高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)測(cè)評(píng)9-6利用空間向量討論平行與垂直

核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)四十九利用空間向量討論平行與垂直(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(2,1,1),則()A.l∥α B.l⊥αC.lα或l∥α D.l與α斜交【解析】選C.因?yàn)閍=(1,0,2),n=(2,1,1),所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或lα.2.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=QUOTEA1D,AF=QUOTEAC,則 ()A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面【解析】選B.以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),EQUOTE,FQUOTE,B(1,1,0),D1(0,0,1),QUOTE=(1,0,1),QUOTE=(1,1,0),QUOTE=QUOTE,QUOTE=(1,1,1),QUOTE=QUOTE,QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=0,從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.3.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1,1,2),平面α的一個(gè)法向量為n=(6,3,6),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是 ()A.P(2,3,3) B.P(2,0,1)C.P(4,4,0) D.P(3,3,4)【解析】選A.逐一驗(yàn)證法,對(duì)于選項(xiàng)A,QUOTE=(1,4,1),所以QUOTE·n=612+6=0,所以QUOTE⊥n,所以點(diǎn)P在平面α內(nèi),同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi).4.如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)M,P,Q分別為棱AB,CD,BC的中點(diǎn),若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等,則:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE∥QUOTE,所以A1M∥D1P,由線面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正確.5.如圖,F是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn).E是BB1上一點(diǎn),若D1F⊥DE,則有 ()導(dǎo)學(xué)號(hào)A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=QUOTEEB D.E與B重合【解析】選A.分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),則QUOTE=(0,1,2),QUOTE=(2,2,z),因?yàn)镼UOTE·QUOTE=0×2+1×22z=0,所以z=1,所以B1E=EB.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若A0,2,QUOTE,B1,1,QUOTE,C2,1,QUOTE是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=________________.

【解析】QUOTE=1,3,QUOTE,QUOTE=2,1,QUOTE,a·QUOTE=0,a·QUOTE=0,QUOTEx∶y∶z=QUOTEy∶y∶QUOTEy=2∶3∶(4).答案:2∶3∶(4)7.設(shè)平面α與向量a=(1,2,4)垂直,平面β與向量b=(2,4,8)垂直,則平面α與β位置關(guān)系是________________.

【解析】因?yàn)?a=b,所以a∥b.因?yàn)槠矫姒僚c向量a垂直,所以平面α與向量b也垂直.而平面β與向量b垂直,所以α∥β.答案:平行8.如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF的夾角為θ,則cosθ的最大值為_(kāi)_______________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),設(shè)M(0,m,2)(0≤m≤2),則QUOTE=(2,1,0),QUOTE=(1,m,2),cosθ=QUOTE,令t=2m(0≤t≤2),cosθ=QUOTE×QUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=QUOTE,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證:(1)AM∥平面BDE.(2)AM⊥平面BDF.【證明】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC∩BD=N,連接NE.則NQUOTE,QUOTE,0,E(0,0,1),A(QUOTE,QUOTE,0),MQUOTE,QUOTE,1,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,QUOTE=QUOTE,QUOTE,1.所以QUOTE=QUOTE且NE與AM不共線.所以NE∥AM.又因?yàn)镹E平面BDE,AM平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,因?yàn)镈(QUOTE,0,0),F(QUOTE,QUOTE,1),所以QUOTE=(0,QUOTE,1)所以QUOTE·QUOTE=0,所以AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.10.在四棱錐PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn). 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求證:EF⊥CD.(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)如圖,以DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,QUOTE,0、P(0,0,a)、FQUOTE,QUOTE,QUOTE.QUOTE=QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(0,a,0).因?yàn)镼UOTE·QUOTE=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即EF⊥CD.(2)設(shè)G(x,0,z),則QUOTE=xQUOTE,QUOTE,zQUOTE,若使GF⊥平面PCB,則由QUOTE·QUOTE=xQUOTE,QUOTE,zQUOTE·(a,0,0)=axQUOTE=0,得x=QUOTE;由QUOTE·QUOTE=xQUOTE,QUOTE,zQUOTE·(0,a,a)=QUOTE+azQUOTE=0,得z=0.所以G點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE,0,0,即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn).(15分鐘35分)1.(5分)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上且QUOTE=QUOTE,N為B1B的中點(diǎn),則|QUOTE|為 ()A.QUOTEa B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選A.以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,QUOTE.設(shè)M(x,y,z),因?yàn)辄c(diǎn)M在AC1上且QUOTE=QUOTE,所以(xa,y,z)=QUOTE(x,ay,az),所以x=QUOTEa,y=QUOTE,z=QUOTE,得MQUOTE,QUOTE,QUOTE,所以|QUOTE|=QUOTE=QUOTEa.2.(5分)給出下列命題:①直線l的方向向量為a=(1,1,2),直線m的方向向量b=QUOTE,則l與m垂直;②直線l的方向向量a=(0,1,1),平面α的法向量n=(1,1,1),則l⊥α;③平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α∥β;④平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1.其中真命題是________________.(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)

