離心率的三大法寶

獲取更多資料關注公眾號：鉆研數(shù)學QQ資料群：955046678圓錐曲線離心率的三大求法離心率是圓錐曲線的一個重要特性，是刻畫圓錐曲線形態(tài)特征的基本量，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義(一個動點到定點的距離與這個動點到定直線的距離的比值)可知，離心率e的取值不同，所形成的曲線也是有差異的，具體如下：①②③橢圓離心率：0＜e＜1，用于刻畫橢圓的扁平程度，當e越接近1，橢圓越扁平；雙曲線離心率：e＞1，用于刻畫雙曲線兩支開口的大小程度，當e越大，雙曲線的開口就越大；拋物線離心率：e=1；接下來介紹三種求解圓錐曲線離心率e的方法。1.公式法：直接求出橢圓或者雙曲線a和c，再結合公式e=ca橢圓：e=1-b2a2例題1：已知橢圓的方程為x2+4y2=1，則試求橢圓的離心率。解析：將題目中已知的橢圓方程化成標準式：x2+y214=1，可知：a2=1，b2=14∴e=ca=32例題2：在等邊△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的中點，那么試求以B，C為焦點且過點D，E的雙曲線的離心率。BCBCAxy··DE設等邊△ABC的變成為4，并連接CD。且D為AB的中點，可得：|BD|=2，|CD|=23則可得雙曲線：2a=|CD|-|BD|=23-2即a=3-1，2c=|BC|=4，即c=2∴e=ca=23-1變式1：若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為F1(1，0)，F(xiàn)2(3，0)，試求橢圓的離心率。變式2：如果雙曲線的實半軸長為2，虛軸長為1，那么試求雙曲線的離心率2.解方程法：構造a與c的齊次方程利用題目中所給的特定關系得出橢圓或者雙曲線a，b，c的等量關系，這是求解此類題型的關鍵，然后根據(jù)b2=a2-c2(橢圓)或者b2=c2-a2(雙曲線)，構造a，c的齊次式，再轉化為關于e的一元二次方程。(1)線段長度等量關系例題：設雙曲線x2a2-y2b2=1的半焦距為c，直線L過(a，0)，b(0，b)兩點.已知原點到直線的距離為解析：根據(jù)已知可知L的方程為：bx+ay-ab=0由點到直線的距離公式可得：d=aba2+整理可得：4ab=3c2，兩邊平方，且將b2=c2-a2得16a2(c2-a2)=3c4，由e=ca，上式兩邊同時除以a整理可得：3e4-16e2+16=0解得e2=4或e2=43，即e=2或者變式1：設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1的左，右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF變式2：已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b(2)線段中點等量關系F1F2Mxy··P例題1：已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2-y2b2=1的兩焦點，以線段F1F2Mxy··P解析：∵△MF1F2為正三角形，∴M點的坐標為(0，3c)，F(xiàn)1點的坐標為(-c，0)∴點P的坐標為(-c2，3c2)，又點P在雙曲線x將P點坐標帶入雙曲線方程，且b2=c2-a2，e=ca整理得：e2-2e-2=0解得：e=1+3或者1-3(舍掉)∴e=1+3例題2：過點M(1，1)做斜率為的直線L與橢圓C：x2a2解析：設A點坐標(x1，y1)，B點坐標(x2，y2)將A，B坐標分別帶入橢圓可得：x12a2x22a①-②整理得：y1-y2又直線L的斜率k=y1-且M是AB的中點，則x1+x2=2，y1+y2=2帶入③式整理可得：a2=2b2④又b2=a2-b2，且e=ca解得：e=2變式1：設點F是雙曲線x2a2F2MxyABOL變式2：如圖，在平面直角坐標系xoy中，A1，A2，B1，B2為橢圓x2F2MxyABOLFFA1A2B1B2xTMOy變式3：如圖所示，已知不與坐標軸垂直的直線L交雙曲線C：x2a2-y2b(3)垂直，平行，相切和對稱的位置關系垂直：結合垂直的性質，建立等量關系在圓錐曲線中常見的垂直情況有：①已知題目中的垂直關系或給出已知角度為90°；②三角形中線等于斜邊一半；③矩形鄰邊或菱形對角線垂直；④直徑所對的圓周角為90°。