2023年中考數(shù)學二次函數(shù)中的面積問題

2023中考數(shù)學二次函數(shù)中的面積問題

【三角形面積求法】

(1)公式法：底X高÷2

S>ABCzz—AB?CE

2

(2)割補法，“鉛垂高、水平寬”

D

ABC=SABCD

5?ABGSAACD+5ΔBCDSAACD-SA

=-CDAE+-CDBF=-CDAE--CDBF

2222

=-CD(AE+BF)=-CDBG

22

=-CDBG其中，稱C0為△ABC的鉛垂高，8G為AABC的水

2

平寬.

(3)相似(三角函數(shù))法

如圖，易知∕GBA=NDCH=a,則COS∕GBA=cos∕QCH,

，一=——，即BGCD=ABCH

ABCD

J--BGCD=-ABCH=SAABC

22

【典例剖析】

例題1.(2021.遼寧省阜新中考)在平面直角坐標系中，拋物線y=α√+fev-3交X軸于點

2

A(-l,0),8(3,0),過點3的直線y=；x-2交拋物線于點C.

(I)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點P是直線8C下方拋物線上的一個動點(P不與點8,C重合)，求PBC面積的

最大值.

【鞏固練習】

練習1.(2021?黑龍江齊齊哈爾中考)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=θv?+2X+C("H0)與X軸交于點A、B,與y軸交于

點C,連接BC,OA=I,對稱軸為42,點。為此拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線上C,。兩點之間的距離是

(3)點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接BE和CE.求BCE面積的最大值.

【課堂練習】

【練習2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=aχ2+4x+c與y軸交于點A（0,5）,與

X軸交于點E,B,點B坐標為（5,0）.

（1）求二次函數(shù)解析式及頂點坐標；

（2）過點A作AC平行于X軸，交拋物線于點C,點P為拋物線上的一點（點P在Ae上方

）,作PD平行于y軸交AB于點D,問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并

4

【練習3】（2022煙臺）如圖，已知直線y=]X+4與X軸交于點4與y軸交于點C,拋物

線＞=〃/+法+c經(jīng)過A,C兩點，旦與X軸的另一個交點為3,對稱軸為直線X=-L

(2)O是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點。的橫坐標為如求四邊形A3。面積S的最

大值及此時。點的坐標；

(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P,Q,使以點A,C,P,。為頂點的四邊形

是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P,Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

【練習4].已知二次函數(shù)y=0√+bx+c的圖像經(jīng)過三點A(T,0),B(4,0),C(0,3).

(1)求二次函數(shù)的表達式.

(2)二次函數(shù)的圖象上若有兩點(g，yj,(桃、2)且根據(jù)圖象直接寫出機的取值范

圍.

(3)點。是第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上的一動點，作軸交8C于點E,作。尸±BC

于點尸.當。點運動時，求一。所面積的最大值

【練習5].如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=0χ2+"+c?(α≠θ)的頂點坐標為

C(3,6),并與y軸交于點3(0,3),點A是對稱軸與X軸的交點.

圖①

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①所示，P是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，連接8P,AP,求-ABP的面積

的最大值;

(3)如圖②所示，在對稱軸AC的右側(cè)作ZAa)=30。交拋物線于點。，求出。點的坐標；并

探究：在)，軸上是否存在點。，使NCQo=60。？若存在，求點。的坐標；若不存在，請說

明理由.

【練習6】如圖，直線y=gx+g與X軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=”(x-l)2-2

備用圖

(1)求出拋物線解析式的一般式;

(2)拋物線上的動點。在一次函數(shù)的圖象下方，求，A8面積的最大值，并求出此時點。的

坐標;

3

⑶若點P為X軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求P。+SPA的最小值.

答案與解析

【典例剖析】

例題1.(2021?遼寧省阜新中考)在平面直角坐標系中，拋物線y=αχ2+6x-3交X軸于點

2

A(-l,0),8(3,0),過點8的直線y=gX-2交拋物線于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點P是直線BC下方拋物線上的一個動點(P不與點B,C重合)，求PBC面積的

最大值.

