新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（文）試題（含答案與解析）

烏魯木齊地區(qū)2023年高三年級(jí)第三次質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)（文科）

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷及答題卡的指定

位置，然后將條形碼準(zhǔn)確粘貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體

工整，筆跡清晰。

3.按照題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效。

4.在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.設(shè)集合A={T0,L2},β=Wχ2-^°

，則AcB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

2.已知復(fù)數(shù)z=l—i（i是虛數(shù)單位），則』=（）

z+i

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

l,x>0

3.定義符號(hào)函數(shù)sg∏Λ=∣O,x=O,則方程fSgnX=5x-6的解是（）

-l,x<0

A.2或一6B.3或-6C2或3D.2或3或一6

4.如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有12

行、122字銘文.銘文中寫(xiě)道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，日：‘余其宅茲中國(guó)，自之辟民’”，其中宅

茲中國(guó)為“中國(guó)”一詞最早的文字記載."何尊'’可以近似看作是圓臺(tái)和圓柱組合而成，經(jīng)測(cè)量，該組合體的深

度約為30cm,上口的內(nèi)徑約為2（）cm,圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為20cm,16cm,貝IJ“何尊”的容積大

約為（）

B.6000cm,C.6500cm,D.7000cm3

已知等差數(shù)列｛｝的前〃項(xiàng)和為，且%則為即是｛中的（）

5.qs“=5,al+S11=67,α,J

A第45項(xiàng)B.第50項(xiàng)C.第55項(xiàng)D.第60項(xiàng)

若CoS(S-a|?|,則COS(^?+2ɑ)=()

6.

_247C724

A.B.-----C.—D.—

^25252525

7.從長(zhǎng)度為2,4,6,8,10的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為（）

8.已知直線/：x+2y-4=0與X軸和），軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在以點(diǎn)4為圓心，2為半徑圓上，

當(dāng)—ABP最大時(shí)，ZXAPB的面積為（）

A.2B.√5C.4D.2√5

9.已知四棱柱ABCD-A耳CR的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，。為AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)O

4

到平面AAA的距離為則直線。2與直線BG所成角的余弦值為（）

?3√ior2√2c√iθn1

103103

22

10.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線C1:?=-2PX（P>0）和C2:?=2px[p>0）構(gòu)造了

一個(gè)類(lèi)似“米”字型圖案，如圖所示，若拋物線G，的焦點(diǎn)分別為K，K,點(diǎn)P在拋物線G上，過(guò)點(diǎn)

P作X軸的平行線交拋物線G于點(diǎn)。，若P￡=3PQ=6,則P=（)

11.設(shè)α=Sin—,則()

2

a2eι2

A2<a<log1aBlogla<2<a

22

2

Qa<logla<2"Dlog]。<片V2"

22

12.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且滿足/(1)=9，對(duì)任意實(shí)數(shù)χ,w都有

/U+9)=1']/(內(nèi))+偌[/H),若見(jiàn)

=/(〃)，則｛4,｝中的最大項(xiàng)為()

A.成B.a10C.。8和%D.。9和。10

第∏卷(非選擇題

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.如圖，平行四邊形ABe。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，若

EF=XAB+γAD(x,y∈R).貝IJ尤+N=_____.

￡)____________nC

AEB

14.已知函數(shù)/(x)=ASin(血+8)(A>0,<y>0,]。|<5I的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)/(X)圖象上所

有的點(diǎn)向右平/個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g⑴的圖象，則g[]J的值為_(kāi)_____.

Jh?

Λ∣?V5

2

15.已知雙曲線C：H_一y2=ι的左右焦點(diǎn)分別為尸

F2,過(guò)工的直線交雙曲線C的右支于4,B兩點(diǎn),

4

若，ABFl的周長(zhǎng)為20,則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)____.

86c

'6?已知正實(shí)數(shù)人滿足3"一標(biāo)廠直1一3〃’則2a+3^+4的最小值是_____.

三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟.

17.在JIBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,C,S,2>∕2a2cosB-c2^2abcosC+a2-b2-

(1)求NB大?。?/p>

(2)若-ABC為銳角三角形，且α=2,求,ABC面積的取值范圍.

18.某企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出X與銷(xiāo)售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X(萬(wàn)元)24568

),(萬(wàn)元)3040605070

(1)求X與y的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(2)當(dāng)廣告費(fèi)支出每增加1萬(wàn)元時(shí)，求銷(xiāo)售額平均增加多少萬(wàn)元.

