2023-2024學年高一上數(shù)學《函數(shù)應用》測試卷及答案解析

2023-2024學年高一數(shù)學《函數(shù)應用》

選擇題（共12小題）

1.（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）充電電池是電動汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電

池制造商重點關(guān)注的研究方向.已知電池充入的電量E（單位：與充電時間f（單

位：min）滿足函數(shù)E（?）—M（1-ekt'）,其中Λ/表示電池的容量，左表示電池的充電

效率.研究人員對48兩個型號的電池進行充電測試，電池N的容量為80A%?∕?,充電

30加〃充入了40%少”的電量；電池8的容量為60%∕?∕7,充電15加〃充入了20R%?6的

電量.設(shè)電池/的充電效率為4I,電池8的充電效率為左2，則（）

A.?ι>?2

B.k?<kι

C.k?-∣C2

D.k?,上大小關(guān)系無法確定

2.（2022?福州模擬）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù).現(xiàn)有一張長IoCT?、寬8cτw的

長方形的紙片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別

為S,S2,若S：52=1：3,則折痕長的最大值為（）

A.789czπB.IOcwC.2√29cmD.2√34cm

3.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）某科技有限公司為了鼓勵員工創(chuàng)新，打破發(fā)達國家的芯片壟

斷，計劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2018年全年投入的研發(fā)資金為200萬元，在

此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始

超過400萬元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù)：1.r=1.77,1.17=1.95,1.18=2.14,1.19=2.36）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

4.（2021秋?福州期中）若某商店將進貨單價為6元的商品按每件10元出售，則每天可銷

售100件，現(xiàn)準備采用提高售價、減少進貨量的方法來增加利潤.已知這種商品的售價

每提高1元，銷售量就要減少10件，那么要保證該商品每天的利潤在450元以上，售價

應定為（）

A.11元B.11元到15元之間

C.15元D.10元到14元之間

5.（2021秋?福州期中）唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說“白日登山望烽火，黃

第1頁（共26頁）

昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望

烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在

平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2+∕≤l,若將軍從點/（3,0）處出發(fā)，河岸

線所在直線方程為x+y=4,并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲

馬”的最短總路程為（）

A.3√2-lB.2C.√17D.√17-1

6.（2021秋?福州期中）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，

黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀

望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？

在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在地為點8（-2,3）,若將軍從點N（2,0）處出發(fā)，

河岸線所在直線方程為x+y=3,則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.√26B.√31c.√29D.√34

7.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內(nèi)都

含有微量的放射性h*C,動植物死亡后，停止新陳代謝，MC不再產(chǎn)生，且原有的14。會

自動衰變.經(jīng)科學測定，WC的半衰期為5730（設(shè)Mc的原始量為1,經(jīng)過X年后，14。

的含量/（x）=ax,即/（5730）=A）.現(xiàn)有一古物，測得∣4c為原始量的79.37%,則

該古物距今約多少年？（）（參考數(shù)據(jù)：需=?0.7937,573需n09998）

A.1910B.3581C.9168D.17190

8.（2020秋?福州月考）Logis"c模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領(lǐng)域.有學

者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)/（f）（f的單位：天）WLogistic

模型：其中為最大確診病例數(shù).當時，標

jI（t）=----CLK/（f*）=0.95K

?u1+θ-0.23（t-50）

志著已初步遏制疫情，則f*約為（）（參考數(shù)據(jù)/“19比3）

A.60B.62C.66D.63

9.（2019秋?倉山區(qū)校級期末）有一組實驗數(shù)據(jù)如表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.y-2x+,-1B.y-x2-1C.y-2?og2×D.y-xi

第2頁（共26頁）

10.（2021春?平潭縣校級期末）已知函數(shù)∕?（x）=I-I0gχ,在下列區(qū)間中，包含/（x）

X2

的零點的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,4）D.（4,÷∞）

11.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）岡珀茨模型（y=kabt）是由岡珀茨（GomPeHZ）提出，可

作為動物種群數(shù)量變化的模型，并用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種，年后的

種群數(shù)量N近似滿足岡珀茨模型：y=m?el.4e-°i23:（當f=0時，表示2020年初的種

群數(shù)量），若相（w∈N）年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，則

m的最小值為（）（/〃2比0.7）

A.5B.6C.7D.8

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）某高校為加強學科建設(shè)，制定了第“十四五”（2021-2025）

