山西省晉城市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（教師版）

晉城市高三第一次模擬考試試題數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合N,再求并集.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A2.設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡即可求解.【詳解】依題意得，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為．故選：C3.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】.故選：C4.已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】對于抽象函數(shù)的關(guān)系式，可考慮對進(jìn)行賦值，借助于建立方程組，求解即得.【詳解】令，得，即①因②，聯(lián)立①②解得：或，又，所以．故選：B.5.若的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.35 C. D.21【答案】C【解析】【分析】先確定n值，再利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】若的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則，且常數(shù)項(xiàng)為．故選：C6.吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)B橫坐標(biāo)，代入拋物線即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的單位均為米），依題意可得拋物線的方程為．因?yàn)橥贿叺膽宜鬟B接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為米，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)到橋面的距離為米．故選：A.7.定義表示，，中的最小值．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則（）A.的最大值是 B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】B【解析】【分析】由題先分析出實(shí)數(shù)，，一負(fù)兩正，然后利用基本不等式放縮求出最小值最大值即可.【詳解】因?yàn)椋栽?，，中，?fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為1或3，又，所以在，，中，1個(gè)為負(fù)數(shù)，2個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)，則．因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，則，故的最大值是，無最小值．故選：B.8.生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動(dòng)，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡那天是（）A.3月5日或3月16日 B.3月6日或3月15日C.3月7日或3月14日 D.3月8日或3月13日【答案】D【解析】分析】利用等差數(shù)列求和公式列方程求解.【詳解】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為2，第天所得積分為．假設(shè)他連續(xù)打卡天，第天中斷了，則他所得積分之和為，化簡得，解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，注意審題“一天中斷”兩次求和公式的應(yīng)用.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒大于0，則該函數(shù)在上純粹遞增，若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0，則該函數(shù)在上純粹遞減，則（）A.函數(shù)在上純粹遞增B.函數(shù)在上純粹遞增C.函數(shù)在上純粹遞減D.函數(shù)在上純粹遞減【答案】BC【解析】【分析】求各選項(xiàng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用所給定義判斷即可求解.【詳解】若，則，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤．若，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以B正確．若，則，所以C正確．若，則在上不恒成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC10.如圖，在正四棱柱中，，，，平面將該正四棱柱分為上、下兩部分，記上部分對應(yīng)的幾何體為，下部分對應(yīng)的幾何體為，則（）A.的體積為2B.的體積為12C.的外接球的表面積為D.平面截該正四棱柱所得截面的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意求截面，可知為直三棱柱，進(jìn)而可求相應(yīng)的體積，即可判斷AB；利用補(bǔ)形法結(jié)合長方體的性質(zhì)求外接球的半徑和表面積，即可得判斷C；可知平面截該正四棱柱所得截面為矩形，即可得面積判斷D.【詳解】設(shè)，連接，，，由長方體的性質(zhì)可知：，可知A，，，四點(diǎn)共面，所以為直三棱柱，其體積為，故A正確；的體積為，B錯(cuò)誤．的外接球即為長方體的外接球，所以的外接球的半徑，則的外接球的表面積為，C正確．平面截該正四棱柱所得截面為矩形，其面積為，D正確．故選：ACD.11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，分別以線段，為直徑作圓，圓，線段與圓相交于點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)D.圓與圓有一條公切線的傾斜角為【答案】BCD【解析】【分析】由中點(diǎn)中位線性質(zhì)判斷AB；由圓與圓關(guān)系及切線性質(zhì)求得判斷CD.【詳解】的方程可化為，可得，，．由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，A錯(cuò)誤．由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，則，B正確．設(shè)點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)，連接，由軸，可得，為的中位線，則直線平分線段，則點(diǎn)必在軸上，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，C正確．如圖，若為圓與圓的一條公切線，，為切點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作，垂足為．由，，得，可得，由軸，且，可得公切線的傾斜角為，D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線與圓的綜合應(yīng)用，利用圓與圓位置關(guān)系求解D是關(guān)鍵.12.已知函數(shù)，則（）A.“”是“”的充要條件B.“”是“”的充分不必要條件C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】利用指對同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋缘葍r(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以．因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且，所以，所以“”是“”的充要條件．當(dāng)時(shí)，，理由如下：（解法一）可變?yōu)?，則．因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，即．（解法二）設(shè)，則，，即，代入，得，即．假設(shè)，則等式左右異號，矛盾．所以，即．故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性，關(guān)鍵是將函數(shù)變形指對同構(gòu)構(gòu)造函數(shù).