∑ɑ,-χ)(x-y)

附：相關(guān)系數(shù)r=-ηΓ',,=

χ22

J∑(i-^∑(yi-y)

Vr=l1=1

∑(Λ-W,-5y)

回歸方程的最小二乘估計(jì)公式為6=且F-----------,a=y-bx,√2≈1.414?

f=l

19.在JIBC中，NAcS=45°,BC=3,過(guò)點(diǎn)A作AolBC,交線段BC于點(diǎn)。(如圖1),沿AO將

折起，使∕BZ)C=90°(如圖2)點(diǎn)、E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn).

(2)求三棱錐A-Be。的體積最大值.

20.已知橢圓C:』+W=I(4>0>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),離心率為巧.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,l)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)D,E,點(diǎn)。在第二象限，直線ARAE分別與X軸交

于M,N,求四邊形DMEN面積的最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=e*(l+alnx),f(x)為/⑴的導(dǎo)函數(shù)，且/'(x)≥3e”恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)函數(shù)F(X)的零點(diǎn)為/，/'(X)的極值點(diǎn)為巧，證明：%>W?

選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分.作答時(shí)用25鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.

x,=2x

22.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C：/+y2=1所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換得到圖形C'.

y'=>βy

(1)寫(xiě)出曲線C'的平面直角坐標(biāo)方程；

(2)點(diǎn)P在曲線C'上，求點(diǎn)P到直線/：7ir+y-6=0的距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

23.已知/(x)=∣2x+l∣,不等式/(x)<3x解集為

(1)求集合〃；

不等式/(x)+］為≥"α恒成立,

(2)χeM求正實(shí)數(shù)。的最小值.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.設(shè)集合4={一1，°，1，2},'={小一"刈，則ACB的子集個(gè)數(shù)為()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合8,可求得集合ACJB,確定集合ACB的元素個(gè)數(shù)，利用集合子集個(gè)數(shù)公式可求得結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)锽=./.χ<o}={Ho<χ<ι},所以，ACB={l,0},

則集合ACB的元素個(gè)數(shù)為2,因此，AcB的子集個(gè)數(shù)為22=4.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z=l—i(i是虛數(shù)單位)，則上L=()

z+i

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閆=I—i，所以Z=I+i，

5i5i5i5i(l-2i)5i-IOi2C.

所以:—=--------=------=--------------=-----------2+1

z+i(l+i)+il+2i(l+2i)(l-2i)5

故選:A

l,x>0

3.定義符號(hào)函數(shù)SgnX=<0,x=O,貝歷程dSgnX=5x—6的解是()

—1,?<0

A.2或-6B.3或-6C.2或3D.2或3或一6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)符號(hào)函數(shù)的意義，分段解方程作答.

【詳解】依題意，當(dāng)x>0時(shí)，方程χ2SgnX=5x-6為：χ2=5x-6>解得x=2或x=3,因此x=2或

x=3,

當(dāng)X=O時(shí)，方程χ2sgn%=5x-6為：0=5x-6.解得x=?∣,于是無(wú)解，

當(dāng)x<0時(shí)，方程/SgnX=5x-6為：-χ2=5x-6>解得X=-6或X=1,因此X=-6,

所以方程dSgrLr=5x-6的解是χ=2或χ=3或X=-6.

故選：D

4.如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”(尊為古代的酒器，用青銅制成)，尊內(nèi)底鑄有12

行、122字銘文.銘文中寫(xiě)道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，日：‘余其宅茲中國(guó)，自之辟民'”，其中宅

茲中國(guó)為，，中國(guó)，，一詞最早的文字記載.”何尊，，可以近似看作是圓臺(tái)和圓柱組合而成，經(jīng)測(cè)量，該組合體的深

度約為30cm,上口的內(nèi)徑約為20cm,圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為20cm,16cm,貝IJ“何尊”的容積大

約為()

A.5500cm3B.60∞cm3C.6500cm3D.7000cm3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱以及圓臺(tái)的體積公式計(jì)算，即可得答案.