規(guī)劃，計劃逐年加大科研資金投入，已知該校計劃2021年全年投入科研資金20萬元，

2025年全年投入科研資金28萬元，則第“十四五”期間，投入科研資金的年均增長率約

為（）

11

A.1.4T-1B.1.4M-IC.log∣,45-1D.Iog∣.44-1

二.填空題（共4小題）

13.（2021春?臺江區(qū)校級期末）放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系

變化.常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话胨?jīng)歷的時間稱為它的半衰期，記為T[?現(xiàn)測

T

得某種放射性元素的剩余質(zhì)量/隨時間/變化的6次數(shù)據(jù)如表:

t（單位時間）0246810

A(Z)3202261601158057

從以上記錄可知這種元素的半衰期約為個單位時間，剩余質(zhì)量隨時間變化的衰

變公式為4（Z）=.

14.（2021秋?福州期中）為了參加校教職工運動會，某校高三年級組準備為本年級教師訂

制若干件文化衫，經(jīng)與廠家協(xié)商，可按出廠價結(jié)算，同時廠家也承諾超過50件就可以每

件比出廠價低22元給予優(yōu)惠.如果按出廠價購買年級組總共應付α元，但若再多買15

件就可以達到優(yōu)惠條件并恰好也是共付。元（α為整數(shù)），則α的值為.

15.（2022?福州模擬）某地在20年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP的值尸（單位：億元）與時間

t（單位：年）之間的關(guān)系為P（Z）=P（1+10%）,,其中P為f=0時的產(chǎn)值.假定尸=

第3頁（共26頁）

2,那么在/=10時，Gz）尸增長的速度大約是.（單位：億元/年，精確到0.01億

元/年）注：1.1H）Q2.59,當X取很小的正數(shù)時，In（l+x）-x.

16.（2021春?鼓樓區(qū)校級期末）根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的第七次全國人口普查結(jié)果顯示，截

止2020年底，我國總?cè)丝跀?shù)約為14億，同2010年第六次全國人口普查數(shù)據(jù)相比，年平

均增長率約為0.53%.若按此增長率，30年后我國人口總數(shù)約為億；為應對人

口老齡化帶來的挑戰(zhàn)，改善我國人口結(jié)構(gòu)，保持我國人力資源稟賦優(yōu)勢，黨中央進一步

優(yōu)化了生育政策：若希望30年后，在中華人民共和國建國百年左右，我國人口超過20

億，那么人口年平均增長率應不低于%.（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：1.00533。2

1.1718,1OOOO5≈1.O116,?7≈0.85）

三.解答題（共5小題）

17.（2021秋?福州期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟環(huán)保，至今

還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理,

如圖1是一個半徑為R（單位：米），有24個盛水筒的筒車，按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，

轉(zhuǎn)一周需要120秒，為了研究某個盛水筒P離水面高度力（單位：米）與時間f（單位：

秒）的變化關(guān)系，建立如圖2所示的平面直角坐標系xQy.已知f=0時尸的初始位置為

點/（2,-2√ξ）（此時尸裝滿水）.

圖1圖2

（1）P從出發(fā)到開始倒水入槽需要用時40秒，求此刻尸距離水面的高度（結(jié)果精確到

0.1）；

（2）記與P相鄰的下一個盛水筒為0,在筒車旋轉(zhuǎn)一周的過程中，求P與。距離水面

高度差的最大值（結(jié)果精確到0.1）.

18.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）有四個小鎮(zhèn)恰好位于邊長為10千米的菱形NBCO的四個頂

點處.政府擬建公路連通四個小鎮(zhèn)，若每千米公路的建設(shè)成本是10萬元，預算為280萬

元，原計劃按照菱形ZBS對角線修路.

第4頁（共26頁）

（1）若預算剛好花完，求菱形48CD的面積；

（2）若/8CZ）為正方形，施工隊發(fā)現(xiàn)按照原計劃修路會預算不足，于是采取如下新方案:

按如圖實線所示修路，其中AM=BM=CN=DN,ZBAM=Θ,θ∈（0,上二），問：新方

4

案能否在預算內(nèi)完成修路目標？求出新方案的最低花費.

19.（2021秋?倉山區(qū)校級期末）已知有半徑為1,圓心角為α（其中a為給定的銳角）的扇

形鐵皮OWN,現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個矩形.

