第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)2

第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)2.1質(zhì)點(diǎn)組2.2動量定理與動量守恒律2.3動量定理與動量矩守恒律2.4動能定理與機(jī)械能守恒定律2.5兩體問題2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系2.7變質(zhì)量物體的運(yùn)動2.1質(zhì)點(diǎn)組(1)質(zhì)點(diǎn)組、內(nèi)力和外力

我們把由許多（有限或無限）相互聯(lián)系著的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)組中質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。質(zhì)點(diǎn)組以外的物體對質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力。

質(zhì)點(diǎn)組：內(nèi)力：外力：內(nèi)力的性質(zhì)對任何一對質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力,由牛頓第三定律知:證明::表示第個質(zhì)點(diǎn)對第個質(zhì)點(diǎn)的作用力.①質(zhì)點(diǎn)組中所有內(nèi)力的矢量和等于零。②質(zhì)點(diǎn)組的所有內(nèi)力對任一參考點(diǎn)的力矩的矢量和恒為零.是質(zhì)點(diǎn)pi相對pj的位矢,與共線.其中:⑵質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)組的全部質(zhì)量可認(rèn)為集中在某一點(diǎn)上，這一點(diǎn)我們就叫做質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心。質(zhì)心：

①如n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)量分別為：m1、m2

、

mn，對參考點(diǎn)的位矢是

其定義為：在直角坐標(biāo)系②質(zhì)量連續(xù)分布的體系(是質(zhì)元對參考點(diǎn)的位矢。)在直角坐標(biāo)系如果質(zhì)心恰好在坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)心位矢為③質(zhì)心和重心的區(qū)別質(zhì)心：重心：從定義上質(zhì)點(diǎn)組的全部質(zhì)量可認(rèn)為集中在某一點(diǎn)上，這一點(diǎn)我們就叫做質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心。作用于質(zhì)點(diǎn)系是重力的合力的作用點(diǎn)。二者不是同一點(diǎn)。特殊地，在地球表面附近，認(rèn)為重力加速度是常矢量時，物體的質(zhì)心和重心相互重合。2.2動量定理與動量守恒律⑴動量定理假設(shè)由n個質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)組，其中某一個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量mi為，對某慣性參考系坐標(biāo)原點(diǎn)O的位矢，作用其上的諸合力為質(zhì)點(diǎn)pi的運(yùn)動微分方程（i=1,2…n)∵∴由于是質(zhì)點(diǎn)的速度，對整個質(zhì)點(diǎn)系而言，有其中為質(zhì)點(diǎn)的組動量，等于質(zhì)點(diǎn)組諸質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和。為所有外力的矢量和?！嗷?qū)懗煞至啃问健|(zhì)點(diǎn)組的動量定理

質(zhì)點(diǎn)組的動量對時間的微商，等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上諸外力的矢量和。

或者說，質(zhì)點(diǎn)組的動量的微分，等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上諸外力的元沖量的矢量和。式中為質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量。為質(zhì)心的位矢。兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，得是質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的速度。⑵質(zhì)心運(yùn)動定理再由和可得其中是質(zhì)心的加速度?；蛸|(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)量中心是一個特定的幾何點(diǎn)，可以設(shè)想，在其上集中了質(zhì)點(diǎn)組的全部質(zhì)量，其加速度與外力的關(guān)系符合牛頓第二定律。質(zhì)心運(yùn)動定理：在直角坐標(biāo)系的分量形式質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上所有諸外力的矢量和，這就是質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心運(yùn)動定理。⑶質(zhì)心組的動量守恒定理

①當(dāng)質(zhì)心組不受外力或所受外力的矢量和為零，如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的諸外力在某一固定軸(設(shè)為x軸)上的投影之和為零,②例:一個重量為P的人,手拿一個重為Q的物體,以與水平線成角的速度向前跳。當(dāng)他跳到最高時，將物體以相對于他自己的速度水平向后拋出。問由于物體的后拋使人的跳遠(yuǎn)的距離增加了多少？解：忽略空氣阻力，則人和重物所組成的質(zhì)點(diǎn)組在水平方向的動量守恒。設(shè)是人在拋擲重物過程中所增加的水平速度，人對慣性參考系（地面）的水平速度為，物體對慣性參考系（地面）的水平速度為，則設(shè)從最高點(diǎn)到落地的時間為t，則