【詳解】由題意可知圓臺(tái)的高為30—20=10(Cm),

故組合體的體積大約為兀x82χ20+;兀χ(82+8xlθ+l()2)χlθ=臂羽^6573(cm3),

故選：C

5.己知等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,,,且為=5,q+S"=67,則%即是｛可｝中的()

A.第45項(xiàng)B.第50項(xiàng)C.第55項(xiàng)D.第60項(xiàng)

【答案】C

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式求得卬和公差d后得通項(xiàng)公式，再計(jì)算即可得.

【詳解】｛%｝是等差數(shù)列，則q+S∣]=α∣+114=67=124+55d=67,又%=q+4d=5,

CT1=1

聯(lián)立可解得｛,an=n,

a=1

α5α11=5×11=55=a55,是第55項(xiàng).

24

D.

25

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)镃OSl?∣-2α)=cos2/一0

LL(5π._71/、iI7L.7

所以COS[彳+2。=cos∣r2π-(——2a)]=cos——2a

25

故選：B

7.從長(zhǎng)度為2,4,6,8,10的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為()

,13，2D1

A.-B.—C

510-52

【答案】B

【解析】

【分析】求出從長(zhǎng)度為2,4,6,8,10的5條線段中任取3條，共有幾種取法,再求出取出的三條線段能構(gòu)成

一個(gè)三角形的情況有幾種，根據(jù)古典概型的概率公式即可得答案.

【詳解】從長(zhǎng)度為2,4,6,8,10的5條線段中任取3條，共有C：=10種取法，

而取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的情況有4,6,8和4,8,10以及6,8,10,共3種,

3

故這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為P=二，

IO

故選：B

8.已知直線/：x+2y-4=0與X軸和y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，

當(dāng)NTI5P最大時(shí)，ZWB的面積為()

A.2B.√5C.4D.2√5

【答案】C

【解析】

【分析】作圖分析，可知當(dāng)NAfiP最大時(shí)，直線PB為圓的切線，由此求得IBP根據(jù)三角形面積公式,

可得答案.

【詳解】如圖示，A(4,0),B(0,2),點(diǎn)尸在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，

IAPI=2,∣AB∣=2√5,

當(dāng)NAB尸最大時(shí)，直線P3為圓的切線，則APJ_族,

此時(shí)IBPI=y∣?AB?1-∣ΛP∣2=√20-4=4,

故ZWB的面積為‘X2x4=4,

2

故選：C

9.已知四棱柱A8CD-A4G。的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，。為AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)O

4

到平面AMA的距離為則直線OA與直線BG所成角的余弦值為()

A3√io2√2√io?

rrD.

103103

【答案】A

【解析】

【分析】運(yùn)用等體積法求出長(zhǎng)方體側(cè)棱的長(zhǎng)度，再根據(jù)直線與平面夾角的定義構(gòu)造三角形求解.

【詳解】依題意如下圖：

Qfi1Bl底面ABC￡>,AoU平面ABCZλ,又正方形ABCQ中，AOlBD,

BDB∣B=B,BDu平面6。Ag,BIBU平面BORg,.?,AO，平面，

:.AO是三棱錐A-OB∣O∣的高，A0=(AC=√5；

設(shè)側(cè)棱BIB=X,則ABl=AOl=√4+√,BlDl=2√2，

AB；+ADj-BR2(4+08/

在,?A8Q∣中，由余弦定理得：CosZfiAD=

11(2

2-ABiADi24+f)4+x

2

■：NB]AD】∈(0,π),.^.sinZB1AD1≈Jl-cosZB,AD,=坐+土

11y''4+x2

2

ΔB1AD1的面積S4哂=gAg?ADtsinZfilADi=√4+2x,由于。點(diǎn)到平面A4口的距離是:，

144/--------

■-三棱錐?！狝4A的體積Vor杷=3X3XS如DI=§。4+2-；

2OB；+OD；-B]D；，一2

OBi=ODt=Λ∕2+X,cosNBQD]=

2OBι?ODiX2+2

2

?.?ZB1OD1∈(0,π),ΛsinZB1OD1=7l-CosZBlOD1=

OBR的面積SoIW=gOB∣?OD∣sinZB1OD1=√2x,三棱錐A-OB1D1的體積

12

v

A-OBlDl=§AO?S謝=-X,

=,

Kι-oBlo∣K>-AS∣C?%§，4+2x,X=4.

BCx//故NAAo即為直線OA與直線BG所成角,

ODl,（匈+4?_3M,

在RtAOD中,

｝cosZADO

l拓—√4+42^

故選：A.