方案1：如圖1,裁剪出的矩形/8C。的頂點Z,8在線段ON上，點C在弧右上，點Z）

在線段OM上：

方案2：如圖2,裁剪出的矩形P0RS的頂點P,S分別在線段。W,ON上，頂點°,R

在弧諭上，并且滿足尸0〃RS〃OE,其中點E為弧諭的中點.

（1）按照方案1裁剪，設(shè)NNoC=。，用。表示矩形488的面積Si,并證明SI的最大

值為工tan工-；

22

（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積出的最大值，并與（1）中的結(jié)果比較后指

出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.

20.（2021秋?倉山區(qū)校級期中）2020年，全世界范圍內(nèi)都受到“新冠”疫情的影響.了解

第5頁（共26頁）

某些細菌、病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防疾病的傳播、保護環(huán)境有極其要的意

義.某科研團隊在培養(yǎng)基中放入一定量某種細菌進行研究，發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快，

經(jīng)過2分鐘菌落的覆蓋面積為18〃?機2,經(jīng)過3分鐘覆蓋面積為27"7∕∏2,現(xiàn)菌落覆蓋面積

y（單位：與經(jīng)過時間X（單位：TJ）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y=A∕（A>0,a>1）

1

89

與y=pχΓ?（p>0）可供選擇.（參考數(shù)據(jù)：36=729,37=2187,3=6561,3=19683,

√2≈1?414,√3≈1?732.）

（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適，說明理由，并求出該模型的解析式；

（2）在理想狀態(tài)下，至少經(jīng)過多久培養(yǎng)基中菌落面積能超過200∕WM2?（計算結(jié)果保留

到整數(shù)）

21.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為

一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處

理成本y（元）與月處理量X（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=LX2-200X+80000,

2

且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.

（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補

貼多少元才能使該單位不虧損？

第6頁（共26頁）

2023-2024學年高一數(shù)學《函數(shù)應用》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）充電電池是電動汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電

池制造商重點關(guān)注的研究方向.已知電池充入的電量E（單位：kW?h）與充電時間/（單

位：加山）滿足函數(shù)E（r）=M（1-e'kl）,其中M表示電池的容量，％表示電池的充電

效率.研究人員對/,8兩個型號的電池進行充電測試，電池4的容量為80Hr?兒充電

30加〃充入了40klV?h的電量；電池B的容量為60kW?h,充電15tnin充入了2QkW?h的

電量.設(shè)電池”的充電效率為％”電池3的充電效率為依，則（）

A.k?>?2

B.k?<kι

C.ArI=?2

D.k?,依大小關(guān)系無法確定

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】列出方程后比較％”A2大小.

［解答］解：由題意得40=80（卜—Qk）則「明,，

H≡20=60（l-e2）,則@，若，得e喑<?

由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得-30fa<-30?ι,即k↑<k2.

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)模型及其應用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?福州模擬）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù).現(xiàn)有一張長IoCT?、寬8cτw的

長方形的紙片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別

為S,S2,若S：52=1：3,則折痕長的最大值為（）

A.789CmB.IoCWC.2Λ∕29cmD.2√34cm

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

第7頁（共26頁）

【分析】由已知可確定S]=20C∏Λ分別在三種折疊方式下利用面積建立關(guān)于折痕的函

數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)和對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得最值，由此可得結(jié)果.

【解答】解：由題意得：長方形紙片的面積為10×8=80(cm2),又Si：$2=1：3,

22.

??S1=20cm,S2=60cm

①當折痕如下圖所示時,

yχy=20

xy=40.2222,1600

??AM—x,AN—y,則,0<<10,解得://,??ιNrκNτ=x+y=x'1—τ^^,

x5<x<10X2

0≤y≤8

②當折痕如下圖所示時,

?∣?(x+y)×8=20

x+y=5

設(shè)4N=x,DM=y,則<0<x<10，解得:

0≤x≤5

0≤y≤10

V/(/)在(25,40)上單調(diào)遞減，在(40,100)上單調(diào)遞增，

又g(0)=25+64=89,g(y)=64,g(5)=25+64=89,:'Se[64,89],

ΛEF∈[8,√89],

③當折痕如下圖所示時，

y(x+y)×10=20

x+y=4

設(shè)NF=X,BE=y,則<0≤x<8，解得:

0≤x≤4

0≤y≤8

：.EF2=(x-y)2+100=(2χ-4)2+100,

令人(X)=(2χ-4)2+100(0≤x≤4),則力(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)

上單調(diào)遞增，

又h(0)=16+100=116,h(2)=100,h(4)=16+100=116,Λ∕ι(X)∈[100,116],

.?.EF∈[10,2√29];

綜上所述：折痕長的取值范圍為[8,2√29];

.?.折痕長的最大值為2√^CIT-

第8頁(共26頁)

情形①情形③

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)的實際應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

3?（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）某科技有限公司為了鼓勵員工創(chuàng)新，打破發(fā)達國家的芯片壟

斷，計劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2018年全年投入的研發(fā)資金為200萬元，在

此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始

超過400萬元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù)：1.16=1.77,l.l7=l.95,1.18=2.14,1.19=2.36）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】函數(shù)思想：數(shù)學模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應用：邏輯推理.

【分析】設(shè)第〃年開始400萬元，由題意，列出關(guān)于〃的不等式，求解即可.

【解答】解：設(shè)第〃年開始超過400萬元，

則200X（1+10%）B_2O'8>4OO,即LI""。1〉？,

因為1.17=1.95,1.18=2.14,

所以當〃-2018=8,即〃=2026時，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過400萬元.

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)模型的選擇與應用，解題的關(guān)鍵是建立符合條件的函數(shù)模型，

分析清楚問題的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此類問題求解的一般步驟是：建立函數(shù)模型，

進行函數(shù)計算，得出結(jié)果，再將結(jié)果反饋到實際問題中指導解決問題，考查了邏輯推理

能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

4.（2021秋?福州期中）若某商店將進貨單價為6元的商品按每件10元出售，則每天可銷

售100件，現(xiàn)準備采用提高售價、減少進貨量的方法來增加利潤.已知這種商品的售價

每提高1元，銷售量就要減少10件，那么要保證該商品每天的利潤在450元以上，售價

應定為（）

第9頁（共26頁）

A.11元B.11元到15元之間

C.15元D.10元到14元之間

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題：函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】由題意列出關(guān)于利潤的解析式，再求利潤在450元以上的X的范圍.

【解答】解：設(shè)每件商品的售價提高X(0<x<10)元，

則每件獲得利潤(4+x)元，每天可銷售(100-IOx)件.

設(shè)該商品每天的利潤為y元，則

由題意有y=(4+x)(100-10x)=-10X2+60X+400,

要保證每天的利潤在450元以上，

貝U-10X2+60X+400>450,Y-6+5<0,

得l<x<5,

故每件商品的售價在11元到15元之間時，能確保該商品每天的利潤在450元以上.

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)在實際生活中的應用，屬于中檔題.

5.(2021秋?福州期中)唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說“白日登山望烽火，黃

昏飲馬傍交河詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望

烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在

平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為y+fWl,若將軍從點/(3,0)處出發(fā)，河岸

線所在直線方程為x+y=4,并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲

馬”的最短總路程為()

A.3√2-lB.2C.√17D.√17-1

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】設(shè)點/關(guān)于直線x+y=4的對稱性4(a,b),軍營所在區(qū)域的圓心為C,則4C

-1為最短總路程，再結(jié)合/與才關(guān)于直線x+y=4對稱，求出H的坐標，再結(jié)合兩點

之間的距離公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)點/關(guān)于直線x+y=4的對稱性4(α,b),軍營所在區(qū)域的圓心為C,

則HC-I為最短總路程，

第10頁(共26頁)

N4的中點為(至3,土)，直線441的斜率為1,

22

故直線44,為V=X-3,

'a+3b_

由.2+2^，解得。=4,6=1,

,b=a-3

22Ac=

所以A'C=y∣(4-O)+(I-O)=√17，即'V17-1?

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，考查計算能力，屬于中檔題.

6.(2021秋?福州期中)唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，

黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀

望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？

在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在地為點8(-2,3),若將軍從點力(2,0)處出發(fā)，

河岸線所在直線方程為x+y=3,則“將軍飲馬”的最短總路程為()

A.√26B.√31C.√29D.√34

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】利用點關(guān)于點的對稱點的求法，求出點/關(guān)于直線x+y=3的對稱點4,由三點

共線取得最小值，結(jié)合兩點間距離公式求解即可.