三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若一個(gè)正棱臺的棱數(shù)大于15，且各棱的長度構(gòu)成的集合為，則的最小值為__________，該棱臺各棱的長度之和的最小值為__________．【答案】①.6②.42【解析】【分析】根據(jù)正棱臺共有條棱，從而得到不等式，求出的最小值為6，得到棱的長度之和最小值.【詳解】因?yàn)檎馀_的側(cè)棱有條，底面有條棱，所以正棱臺共有條棱，由，得，所以的最小值為6，該棱臺各棱的長度之和的最小值為．故答案為：，14.已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則與的夾角為__________．【答案】【解析】【分析】利用向量加減運(yùn)算結(jié)合夾角定義求解.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)?，均為單位向量，所以四邊形為菱形，且平分，所以與的夾角為，則與的夾角為．故答案為：15.某羽毛球超市銷售4種品牌（品牌，，，）的羽毛球，該超市品牌，，，的羽毛球的個(gè)數(shù)的比例為，品牌，，，的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不買這4個(gè)品牌中的1個(gè)品牌的羽毛球，他從其他3個(gè)品牌的羽毛球中隨機(jī)選取1個(gè)購買，已知他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，則可推測他不買的羽毛球的品牌為__________（填入，，，中的1個(gè)）．【答案】D【解析】【分析】先確定不是品牌，再利用全概率公式分別計(jì)算不買ACD品牌的概率即可求解.【詳解】因?yàn)樗I到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不買的羽毛球品牌一定不是品牌．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．故答案為：D16.若函數(shù)在上至少有兩個(gè)極大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】先求出極大值點(diǎn)表達(dá)式，利用題干條件列不等式賦值求解.【詳解】令，，得的極大值點(diǎn)為，，則存在整數(shù)，使得，解得．因?yàn)楹瘮?shù)在兩個(gè)相鄰的極大值點(diǎn)之間有兩個(gè)零點(diǎn)，所以．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．又，所以的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，求出并賦值計(jì)算是解決問題關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，，，．（1）求A的大?。唬?）求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理求出外接圓半徑，由等面積法求出內(nèi)切圓半徑.【小問1詳解】由余弦定理得，因?yàn)?，所以．【小?詳解】設(shè)外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．的面積，由，得．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令,利用當(dāng)時(shí)，求解；（2）利用分組求和求解.小問1詳解】令．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因，所以，所以，解得．【小問2詳解】由（1）知，所以19.某果園種植了一種水果，現(xiàn)隨機(jī)抽取這種水果的成熟果實(shí)200個(gè)，統(tǒng)計(jì)了這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量，得到下列頻數(shù)分布表：果籽數(shù)量1234水果數(shù)100504010（1）求這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)與平均數(shù)．（2）已知這種水果的成熟果實(shí)的果籽數(shù)量會影響其市場售價(jià)，每個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量與果實(shí)的價(jià)格如下表所示：果籽數(shù)量1234價(jià)格/元201286以這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量各自對應(yīng)的頻率作為該果園這種成熟果實(shí)的果籽數(shù)量各自對應(yīng)的概率，從該果園的這種成熟果實(shí)中任選2個(gè)，在被選的成熟果實(shí)中至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的前提下，設(shè)這2個(gè)果實(shí)的市場售價(jià)總和為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）2.5，1.8（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由題意計(jì)算出對應(yīng)的果籽數(shù)量為2，即得第75百分位數(shù)為；（2）先求得果籽數(shù)量為1,2,3,4對應(yīng)的概率，依題要求至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的前提下這2個(gè)果實(shí)的售價(jià)之和，屬于條件概率，而至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的概率為，則可對的四個(gè)可能值40，32，28，26分別利用條件概率公式求得概率，寫出分布列即得期望.【小問1詳解】將這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量從少到多排列，因?yàn)?，對?yīng)的果籽數(shù)量為2，故這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)為．這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的平均數(shù)為．【小問2詳解】依題意可得果籽數(shù)量為1，2，3，4對應(yīng)的概率分別為，，，．被選的2個(gè)成熟果實(shí)中至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的概率為．的可能取值為40，32，28，26，，，，，則的分布列為40322826．20.如圖，是邊長為2的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，的中點(diǎn)為在平面內(nèi)的射影，．（1）證明：平面．（2）若，二面角的大小為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，連接，可證四邊形為平行四邊形，所以，從而得證平面；（2）由空間向量法求得二面角的大小為，，再由二倍角公式求解.【小問1詳解】如圖，設(shè)，連接．因?yàn)椋?，所以，且．連接交于，連接，由，所以，中，，，所以，由，可得，所以四邊形為平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易知，，，，則，，，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，得．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，由，得，所以.21.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)判單調(diào)性，求的最小值，列不等式求解；（2）通過證明求解.【小問1詳解】．令，易知單調(diào)遞增，且．當(dāng)時(shí)，,即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，,即，單調(diào)遞增．所以，即，所以的取值范圍是．【小問2詳解】由的單調(diào)性可設(shè)．令．令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以．所以，即，即．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)恒成立問題及證明不等式，第二問將分解因式判斷符號是本題關(guān)鍵.22.已知橢圓的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)也是的頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若，，三點(diǎn)均在上，且，直線，，的斜率均存在，證明：直線過定點(diǎn)（用，表示）．【答案】（1）