22

10.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線Cl:j=-2px(p>0)和c2-.y=2px(p>0)構(gòu)造了

一個(gè)類(lèi)似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線G，。2的焦點(diǎn)分別為6，入，點(diǎn)尸在拋物線G上，過(guò)點(diǎn)

P作X軸的平行線交拋物線G于點(diǎn)Q，若PG=3PQ=6,則P=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由拋物線定義求出P即可.

【詳解】因?yàn)?PQ=6,即PQ=2,由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知XP=-1,

由拋物線定義可知，ImH-Xp,即6=勺(—1),解得P=I0,

故選：D

11.設(shè)。=sin*,則（）

2

22

A2“<a<log1aBlog1a<2“<a

22

a2a

Qcr<logla<2Dlog↑a<a<2

22

【答案】C

【解析】

【分析】由手<[<當(dāng)?shù)?<sin3<受，再由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小，得出答案.

426222

【詳解】由里<*<",且V=Sinx在(手,乎]內(nèi)單調(diào)遞減,

426<46J

5π53πHl√2

則sin——<s?n—<s?n——，即rI一<α<——，

62422

L?12??11

所以2">2i=JΣ>rZ<“一<5，9=0gι?-,ζ0gιa<0gι7=1

所以∕<iog∣α<2",

2

故選：C

12.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且滿足/(1)=9,對(duì)任意實(shí)數(shù)不々都有

,9、巧

/(Λ1+X2)=J-/(X1)+Γ∕(Λ).若4,=/(〃)，則｛4｝中的最大項(xiàng)為()

√2

A.。9B.cιwC.%和的D.%和40

【答案】D

【解析】

10/2

【分析】方法一：由條件變形為〃%+/)=(￥)/(%)+

/(x2),采用賦值法令

w+1

10推出數(shù)列｛學(xué)&｝是首項(xiàng)為公差為的

x-n.x可得I/(n)+10.10,10

x2=1I/(?+?)=

等差數(shù)列，求得4“=/(〃)=10〃X(W

,判斷其單調(diào)性，即可求得答案.

√

、*2

[詳解]方法一：由題意/(x∣+z)=L9/(%)+[^?J/(?)t

107

8+均??

1010

可得4f)+得J/(%)'

M+1

10(mY

令王=〃,％2=1,而/(1)=9,得/(n+l)=l-I/(n)+10>

n+l?+1

/(π+1)-[y/(π)=10t即∏獲o10

吧I4+1α,,=10

79

(IOY

即數(shù)列4』是首項(xiàng)為—a.=—×9=10,公差為10的等差數(shù)歹

9√9

OY

所以/(n)=10n,則4=Fe)=IOrX一，

10,

(9

則凡M=10(n+l)×l—,,

Γ-×≡(9-囑)

當(dāng)〃≤8時(shí)，??+1>??：當(dāng)"=9時(shí)，an+l=an；當(dāng)〃>10時(shí)，all+l<an,

所以｛4｝中最大項(xiàng)為與和0ιo，

故選：D.

方法二：

由/(X+無(wú)2)=(而)"％)+(歷)/(々)，

得償「/(…)=停。UH管〃⑻,

設(shè)g(x)=得。㈤，

2J

則g(Xi+X2)=g(M)+g(X2)，故可設(shè)g(x)="，由g⑴=E"l)=10=%，

得g(")=10",所以(與/(“)=10",則%=/(〃)=10〃X(K)，

a.9/1+9

所以3n+=F^，因?yàn)?n+9—10〃=9—〃，

an10/1

所以當(dāng)"≤8時(shí)，一*>1,α,>a.

4l+ln

當(dāng)〃=9時(shí)，智=1，%+∣=all;當(dāng)〃NlO時(shí)，*<1,all+i<an,

所以｛4｝中的最大項(xiàng)為每和40，故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

方法一：構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的單調(diào)性判斷，即可求出｛4｝中的最大項(xiàng)；

方法二：熟悉相關(guān)二級(jí)結(jié)論，即可知曉抽象函數(shù)的原型，根據(jù)具體函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)列的單調(diào)性判斷求出.若

/(x)=Ax,則對(duì)任意實(shí)數(shù)X],A2有/(玉+%)=/(玉)+/(/)；若/(X)=依+。，則對(duì)任意實(shí)數(shù)4，

々有/(玉+赴)=/(玉)+/(W)-8；若/(X)=代優(yōu)(α>0,a≠l),則對(duì)任意實(shí)數(shù)X],4有

x2r,

/(?η+x2)=af(xl)+af(x2).