2125

【答案】(1)y=x-2χ-3i(2)看.

27

【解析】解：(1)將點A(—1,0),B(3,0)代入y=0r2+6χ-3中，得：

?0=α-?-3

[θ=9α+3b-3

解得：a=?,b=-2

即拋物線表達式為：y=N-2χ-3.

(2)方法一：割補法

如圖，過C、P分別作X軸的垂線，垂足為H,Q,連接尸〃

則SAPBc=SAPCH+ShPRH~~SABCH

=；CHQH+^BHPQ-?×CHBH

設(shè)尸(團，病一2加一3),其中一,<"zv3,

3

2

聯(lián)立盧^主一2,y=x2-2x~3,得:

?120

Λ=3,y=m0;X=——，y=-----

39

CH=,QH-tnjr?,BH=與,PQ=—〃/+2m+3,

m,.o120,1110z)c12010

則SΔPBC=-X—(—)H—X—(—in+2∕M+3)——×—X—

29323293

4125

???當m=時，面枳取最大值，最大值為一.

327

貝IJS△PBc=S*PCt÷S?PBE

=LPE(CF+BD)

2

JPE(3+2)

23

12

設(shè)尸(m,∕n2-2/n—3),其中——<∕π<3,則Ei(∕n,-m-2)

339

28

PE=-2—(∕w2-2/7?-3)=-/772+—ιn+1

33

:.…L(—日］/+1)XW

233

3327

^Γ0-

4125

當m=—時,△詠面積取最大值，最大值為萬

3

如圖，過點P作PH_LBC于H,過P作。例J_x軸于M,交BC于D,過點C作C。Lt軸于

Q，

則N"PO=NA8C,

ΛRtΔPDHSR於BCQ

PHPD

忘=”，即PHBC=BQPD

D?JOC

:，SAPBLLBCpH

2

=^BQPD

12

設(shè)P("7,∕n2-2/?i—3),其中——<m<3,則。(①，—/H—2),

33

L?IOz8ɑ

SXPBC=—×—×(—nι72+—m+1)

233

4125

???當加=2時，APBC面積取最大值，最大值為匕.

327

【鞏固練習】

練習1.（2021?黑龍江齊齊哈爾中考）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=〃/+24+8。工0）與工軸交于點4、B,與y軸交于

點C連接BC,OA=If對稱軸為x=2,點。為此拋物線的頂點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上C,。兩點之間的距離是；

（3）點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接BE和CE.求3CE面積的最大值.

【答案】（1）y=~~χ2++~；（2）2?∣2;（3）.

22Io

2

【解析】解：（1）Y拋物線尸*++c的對稱軸為戶一三二2,

2x2a

a=--,即y=--x2+2x+c,

22

VOΛ=1,A在拋物線上，

則將A（—1,0）代入y=-gχ2+2χ+c得：c=-∣,

即拋物線的解析式為：尸-；N+2x+|.

1595

（2）由）=-7/+21+7知，。點坐標為（2,■-）,C（0,■—）

2222

.?.CO=J（2-0尸+D2夜，

故答案為：2√L

⑶

設(shè)E(加，加+2/〃+一),

22

如圖，連接OE過E作坐標軸垂線，垂足分別為F、H,

貝IJSΔBCE=SAOCE÷SΔOBE-S?OBC

=-OGEF+-OBEH--OBQC

222

1511?5?15

=-X—×∕w+-×5×z(—m?2+2∕τ?+-)——×c5×-

2222222

55?125

=----("z7——)x2+-------

4216

S1?5

當時，ABCE面積取最大值，最大值為

2Io

方法二：鉛垂高?水平寬法

如圖，過點E作X軸的垂線，交BC于點F,

由A(-1,0),拋物線對稱軸為42,得B(5,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

'5k+b=0

將點8、C坐標代入得：L5,

?=-

2

k=--

2

解得：，

b=-

2

則直線BC的解析式為：y=-1χ+^,

22

設(shè)點E1的坐標為(團，--m2+2m+-),則Z7(〃?，--m+-),則Ov<5,

2222

則EF=-?m2+2m+——(〃任—)

2222

-m2+-m

22

SABeFgOBEF

2

—(—∕n2÷—m)×5

222

5")2+生

4216

當∕n=∣5■時，ABCE面積取最大值，最大值為1寓25.