利用垂直建立等量關系的主要有下面三種情況：①利用勾股定理建立關系；②利用兩個向量的數(shù)量積為0建立等量關系；③利用兩條直線的斜率之積為-1建立等量關系。例題1：已知橢圓C：x2a2FAFAByx|AB|=a2+b又AB⊥BF，由勾股定理可得：|AF|2=|AB|2+|BF|2，即(a+c)2=a2+b2+b2+c2又在橢圓中有b2=a2-c2，且e=c整理可得：e2+e-1=0解得：e=5-12，e=∴e=5ByxF2F1A變式1：如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2：x2a2ByxF2F1Ayy平行：結合平行的性質，建立等量關系例題2：如下圖，橢圓x2a2+y2b2=1的兩焦點為F1，F(xiàn)F1F1yBxF2APF1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，A(a，0)，B(0，b)又PF1⊥x軸，且P點橫坐標為-c，帶入橢圓方程可得：P(-c，-b2由PF2∥AB即PF2與AB共線又PF2=(2c，-b2a)，AB=(-a，b)則有：2bc=b2即b=2c，又在橢圓中有b2=a2-c2，且e=c整理可得：a=5c，則e=5變式：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，且A，B是圓(x+c)2+y2=4c相切：結合相切的性質，建立等量關系例題3：設雙曲線x2a2-y解析：根據(jù)題意可知：漸近線方程為：y=±ba∵漸近線與拋物線相切，∴只有一個交點則漸近線與拋物線聯(lián)立方程可得：x2-ba令△=0，整理可得：b2=4a2，又在雙曲線中有b2=c2-a2，且e=c整理可得：e2=5，∴e=5變式：已知O是坐標原點，雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，以F1F對稱：結合對稱的性質，建立等量關系例題4：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)解析：過焦點F且垂直漸近線的方程為：y=-b聯(lián)立漸近線方程，解得兩條直線的交點坐標為：(a2c，此交點即為點P跟點F2的對稱中心根據(jù)中點的坐標公式可得P點坐標為(2a2-c∵點P在雙曲線上，符合雙曲線的方程，可得：(2a2-c又在雙曲線中有b2=c2-a2，且e=c整理可得：e2=5，∴e=5(4)向量對應的等量關系例題：已知F是橢圓C：x2a2+yyDyDBxFO可知B(0，b)，F(xiàn)(c，0)設點D的坐標為(x0，y0)又已知：BF=2FDBF=(c，-b)，F(xiàn)D=(x0-c，y0)可得D(3c2，-b又D在橢圓上，將D帶入到橢圓方程整理可得：a2=3c2，又e=c整理可得：e2=13，∴e=變式1：已知F是橢圓C：x2a2+y變式2：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F3.特殊結論法在焦點三角形中，橢圓的離心率e=sinɑ/(sinβ+sinγ)F2PyF1xF2PyF1xA1A2B1B2αγ根據(jù)正弦定理可得：|PF1|sinγ=|Pβ∴e=|F1F2β綜上：e=sinɑ在焦點三角形中，雙曲線的離心率e=sinɑ/|sinβ-sinγ|xy··F1F2Pxy··F1F2Pαβγ根據(jù)正弦定理可得：|PF1|sinγ=|P∴e=|F1當P在雙曲線的右支上時，e=|F1F綜上：e=sinɑ例題1：已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，線段PF解析：根據(jù)題意，如下圖：yPxF2OF1yPxF2OF1M∴OM∥PF2，又OM⊥x軸∴PF2⊥x軸，即∠PF2F1=90°，又∠PF1F2=30°∴∠F1PF2=60°又e=sin60°sin30°+sin90°=例題2：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)ABF1yxF2O解析：根據(jù)題意可知：∠FABF1yxF2O可知∠AF2F1=30°，則∠