第II卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.如圖，平行四邊形ABCQ的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E，產(chǎn)分別為AB，Oe的中點(diǎn)，若

EF=XAB+yAD^x,?∈R),則尤+V=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，利用向量的線性運(yùn)算的求得.

1313/\13

【詳解】EF=EA+AF=一一AB+-AC=一一AB+-(AB+AD]=-AB+-AD,

2424、>44

13.

??χ=-7,y=-7,??χ+y=ι1,

44

故答案為：1

14.已知函數(shù)/(X)=ASin(8+S)A>0,3>0,|9|<曰的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)/食)圖象上所

【答案】—???

22

【解析】

【分析】由函數(shù)圖象求得參數(shù)A。,。，可得/(χ)的解析式，根據(jù)圖象的平移變換即得g(χ)的解析式，即可

求得答案.

35兀7r3Ti271

【詳解】由/(X)的圖象可知A=1,一7=---------=—,.?.T=π,.?.ω=-=2,

46124π

TTTr

故/(X)=sin(2x+°),則/(一)=sin(-+0)=1,

126

則—?-φ——F2kιt,k∈Z,即φ——F2kτι,k∈Z,

623

而∣9∣<g,故。=四，所以/(x)=sin(2x+'),

233

'JiJTJi

則g(x)=sin[2(x」)+勺=sin(2x」)，

436

故g∕0=sin(2x工-')=走，

⑷462

故答案為：也

2

2

15.已知雙曲線Cr:土—V=ι的左右焦點(diǎn)分別為片，入，過(guò)亮的直線交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn),

若的周長(zhǎng)為則線段AB的長(zhǎng)為.

iAβFl20,

【答案】6

【解析】

【分析】利用雙曲線的定義，即可求解.

2

【詳解】C:工-y2=ι,∕=4萬(wàn)=1,￠2=4+1=5,

4

易得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=4,焦距2c=2√5?

因?yàn)锳B都在右支上,則IMI=IM∣+4,∣即I=忸閭+4,

ABFi的周長(zhǎng)I陰+∣*∣+∣班I=IABI+1明|+|叫∣+8=2∣AB∣+8=2O,

IABI=6.

故答案為：6

?86?

16.已知正實(shí)數(shù)”，〃滿足43-~==-30,則2+38+4的最小值是____.

g7+r1)rvh+1

【答案】4√3+l**l+4√3

【解析】

2

【分析】根據(jù)等式特征可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)/(x)=d+3x,x>0,利用函數(shù)單調(diào)性可得α=0y,再根據(jù)基

本不等式即可求得2α+38+4的最小值是4√3+l?

【詳解】由題意可得將等式變形成［?一］+3x(心一］=∕+34,

2

又因?yàn)?。力都是正?shù)，所以。>0,——>0,

Z?+l

可構(gòu)造函數(shù)/'(x)=d+3x,x>0,則r(x)=3x2+3>0,

所以函數(shù)/(x)=d+3x在區(qū)間(0,+∞)上增函數(shù)，

、3

2222

由+3×知山)=勺"，所以"訂T

3Ub+1

4414r-

則24+3b+4=^~-+3?+4=-^-ι-+3(?+l)+l≥2J-^-j-?3(?+l)+l=4√3+l

當(dāng)且僅當(dāng)α=?一,/-=3優(yōu)+1）,即α=百力=2叵-1取等號(hào)，

h+↑b+?''3

因此2α+3A+4的最小值是4出+1.

故答案為：4√3+l

三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟.

17.在.ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c，且2jΣ∕cosB-c?2=2。氏OSC+"一尸.

（1）求NB大??；

（2）若ABC為銳角三角形，且α=2,求一ABC面積的取值范圍.

【答案】（1）?

