù)式，故答案為：．12.如圖，已知，若，．則的長(zhǎng)為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，帶入即可求解．【詳解】解：，，，，，．故答案為：．13.如圖，在中，，，以為直徑作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若，則的面積為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，連接，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出，，求出，再由進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，是圓的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．14.已知拋物線（m是常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為___________；（2）若該拋物線不經(jīng)過(guò)第四象限．則m的取值范圍是___________．【答案】①.直線②.【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可求該拋物線對(duì)稱軸；（2）令時(shí)，則，由，可知該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，由該拋物線不經(jīng)過(guò)第四象限，且拋物線的開口向上，可知存在以下兩種情況：①當(dāng)該拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則這兩個(gè)交點(diǎn)都位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)；兩種情況求解作答即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線，故答案為：直線．（2）解：由題意知，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，∵該拋物線不經(jīng)過(guò)第四象限，且拋物線的開口向上，∴存在以下兩種情況：①當(dāng)該拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，解得；②當(dāng)該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則這兩個(gè)交點(diǎn)都位于原點(diǎn)左側(cè)，∴且，解得，綜上所述，m的取值范圍是，故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計(jì)算：．【答案】1【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握零指數(shù)、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序、特殊角的函數(shù)值的意義是解決本題的關(guān)鍵．先代入特殊角的函數(shù)值計(jì)算乘方，零指數(shù)，最后算加減．【詳解】解：原式．16.如圖，是的弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，求的半徑．【答案】【解析】【分析】本題主要考查垂徑定理與勾股定理的運(yùn)用，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)的半徑為，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，是過(guò)圓心的直線，可得，在中，由勾股定理得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)的半徑為，則，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，是過(guò)圓心的直線，∴，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴的半徑為．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．（1）將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，畫出；（2）以點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出，使，與位似，且相似比為．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換與位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換與位似變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）將點(diǎn)，分別繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)首尾順次連接即可得出答案；（2）根據(jù)位似變換的概念作出點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)首尾順次連接即可．【小問(wèn)1詳解】如圖，即為所求，【小問(wèn)2詳解】如圖，即為所求．18.如圖，在中，，，；求證：（1）；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，以及兩組對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可得證；（2）根據(jù)，推出，再根據(jù)，利用對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，求出，進(jìn)而求出，再利用勾股定理即可得解．【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∵，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】∵∴設(shè)，，∴，∵，，∴，，∴，．∵，∴．在中，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題．每小題10分，滿分20分）19.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)位一座古塔的高度，從點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋鞘?，由點(diǎn)向古塔前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)處，由點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋鞘牵c(diǎn)與點(diǎn)共線，且，求古塔的高．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】米【解析】【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形，掌握解直角三角形的方法即可求解．在中，根據(jù)的正切值可求出，在中，根據(jù)的正切值可求出，由即可求解．【詳解】解：由題意知，，，，米，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴米，解得：米，答：該古塔的高為米．20.如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）25【解析】【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出結(jié)論；（2）由圓周角定理結(jié)合已知可得，設(shè)，則，求出，然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵是的直徑，∴，即，∵，∴，，∵，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴．∵是的直徑，∴，∴．設(shè)，則，∴，∴，∴．∵，，∴．在中，，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)．靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．21.柚子含有極為豐富的維生素，胡蘿卜素，鈣、鉀、鐵等微量元素，可以預(yù)防血栓、糖尿?。吵袕墓r(nóng)處進(jìn)購(gòu)柚子的成本價(jià)為3元/千克，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的關(guān)系如圖所示，其中為反比例函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該超市每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）（2）當(dāng)銷售單價(jià)為10時(shí)，該經(jīng)銷商每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）分兩段：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，分兩段：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求出w關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x函數(shù)關(guān)系式為，∵點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，，解得，即當(dāng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)利潤(rùn)為w元，當(dāng)時(shí)，，∵，∴y隨x的增大而增大，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)x=10時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=980，∵980>480，∴當(dāng)銷售單價(jià)為10時(shí)，該經(jīng)銷商每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元，答：當(dāng)銷售單價(jià)為10時(shí)，該經(jīng)銷商每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元．22.如圖，已知，是正方形的對(duì)角線，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，，分別與交于點(diǎn)，，連接，．（1）求證：；（2）求證：；（3）求的值．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出，由已知，通過(guò)等量代換得到，即可得出，（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出，由已知，通過(guò)等量代換得到，得出，，由（1）結(jié)論可得，，即可求解，（3）由