方法三：公式+相似法

如圖，過點E作EHLBC于H,過E作EFJ_》軸于尸交8C于M,

易知NCBo=/HEM,

則RmOBCSRmHEM

.BC_

—,即BCEH=OBEM

"EMHE

SABCFgBCEH

2

=LOBEM

2

當,〃=：5時，48CE面積取最大值，最大值為125

2Io

【課堂練習】

【練習2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=aχ2+4x+c與y軸交于點A(0,5),與

X軸交于點E,B,點B坐標為(5,0).

(1)求二次函數(shù)解析式及頂點坐標；

(2)過點A作AC平行于X軸，交拋物線于點C,點P為拋物線上的一點(點P在AC上方

),作PD平行于y軸交AB于點D,問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并

【解析】試題分析：(1)用待定系數(shù)法求拋物線解析式，并利用配方法求頂點坐標；

(2)先求出直線AB解析式，設(shè)出點P坐標(x,-χ2+4x+5),建立函數(shù)關(guān)系式S叫邊柩

APCD=-2X2+10X,根據(jù)二次函數(shù)求出極值；可得P的坐標.

試題解析：

(1)把點A(0,5),點B坐標為(5,0)代入拋物線y=冰2+4χ+C中，

,c=5」,a--X

得：｛?4UC，解得：｛U，

25α+4χ5+c=0c=5

..?拋物線的解析式為：y=+4x+5=—(x-2)2+9,

二頂點坐標為(2,9)；

(2)設(shè)直線A8的解析式為：y^mx+n,

A(0,5),B(5,0),

n=5

/.(八，

5ιn+H=0

m--?

解得：｛,學科％網(wǎng)

n=5

/.直線AS的解析式為：y=-χ+5,

設(shè)P(x,-x2+4x+5),則Z)(X-X+5),

：.PD=(-W+4x+5)-(-x+5)=-X2+5x,

???點C在拋物線上，且縱坐標為5,

C(4,5),

.'.JC=4,

v-2<0,

二S有最大值，

二當X=I?時，S有最大值為與，

22

此時尸ER

4

【練習3】(2022煙臺)如圖，已知直線y=§x+4與X軸交于點A,與y軸交于點C,拋物

線y=θχ2+%χ+c經(jīng)過A,C兩點，且與X軸的另一個交點為8,對稱軸為直線X=-L

(2)。是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點。的橫坐標為“，求四邊形ABCD面積S的最

大值及此時。點的坐標；

(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P,Q,使以點A,C,P,。為頂點的四邊形

是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P,Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

48

【答案】(1)y=^—X2^—x+4

33

253

(2)S最大=—,D(-——，5)

22

19

(3)存在，Q(-2,—)

8

【解析】

【分析】(1)先求得A,C,8三點的坐標，將拋物線設(shè)為交點式，進一步求得結(jié)果；

(2)作。f?AB于R交AC于E,根據(jù)點。和點E坐標可表示出DE的長，進而表示出三

角形AoC的面積，進而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進一步求得結(jié)果；

(3)根據(jù)菱形性質(zhì)可得%=PC進而求得點尸的坐標，根據(jù)菱形性質(zhì)，進一步求得點。

坐標.