【解答】解：由題意可知，點/(2,0),

則點N(2,0)關(guān)于直線x+y=3的對稱點為N'(a,b),

-1×?=1

則1,解得〃=3,b=l,

故4(3,1),

又軍營所在地為點8(-2,3),

所以“將軍飲馬”的最短總路程為⑷SI=J(3+2)2+(1.3)2=曬-

故選：C.

【點評】本題考查了直線在實際生活中的應用，點關(guān)于直線的對稱點的求解，兩點間斜

率公式以及兩點間距離公式的應用，兩條直線垂直的充要條件的運用，考查了邏輯推理

能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

第11頁(共26頁)

7.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內(nèi)都

含有微量的放射性μtC,動植物死亡后，停止新陳代謝，UC不再產(chǎn)生，且原有的"C會

自動衰變.經(jīng)科學測定，Mc的半衰期為5730(設(shè)∣4C的原始量為1,經(jīng)過X年后，Mc

的含量/(x)="，即/(5730)=A).現(xiàn)有一古物，測得∣4C為原始量的79.37%,則

該古物距今約多少年？()(參考數(shù)據(jù)：需七0.7937,573^Σ≈?0.9998)

A.1910B.3581C.9168D.17190

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題：函數(shù)思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】由/(5730)?可得a,令/(x)=0.7937,得X=IOg“0.7937,利用

換底公式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出X的值.

【解答】解：設(shè)MC的原始量為1,經(jīng)過X年后，∣4C的含量/(χ)=",

由題意可知：/(5730)=工，即a5730=L,

2a2

令f(x)=0.7937,得：益=0.7937,

11

J11!I__573O

1910,

5?-14

該古物距今約19核年.

故選：A.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際應用，考查了對數(shù)的運算，是中檔題.

8.(2020秋?福州月考)〃gisac模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領(lǐng)域.有學

者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)/(f)(，的單位：天)KLogistic

模型：I(t)=----b其中K為最大確診病例數(shù).當/(f*)=0.95K時，標

1vτ7

?1+θ-0.23(t-50)

志著已初步遏制疫情，則廣約為()(參考數(shù)據(jù)/M9七3)

A.60B.62C.66D.63

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學建模.

第12頁(共26頁)

【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程-------J-----------=0.95K,解出，即可.

1+θ-0.23(t*-50)

【解答】解：由已知可得-------L----------r=0.95K,解得/0233-50>=」一

1+e-0?23(t*-50)19

兩邊取對數(shù)有-0.23G*-50)

解得f*=63,

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)模型的實際應用，考查學生計算能力，是基礎(chǔ)題.

9.(2019秋?倉山區(qū)校級期末)有一組實驗數(shù)據(jù)如表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()

A.y-2x+1-1B.y-x2-1C.y=2log”D.y-xi

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題：函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】利用函數(shù)的表格關(guān)系判斷函數(shù)的解析式的可能性，然后驗證求解即可.

【解答】解：由函數(shù)的表格可知，函數(shù)的解析式應該是指數(shù)函數(shù)類型與二次函數(shù)的類型，

選項C不正確；

當x=2.01時，j∕=2v+1-1>4；y=x2-1?=3,y=xi>1,

當X=3時，y=2r+l-1=15；y=x2-1≈8,y=x3=21,

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)的解析式的判斷與應用，函數(shù)的模型的應用，是基礎(chǔ)題.

10.(2021春?平潭縣校級期末)已知函數(shù)/(x)=旦-Iog.χ,在下列區(qū)間中，包含/(x)

X2

的零點的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)

【考點】二分法的定義與應用.

【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】函數(shù)/(x)在其定義域上連續(xù)，同時可判斷/(4)<0,/(2)>0：從而判斷.

【解答】解：函數(shù)/(x)=f(x)=I-Iogχ,在其定義域上連續(xù)，

第13頁(共26頁)

f(4)=S-2V0,

2

/(2)=3-1>O；

故函數(shù)/(x)的零點在區(qū)間(2,4)上，

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)的零點的判斷與應用，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)岡珀茨模型｛y-kabz)是由岡珀茨(GomPertZ)提出，可

作為動物種群數(shù)量變化的模型，并用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種f年后的

種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：y=*o?el.4e7i25:(當/=。時，表示2020年初的種

群數(shù)量)，若機(∕M∈N)年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，則

m的最小值為()(∕H2=≡0.7)

A.5B.6C.7D.8

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】由已知條件可得，當f=0時，當f=m時，P=/?e入"尸"：

由"？("7∈N)年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，可得

12δs

1.4e-°-<lk1.4再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.