【解析】對(duì)于①,因?yàn)閍=(1,1,2),b=(2,1,QUOTE),所以a·b=1×21×1+2×QUOTE=0,所以a⊥b,所以直線l與m垂直,①正確;對(duì)于②,a=(0,1,1),n=(1,1,1),所以a·n=0×1+1×(1)+(1)×(1)=0,所以a⊥n,所以l∥α或lα,②錯(cuò)誤;對(duì)于③,因?yàn)閚1=(0,1,3),n2=(1,0,2),所以n1與n2不共線,所以α∥β不成立,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,因?yàn)辄c(diǎn)A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),所以QUOTE=(1,1,1),QUOTE=(1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,所以QUOTE,即QUOTE,則u+t=1,④正確.綜上,真命題的序號(hào)是①④.答案:①④3.(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn),O為底面正方形ABCD的中心,M,N分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn),線段D1Q與OP互相平分,則滿足QUOTE=λQUOTE的實(shí)數(shù)λ有________________個(gè).

【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,2),則O(1,1,0),所以O(shè)P的中點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE,QUOTE,1,又知D1(0,0,2),D1Q的中點(diǎn)也是OP中點(diǎn),所以Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,所以xQ+yQ=3,由=λ得QUOTE所以x+y=1,即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足x+y=1,由于P點(diǎn)在四邊上,所以有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P,即對(duì)應(yīng)有2個(gè)λ.答案:24.(10分)如圖所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn).求證: 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)DE∥平面ABC.(2)B1F⊥平面AEF.【證明】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,令A(yù)B=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中點(diǎn)N,連接CN,則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以QUOTE=(2,4,0),QUOTE=(2,4,0),所以QUOTE=QUOTE,所以DE∥NC,又因?yàn)镹C平面ABC,DE平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)由(1)知QUOTE=(2,2,4),QUOTE=(2,2,2),QUOTE=(2,2,0).QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×(2)+(4)×(2)=0,QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×2+(4)×0=0.所以QUOTE⊥QUOTE,QUOTE⊥QUOTE,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,又因?yàn)锳F∩FE=F,所以B1F⊥平面AEF.5.(10分)如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱B1B上,且滿足B1F=2BF. 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求證:EF⊥A1C1.(2)在棱C1C上確定一點(diǎn)G,使A,E,G,F四點(diǎn)共面,并求此時(shí)C1G的長(zhǎng).【解析】(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0)、A1(a,0,a)、C1(0,a,a)、EQUOTE、FQUOTE,所以QUOTE=(a,a,0),QUOTE=QUOTE,因?yàn)镼UOTE·QUOTE=a2+a2+0=0,所以QUOTE⊥QUOTE,所以A1C1⊥EF.(2)設(shè)G(0,a,h),因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面AEGF=AE,平面BCC1B1∩平面AEGF=FG,所以FG∥AE,所以存在實(shí)數(shù)λ,使得QUOTE=λQUOTE,因?yàn)镼UOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=λQUOTE,所以λ=1,h=QUOTEa,所以C1G=CC1CG=aQUOTEa=QUOTEa,故當(dāng)C1G=QUOTEa時(shí),A,E,G,F四點(diǎn)共面.1.在直三棱柱ABCA1B1C1中,BA⊥CA,A1A=BA=CA,點(diǎn)M,N分別是AC,AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作平面α,使得α∥A1M,α∥B1N,若α∩B1C1=P,則QUOTE的值為 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)锳B,AC,AA1兩兩垂直,所以以A為原點(diǎn),以AB,AC,AA1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則QUOTE=(0,1,2),QUOTE=(1,0,2),設(shè)QUO