【小問1詳解】

解：當X=O時，y=4,

：.C(0,4),

4

當y=0時，-x+4=0,

3

Λx=-3,

,A(-3,0),

???對稱軸為直線X=-1,

：.B(1,0),

；?設(shè)拋物線的表達式:y=a(X-I)?(x+3),

.?.4=-3m

4

.?α=--,

3

448

拋物線的表達式為：y-(X-I)?(x+3)=X2—x+4；

333

【小問2詳解】

如圖1,

484

.".Dz(m,----tn2----m+4),E(m,-----nι+4),

333

4844,

DE=----m^----2m+4-(—ιn+4)=-----m2-4m,

3333

134

SAADC=-DE-OA-—?(----m2-4m)--2m2-6∕n,

223

"?'S∕?Aβc~—AB?OC——X4×4=8,

22

325

.,.S=-2m2-6∕w+8=-2(，*+—)2+—,

22

,3上25

當in----時，S戢大=—,

22

3433

當機=時，y-----×(-------1)x(-----F3)=5,

2-322

3

.".D(--,5)；

2

【小問3詳解】

設(shè)P(-1,〃),

?；以A,C,P,Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形,

：.PA=PC,

即：B^=Pc2,

.?.(-1+3)2+n2=l+(〃-4)2,

13

"."XP+XQ=XA+XC>yp+y2=y4+yc

1319

.".XQ=-3-(-1)=-2,yρ=4------=—，

88

19

：.Q(-2,—).

8

【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵

是熟練掌握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì)。

【練習4].己知二次函數(shù)y=浸+W+C的圖像經(jīng)過三點A(T,0),B(4,0),C(0,3).

(1)求二次函數(shù)的表達式.

(2)二次函數(shù)的圖象上若有兩點(g，yj,(加，必)且％<%，根據(jù)圖象直接寫出的取值范

圍.

(3)點。是第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上的一動點，作。E〃y軸交BC于點E,作。尸±BC

于點F.當。點運動時，求OEb面積的最大值.

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)設(shè)二次函數(shù)表達式為y="χ+ι)(χ-4),將C(0,3)帶入二次函數(shù)得：

“xlx(T)=3,求出α的值，即可得到答案；

(2)直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象觀察即可得到答案；

(3)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)機m+3,則點￡(加-5“+3),

則OE=_q〃z2+；,〃+3_(_q〃2+3)=_：,w2+3,"=_|(,〃_2)2+3,當當m=2時，DEmaX=3,

43

易證aDFEscBOC,從而得到=MDEEF=-DEf因此

S"EF=!OF?EF=OEXmOE=三計算即可得到答案.

225525

【詳解】(1)解：由交點式設(shè)二次函數(shù)表達式為y=α(χ+l)α-4),

把C(0,3)帶入二次函數(shù)得：αχlχ(τ)=3,

3

解得：a=~,

4

?3g

二.二次函數(shù)表達式為y=-^?(x÷l)(x-4)=--X2+-x÷3；

3Q

(2)解：由(1)得，二次函數(shù)解析式為：y=-→2+→+3,

44

9

b4?

???對稱軸為X=一五=一

2×Γ4j

???：7關(guān)于X=3W對稱的點為1

222

二次函數(shù)的圖象上若有兩點((，乂)，(桃%)且％<%，

?7

「?由圖象口J得m的取值范圍為-G<"7<G；

(3)解：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b9

將B(4,0),C(0,3)代入得：

∫4?+?=0

[b=3

k=-3X

解得：,4,

b=3

3

?.?直線BC的解析式為y=--x+3,

9

4-則點+

39(3ftj2

則OE=一二根2+-772+3--—/W+3~~+3∕%=一：(〃z-2)~+3,

44I4

.?.當〃Z=2時，OEmaX=3,

。七〃y軸,

..NDEF=NOCB,

DFlBC,

:.ZDFE=NBoC=90°,

DFEStBoC,

.DFOBEFOC

'~DE~~BC'~DE~~BC'

OB=4,OC=3,

.?.BC=y∣OB2+0C2=√42+32=5，

DF4EF3

..---——，---=一,

DE5DE5

43

ΛDF=-DE,EF=-DE,

55

:.S=-DFEF=-x-DEx-DE=—DE2,

nFF225525

當I)E最大時，SADEF最大，即當加=2時，DEmax=3,

此時：—,「嘏。6=*9=||.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角形相似的判

定與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角形相似的判

定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.