κ0e2κ。巳

【解答】解：?.>=%o?el.4e-"25:,

當/=0時，V=k0?eL4,

λ5

.?.當尸〃1時，j=ko.el?4e'-=,

?；"?(∕n∈N)年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，

j,12os

?1.4e^<111.4

??k0?e5,?e，

由題可知，酎是大于0的常數(shù),即2?el?4e-012M<el?4,兩邊取對數(shù)可得,∕n2+1.4e

-0?l25m<1.4,

V∕∏2≈O.7,

.?.-O.兩邊取對數(shù)可得，-0.∣25∕n<-∕∏2=?≈-0.7,解得m>5.6,w∈N*,

2

故m的最小值為6.

第14頁(共26頁)

故選:B.

【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）某高校為加強學科建設(shè)，制定了第“十四五”（2021-2025）

規(guī)劃，計劃逐年加大科研資金投入，已知該校計劃2021年全年投入科研資金20萬元，

2025年全年投入科研資金28萬元，則第“十四五”期間，投入科研資金的年均增長率約

為（）

11

A.1.4T-IB.1.45-1C.Iogi.45-1D.logι.44-1

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】設(shè)年增長率為X,由題意可得，20（1+X）4=28,解出X的取值范圍，即可求解.

【解答】解：設(shè)年增長率為X,由題意可得，20（l+x）4=28,即（l+χ）4具?=ι.4.

11

所以l+x=L4了’解得X=L￡-1，

?

故投入科研資金的年均增長率約為1.4y.1.

故選：A.

【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，掌握指數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基

礎(chǔ)題.

二.填空題（共4小題）

13.（2021春?臺江區(qū)校級期末）放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系

變化.常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话胨?jīng)歷的時間稱為它的半衰期，記為T-現(xiàn)測

~2

得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時間t變化的6次數(shù)據(jù)如表:

/（單位時間）0246810

A⑺3202261601158057

從以上記錄可知這種元素的半衰期約為4個單位時間,剩余質(zhì)量隨時間變化的衰變

公式為力（/）=—320-24式20）.

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

第15頁（共26頁）

【分析】首先觀察表格，根據(jù)半衰期的定義，可得半衰期為4個單元時間，初始質(zhì)量為力

(O)=320,根據(jù)題意可知此模型是指數(shù)函數(shù)模型，且底數(shù)為工，指數(shù)為經(jīng)過的時間除

2

以半衰期，結(jié)合初始質(zhì)量，即可求解.

【解答】解：從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個單位時間，由初始質(zhì)量為/o=32O,則經(jīng)過

t

時間，的剩余質(zhì)量為/(E)=A0(^^")T=320*24C0)?

A(t)=A0■(y)^=320?2-^-心0).

~2

故答案為：4,320?24(∕?:0)?

【點評】本題考查了函數(shù)模型的實際應用，關(guān)鍵是理解半衰期的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2021秋?福州期中)為了參加校教職工運動會，某校高三年級組準備為本年級教師訂

制若干件文化衫，經(jīng)與廠家協(xié)商，可按出廠價結(jié)算，同時廠家也承諾超過50件就可以每

件比出廠價低22元給予優(yōu)惠.如果按出廠價購買年級組總共應付α元，但若再多買15

件就可以達到優(yōu)惠條件并恰好也是共付。元(”為整數(shù))，則a的值為3960.

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】設(shè)按出廠價購買X(xW50)套，應付。元，出廠價為y元，則有“=xy(x≤50)

①，再多買15套，就可以按優(yōu)惠價結(jié)算恰好也付α元，則有α=(x+15)(7-22)(x+15

>50)②，聯(lián)立①②，再結(jié)合X,α為整數(shù)，即可求解.

【解答】解：設(shè)按出廠價購買X(x≤50)套，應付α元，出廠價為y元，

則有α=V(x≤50)①，

再多買15套，就可以按優(yōu)惠價結(jié)算恰好也付α元，

則有α=(x+15)(y-22)(x+15>50)②，

聯(lián)立①②可得，孫=xy+15y-22χ-330,即y=Z^i+22(35<x≤50),

15

為整數(shù)，α為整數(shù)，

.".x=45,y=88,

故。=肛=45義88=3960.