故，多跳的一段距離為2.3動量定理與動量矩守恒定律⑴對固定點(diǎn)的動量矩定理設(shè)由個質(zhì)點(diǎn)所形成的質(zhì)點(diǎn)組，則每個質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程為

從左面矢乘，并對i求和（是質(zhì)點(diǎn)組

中任一質(zhì)點(diǎn)Pi對慣性系中某固定點(diǎn)的位矢）。

質(zhì)點(diǎn)組的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)組對任一固定點(diǎn)的動量矩對時間的商，等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上諸外力對同一點(diǎn)的力矩的矢量和。

質(zhì)點(diǎn)組的動量矩的微分形式等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上諸外力的沖量矩的矢量和。在直角坐標(biāo)系的分量形式其在直角坐標(biāo)系的分量形式質(zhì)點(diǎn)組的動量矩的積分形式①如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的諸外力在某一固定點(diǎn)的合力矩為零,即如果，但對通過原點(diǎn)的某一標(biāo)軸(設(shè)為x軸)上的合力矩為零,則該方向動量矩守恒。②⑵動量矩守恒定律⑶對質(zhì)心的動量矩定理①質(zhì)心坐標(biāo)系:在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，除以定點(diǎn)o為原點(diǎn)建立慣性系，o-xyz外通常還以質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心c為質(zhì)建立一個平動坐標(biāo)系c-x`y`z`，而質(zhì)心c在靜止系中的位矢仍用表示。c-x`y`z`為平動的非慣性系，稱為質(zhì)心坐標(biāo)系或質(zhì)心系。②對質(zhì)心系c-x`y`z`中的動量矩定理設(shè)體系中第個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，相對質(zhì)心的坐標(biāo)為，則它在質(zhì)心坐標(biāo)系中的運(yùn)動微分方程為用從左面矢乘兩邊得，并求和結(jié)論：

在繞質(zhì)心的相對運(yùn)動中，質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的動量矩的時間變化率，等于各外力對質(zhì)心力矩的矢量和，這就是質(zhì)心系對其質(zhì)心的動量矩定理。對質(zhì)心的慣性力矩的總和為零。⑷質(zhì)心系中的動量矩守恒定律例：質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為的光滑直角劈下，劈的本身，質(zhì)量為，又可在光滑水平面上自由滑動。試求①質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度;②劈的加速度;③劈對質(zhì)點(diǎn)的反作用力R1;④水平面對劈的反作用力R2.令為沿斜面下滑的速度（相對），則由圖1知:（非慣性系）對m1有⑴質(zhì)點(diǎn)組的動能定理

由n個質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)組，其中任選一個質(zhì)量mi為，位矢為(對定點(diǎn)o)的質(zhì)點(diǎn)pi,作用在該質(zhì)點(diǎn)上所有內(nèi)力和外力的矢量和,分別為

,則質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)動能的微分等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上外力及內(nèi)力所做元功之和,即其中,是質(zhì)點(diǎn)的速度,則是它的位移。

2.4動能定理與機(jī)械能守恒定律對i求和若用T表示質(zhì)點(diǎn)組的動能，則由此可知，質(zhì)點(diǎn)組的動能定理：質(zhì)點(diǎn)組動能的微分，等于諸外力及諸內(nèi)力所做元功之和。注意

①在動量定理和動量矩定理中，內(nèi)力均因相等相反而消去；②在質(zhì)點(diǎn)組動能定理中，內(nèi)力所作元功之和一般不能互相抵消，即質(zhì)點(diǎn)組的動能并不一定守恒；