【練習5].如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ɑχ2+6χ+c(ɑ≠0)的頂點坐標為

C(3,6),并與y軸交于點8(0,3),點A是對稱軸與X軸的交點.

圖①

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①所示，P是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，連接8尸,AP,求qΛBP的面積

的最大值；

(3)如圖②所示，在對稱軸AC的右側(cè)作ZAC。=30。交拋物線于點。，求出。點的坐標；并

探究：在)，軸上是否存在點Q,使NCQr>=60。？若存在，求點。的坐標；若不存在，請說

明理由.

【分析】(1)由題意可設(shè)拋物線解析式為y=α(x-3)2+6,將B(0,3)代入可得。=-；,則可

求解析式;

>>2

(2)連接/0,設(shè)/(〃,-]2+2〃+3),分別求出Sbp0=^n,Sapo=-?n+3n+pSλbo=^>

1O1ɑQl

所以SABP=SBOP+SAop_SABO=--N2+不九=一不(〃一十不，

ZZZZo

981

當時，S?切的最大值為?；

2o

(3)設(shè)。點的坐標為(f,-g產(chǎn)+2r+3),過。作對稱軸的垂線，垂足為G,則

DG=t-3,CG=6—(—t'+2t+3)=-f~—2t+3,在RtACGZ)中，CG=>∕3DG,所以

33

GQ-3)=g產(chǎn)-2f+3,求出D(3+3√5,-3),所以AG=3,GO=，連接AO,在RtADG

中，AO=AC=6,Nc4。=120。，在以A為圓心，AC為半徑的圓與)，軸的交點為Q點，此

時，NCQD=?ZCAD=60。，設(shè)。(0,機)，AQ為圓A的半徑，Ag2=OA2+QO2=9+m2=36,

求出血=3百或切=-3石，即可求Q.

【詳解】(1)拋物線頂點坐標為C(3,6),

???可設(shè)拋物線解析式為y=”(x-3)2+6,

將伙0,3)代入可得a=-；,

y=—x~+2x+3；

3

(2)連接尸0,

圖①

由題意，BO=3,AO=3,

設(shè)P(〃,+2”+3),

3

??SABP=SBOP+SAOP-SABo，

,

SBPo=2〃

19

Swo"-J+3〃+],

SABO=2，

?

CC?eC=-?,72^9192+81,

??sAtiP=sBOP+s.AOP~s,ABO~?Z+彳Z九二一Z彳⑺一Z彳)oV

981

.?.當〃=；時，S澳出的最大值為?；

28

(3)存在，設(shè)Z)點的坐標為(f,-g/+2f+3),

過。作對稱軸的垂線，垂足為G,

圖②

則OG=r-3,CG=6—(一；/+2r+3)=」/一21+3,

?.?ZAa)=30。，

.?.IDG=DC,

在RtZ?CGD中，CG=6DG,

/.?/?(z—3)=—/—2/+3,

3

?"=3+3√5或f=3(舍)

/.D(3+3√3,-3),

.,?AG=3,GD=3√3.

連接AD,在Rl4)G中，

；?AD=>]AG2+GD2=6<

：.AD=AC=6,ACAD=120°,

.?.在以A為圓心，AC為半徑的圓與y軸的交點為。點,

此時，ΛCQD=-ZCAD=60°,

設(shè)Q(O,M,AQ為圓A的半徑，

AQ2=OA2+QO2=9+m2,

：.AQ2=AC2,

.?.9+/=36,

?*?m=??/?或WJ=-3?∣3,

綜上所述：Q點坐標為(O,3>∕5)或(O,-3√5).

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠利用直角三角

形和圓的知識綜合解題是關(guān)鍵.

【練習6】如圖，直線y=gx+g與X軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=。(X-I)2-2

備用圖

(1)求出拋物線解析式的一般式；

(2)拋物線上的動點。在一次函數(shù)的圖象下方，求，ACD面積的最大值，并求出此時點。的

坐標；

3

⑶若點P為工軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求PD+gΛ4的最小值.

【分析】(1)利用函數(shù)