4

（2）（1,2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可得J^aCoSB=bcosC+CCOSB，再由正弦定理得

√2sinACoSB=sinA，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大小可得答案；

(2)應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形面積公式可得S.c=」二+1再由A的范圍可得答案.

tanA

【小問(wèn)1詳解】

由余弦定理得2夜屋cosB=2aAcosC+2accosB，即?∣2acosB=OCOSC+ccosB，

再由正弦定理得及SiIlAcosβ=sinBcosC+sinCcosB，???V2sinAcosB=sinA，

*?*sinA≠0,?*?cosB=,又5∈((),兀),.φ.B=—；

【小問(wèn)2詳解】

π

ac2Csι?n24+

由正弦定理得茍二畫(huà)許即CI4√2G+^-γ

sinAVtanA)

1√21

而S公ABC—acsinB=—C=1+

22tanA

由上ABC為銳角三角形，.??A+]>5且0<A<5,則1<A<5,

???"高€(1孫即S-W(1,2)?

18.某企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出X與銷(xiāo)售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

工(萬(wàn)元)24568

y(萬(wàn)元)3040605070

(1)求X與y的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(2)當(dāng)廣告費(fèi)支出每增加1萬(wàn)元時(shí)，求銷(xiāo)售額平均增加多少萬(wàn)元.

∑(χi-χ×yi-y)

i=l

附：相關(guān)系數(shù)「=

2,2

???-?)∑(>i-y)

?=1/=I

f(%-元)(y-少)

回歸方程的最小二乘估計(jì)公式為坂=J--------------,a=y-bx;√2≈1.414.

f(士-君2

Z=I

【答案】(1)r≈0?92;

(2)6.5萬(wàn)元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式，直接計(jì)算求解即可.

(2)根據(jù)(1)及題中數(shù)據(jù)，代入最小二乘法公式計(jì)算出線性回歸方程，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

IUKn蛇用R-2+4+5+6+8U-30+40+60+50+70口、

由題目數(shù)據(jù)得X=-----------------=5,y=--------------------------=50,

5

?;(??-x)(χ.-y)=(2-5)×(30-50)+(4-5)×(40-50)+(5-5)×(60-50)

/=1

÷(6-5)×(50-50)÷(8-5)×(70-50)=130,

j∑U-)2∑(χ→)2

2222222

=s∣[(2-5)+(4-5)+(5-5)+(6-5)+(8-5)][2×(30-50)+2×(40-50)]=100垃,所以

13

θ≈0.92i

100√2

【小問(wèn)2詳解】

55

由⑴知，Z(Xi-君(％-9)=130,∑(x,.-x)2=20,

Z=I/=1

?130

所以b=^—=6.5,α=5O-6.5×5=17.5,所以亍=6.5x+17.5,

所以廣告費(fèi)支出每增加1萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售平均增加6.5萬(wàn)元.

19.在一ABC中，ZACB=45°,BC=3,過(guò)點(diǎn)A作ADlBC,交線段BC于點(diǎn)。(如圖1),沿4。將

△A8D折起，使28DC=90°(如圖2)點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn).

(2)求三棱錐A-BC。的體積最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵T

【解析】

【分析】(1)利用線線垂直證明線面垂直，再利用線面垂直及平行關(guān)系證明線線垂直；

(2)通過(guò)線面垂直找到三棱錐的高，建立錐體體積函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值即可.

【小問(wèn)1詳解】

在，ABC中，M,E分別為AC,8C的中點(diǎn)，則ME〃A3，

折疊前AOIBC則折疊后ADLCD,又NBoC=90。即COLBD,且AoCBo=

又ADU平面AOB,Br)U平面所以COL平面AD8,

又ABu平面AOB,所以CD_LA3,而ME〃AB，所以CDLAfE;

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)5。=X(O<x<3),則O)=3-x,

因?yàn)锳O_LC￡>,AD上BD，且CDlBD=D,

又QDU平面BOC,BDU平面BoC,所以ADj_平面8。0

所以AC為三棱錐A—的高，

在AWC中，NACo=45°,NAZ>C=90°,所以A。=C0=3-x,

111,

所以匕=4x-x(3-X)7=ZX(3-x)2(0<x<3)，

326

則V，=—(3—x)(l—x),令V'=0解得χ=l或χ=3(舍去)，

2

令V'>0解得O<x<l,令V'<O解得l<x<3,

所以匕.BS=LX(3—XT在(0,D上單調(diào)遞增，在(L3)上單調(diào)遞減，

6

故當(dāng)尤=1即當(dāng)BD=I,CD=2時(shí)，匕McQ取最大值，

12

此時(shí)ZaX=WX1X(3—IK=￡?

63

20.已知橢圓C:0+/=1(.>8>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,1),離心率為乎.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,l)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)。,七，點(diǎn)。在第二象限，直線AO,AE分別與X軸交

于M,N,求四邊形DMEN面積的最大值.