故答案為：3960.

第16頁(共26頁)

【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2022?福州模擬)某地在20年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP的值P(單位：億元)與時間

t(單位：年)之間的關(guān)系為P(Z)=P(1+10%),,其中P為f=0時的產(chǎn)值.假定P=

2,那么在f=10時，GDP增長的速度大約是0.52.(單位：億元/年，精確到0.01

億元/年)注：1.1∣°^2.59,當X取很小的正數(shù)時，In(l+x)≈x.

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】由題可得Gz)尸增長的速度為尸(f)=2×1.1‰1.1,進而即得.

【解答】解：由題可知P(Z)=2(1+10%),=2×1.1,.

所以PG)=2X1.1'加1.1,

所以P(IO)=2×1.?l0∕n1.15?2×2.59×0.1=0.518^0.52,

即GDP增長的速度大約是0.52.

故答案為：0.52.

【點評】本題主要考查函數(shù)模型及其應用，對數(shù)及其近似運算等知識，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2021春?鼓樓區(qū)校級期末)根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的第七次全國人口普查結(jié)果顯示，截

止2020年底，我國總?cè)丝跀?shù)約為14億，同2010年第六次全國人口普查數(shù)據(jù)相比，年平

均增長率約為0.53%.若按此增長率，30年后我國人口總數(shù)約為16.4億:為應對人

口老齡化帶來的挑戰(zhàn)，改善我國人口結(jié)構(gòu)，保持我國人力資源稟賦優(yōu)勢，黨中央進一步

優(yōu)化了生育政策：若希望30年后，在中華人民共和國建國百年左右，我國人口超過20

億,那么人口年平均增長率應不低于1.2%.(精確到0.1)(參考數(shù)據(jù)：1.005330^

1.1718,100005≈1.0116,?7≈0.85)

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學建模；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)年平均增長率約為0.53%求解；設(shè)年平均增長率為p,由14(1+p)30>20

求解

【解答】解：因為2020年底，我國總?cè)丝跀?shù)約為14億，且年平均增長率約為0.53%,

所以30年后我國人口總數(shù)約為14(1+0.53%)30=14X1.OO533θ≈=14X1.1718=16.4；

設(shè)年平均增長率為p,

由題意得：14(1+p)3θ>2O,

第17頁(共26頁)

則（ι?）30>M

兩邊取對數(shù)得30∕g（1+p）>1-∕g7≈0.15,

即Ig（1+p）>0,005,

所以l+p>100?005≈1.0116,

解得∕j>0.0116,

所以人口年平均增長率應不低于1.2%,

故答案為：16.4,1.2.

【點評】本題考查指數(shù)運算，考查指數(shù)方程的解法，考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素

養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

Ξ.解答題（共5小題）

17.（2021秋?福州期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟環(huán)保，至今

還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理,

如圖1是一個半徑為R（單位：米），有24個盛水筒的筒車，按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，

轉(zhuǎn)一周需要120秒，為了研究某個盛水筒尸離水面高度人（單位：米）與時間，（單位：

秒）的變化關(guān)系，建立如圖2所示的平面直角坐標系XQy?已知f=0時尸的初始位置為

點/（2,-2√3）（此時P裝滿水）.

斗

。1'.

圖1圖2

（1）尸從出發(fā)到開始倒水入槽需要用時40秒，求此刻尸距離水面的高度（結(jié)果精確到

0.1）；

（2）記與尸相鄰的下一個盛水筒為0,在筒車旋轉(zhuǎn)一周的過程中，求P與。距離水面

高度差的最大值（結(jié)果精確到0.1）.

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；三角函數(shù)模型的應用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

第18頁（共26頁）

【分析】(I)根據(jù)已知條件，先求出線段04按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了2兀X旦0L，再

1203

結(jié)合/點的坐標，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，分別求出尸開始轉(zhuǎn)動t秒后距離水面的高度加，。距離水面的高度

h2,則P,。距離水面的高度差”=肉-∕72∣,再結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，即可求解.

【解答】解：(1)由于簡車轉(zhuǎn)一周需要120秒,

所以P從出發(fā)到開始倒水入槽的40秒,線段OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了2兀χ∕L衛(wèi)L,

1203

因為/點坐標為(2,-2√3).則R=√22+(2√^)2=4,以。/為終邊的角為工，

3

所以尸距離水面的高度為4Xsin(―■?——)