③對特殊的質(zhì)點(diǎn)組—剛體來說，內(nèi)力不作功，即內(nèi)力所作元功之和為零。

下面就讓我們對第二點(diǎn)進(jìn)行證明。

設(shè)第一個質(zhì)點(diǎn)相對于定點(diǎn)o的位矢是，第二個質(zhì)點(diǎn)相對于定點(diǎn)o的位矢是，第一個質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)力為,第二個質(zhì)點(diǎn)所受的為，且證明對于一般的質(zhì)點(diǎn)組來說，由于其質(zhì)點(diǎn)間的相對位置可以改變，所以內(nèi)力的功之和不等于零。⑵機(jī)械能守恒定律如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的所有外力及內(nèi)力都是保守力（或其中只有保守力作功）時，才機(jī)械能守恒。⑶柯尼希定理

c-x`y`z`系的原點(diǎn)固著在質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心c上（即質(zhì)心坐標(biāo)系）,c-x`y`z`系相對于o-xyz系平動。質(zhì)點(diǎn)組中某一質(zhì)點(diǎn)pi對定點(diǎn)o的位矢為，對c的位矢為，而c對o的位矢則為。⑷對質(zhì)心的動能定理在c-x`y`z`中，對質(zhì)點(diǎn)mi應(yīng)用第二定律，得質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能定理質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能的微分，等于質(zhì)點(diǎn)組相對于質(zhì)心系位移時內(nèi)力及外力所作元功之和。說明：質(zhì)心雖是動點(diǎn)，但慣性力所作功

元之和為零，因為慣性力的矢量和通過c點(diǎn)，位移為零。2.5兩體問題⑴兩體問題的含義我們通常把僅受相互作用的內(nèi)力、不受任何其他外力作用的兩個質(zhì)點(diǎn)（物體）組成的系統(tǒng)，稱為兩體問題。（如太陽與一個行星，粒子和原子核。）⑵兩體問題動力學(xué)方程及守恒量由上可知以下論斷①系統(tǒng)(P,S)的質(zhì)心將按慣性運(yùn)動；②太陽和行星都繞它們的質(zhì)心作圓錐圓錐運(yùn)動.

對系統(tǒng)(S,P)而言，萬有引力是內(nèi)力，故前者即可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動量守恒定律得出，而后者可從它們相對于質(zhì)心的動力學(xué)方程得出.下面就讓我們給以證明.由上可知，力仍與距離的平方成反比，故由§1.9，知行星繞(S,P)系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動。（太陽的也是如此）說明⑶開普勒第三定律的修正而按開普勒第三定律，上式的右方應(yīng)該等于1。故該定律只具有近似性質(zhì)，只在m1及m2都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于M時才是正確的。⑷知識拓展沒有考慮行星間的相互吸引屬于兩體問題；考慮任一行星還要受到其他行星的吸引則屬于多體問題。

而多體問題一般只能用微擾的方法來近似求。2.6質(zhì)心坐標(biāo)系與實驗室坐標(biāo)系

質(zhì)心坐標(biāo)系：在隨著質(zhì)心運(yùn)動的坐標(biāo)系中觀測。實驗室坐標(biāo)系：在靜止坐標(biāo)系中來觀察。⑴實驗室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系

⑵兩種坐標(biāo)系中彈性散射的不同結(jié)果①兩種坐標(biāo)系中看到的彈性散射現(xiàn)象（如下圖）

②兩坐標(biāo)系中散射角的相互關(guān)系

設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為

，散射角在實驗室坐標(biāo)系中為θr，在質(zhì)心系中為θc，可由相對運(yùn)動速度的合成關(guān)系（見右圖）

將它投影在水平方向與垂直方向,可求得

為了消去

,并用質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量表示，可利用質(zhì)心的定義并以r表示質(zhì)點(diǎn)2相對質(zhì)點(diǎn)1的位置矢量，由

,

可得到用散射角θr用質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量

表示的形式：

特例（1）重核散射（如α粒子散射）時