【答案】(1)土+>2=1

4

(2)4

【解析】

【分析】⑴根據(jù)已知條件結(jié)合己=從+可求得。也即得答案；

(2)設(shè)直線直線Z)E的方程并聯(lián)立橢圓方程，設(shè)。(玉,y),E(x2,y2),可得根與系數(shù)的關(guān)系式，利用

SzWaV=g%f∣χ(y-%)，代入化簡(jiǎn)，并結(jié)合基本不等式，即可求得答案?

【小問(wèn)1詳解】

由已知6=1,￡=結(jié)合0?=人2+《2,”=2,。=1,

a2

2

故橢圓方程為二+J/=］：

4-

【小問(wèn)2詳解】

由過(guò)點(diǎn)P(-2,l)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)D,E,

可知直線DE的斜率一定存在，

設(shè)直線DE的方程為y—l=k(χ+2),k<0,

y=kx+2k+l/,

聯(lián)立方程組《工,,可得(1+4&2)χ2+8%(2k+DX+16公+16&=0,

X+4/-4=0、7

需滿足Δ>O>

設(shè)D(x∣,y),x∣<0,y>0,E(x2,y2),y2<yl,yi=kxi+2k+↑,y2=kx2+2k+i,

-8Z(2Z+1)16?(?+1)

%+x2

1+4女2l+4Zr2

又加√y=山■—x+l,???x(w=?^一，直線AE交X軸于點(diǎn)N,同理Z=L-

玉I-X1一〉2

故SDMEN=IkN-??I*(x一七)=7--r?×(yl-y2)

22l-y2I-J1

百XMX一X,)=(X|+X2)--W

1X2

一「12

2—kx?—2kkx2kxlx2+2(x1+x2)+4

222

16Z:(2Z:+1)-16k(k+1)(4^+1)_]6ι6j6

==4ΓJ=≤2√4

當(dāng)且僅當(dāng)一4Z=1-J]即女=—；時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)A=32>0,符合題意，

故四邊形DMEN面積的最大值為4.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決四邊形。Λ但N面積的最大值問(wèn)題，要求得四邊形面積的表達(dá)式，因此作圖分

XWXM

析，利用直線方程并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，從而可得SfWEN=；|4一,∣(-%)，

將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式，解決問(wèn)題.

21.已知函數(shù)/(x)=e'(l+αlnx),/(x)為/*)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(x)≥3e*恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)函數(shù)F(X)的零點(diǎn)為x∣,f(x)的極值點(diǎn)為巧，證明：%>W?

【答案】(1)a≥2

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，從而依據(jù)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，求解即可；

(2)由f(χ)的零點(diǎn)為可得玉=e-，由/'(X)的極值點(diǎn)為4，設(shè)〃(x)=∕'(x),進(jìn)而求出

^u)?e?[l+alnx+---?L令e(x)=l+αlnx+網(wǎng)一判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理推

VXXJX

(JLT-I、

出存在/ee",e",使。(毛)=0,即可證明結(jié)論.

\/

【小問(wèn)1詳解】

由題意/(%)=6*(1+<7111%),*>0),∕,(x)=e'fl+αlnx+-,

Ix)

,//'(X)≥3e*恒成立，,1+。111%+023恒成立，

X

即4X+工)-2NO,令g(x)=InX+工,(x>0),

則g(x)=j?,當(dāng)χ>l時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<(),

.?.g(χ)在(0,1)上為減函數(shù)，在(l,+∞)上為增函數(shù)，

故g(x)>g(l)=1,

1一(2)

?,.0<--≤1.故由α?g(x)≥2恒成立，得α≥--=2.

g(χ)Ig(X)K

【小問(wèn)2詳解】

證明：由/(χ)=0,得l+αlnx=0,解得方=屋】即為=一，

令h(x)=∕,(x)=e'fl+alnx+-j,(x>O),則〃'(九)=e*(l+αlnx+生一0)，

?XJkXXJ

令O(X)=I+αlnx+即--R,則。，(幻二烏一軍+即=〃(尤二2.+2)=仇(七I)-J~1］〉。,

XX√γV√丫v2√丫v3√V3√v3

故g(x)在(0,+8)上為增函數(shù).

、

(a?9〃2eT

φg=φe。=1+(-1)+=一廠=