人教版九年級上冊《第23章 旋轉(zhuǎn)》單元復(fù)習(xí)課件

《第二十三章

旋轉(zhuǎn)》

單元復(fù)習(xí)知識點一知識點二知識點三知識點一旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念

把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度,叫做圖形的旋轉(zhuǎn),點O叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP',那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點.23.1圖形的旋轉(zhuǎn)知識點一知識點二知識點三名師解讀:可以這樣理解和識別旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念:(1)旋轉(zhuǎn)中心:旋轉(zhuǎn)中心可以是平面內(nèi)的任意一點.注意:旋轉(zhuǎn)中心是點,而不是直線,如生活中的開門、關(guān)門,雖然門轉(zhuǎn)動了,但它是繞軸旋轉(zhuǎn)一定的角度,所以它不屬于我們要研究的繞定點旋轉(zhuǎn).(2)旋轉(zhuǎn)角:因為經(jīng)過旋轉(zhuǎn),圖形上的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度,所以任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角.(3)旋轉(zhuǎn)方向:旋轉(zhuǎn)方向通常是指順時針旋轉(zhuǎn)或逆時針旋轉(zhuǎn).這三個方面構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)的三要素,三者缺一不可.知識點一知識點二知識點三例1

如圖所示,△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△COD,當(dāng)OA⊥OC時,在這個旋轉(zhuǎn)過程中,旋轉(zhuǎn)中心是什么?旋轉(zhuǎn)角是多少度?并指出各對對應(yīng)點.分析:由于繞點O旋轉(zhuǎn),易確定點O為旋轉(zhuǎn)中心;由OA⊥OC,所以確定旋轉(zhuǎn)角為90°;有了旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的三要素確定對應(yīng)點.知識點一知識點二知識點三解:旋轉(zhuǎn)中心是點O;旋轉(zhuǎn)角是∠AOC(或∠BOD),等于90°;A和C,B和D分別是對應(yīng)點,點O的對應(yīng)點是它本身.識別旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角時,先確定旋轉(zhuǎn)中心,再抓住圖形的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

知識點一知識點二知識點三知識點二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.名師解讀:我們可以這樣理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)經(jīng)過旋轉(zhuǎn),圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度,對應(yīng)點的排列次序相同;(2)任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角;(3)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;(4)對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等.知識點一知識點二知識點三例2

如圖,將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB1C1,下列說法正確的個數(shù)有(

)(1)AC=AB;(2)BC=B1C1;(3)∠BAC=∠B1AC1;(4)∠CAC1=∠BAB1.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知AC=AC1,故(1)錯誤;BC=B1C1,故(2)正確;∠BAC=∠B1AC1,故(3)正確;在(3)的基礎(chǔ)上,結(jié)合等式的性質(zhì),得∠CAC1=∠BAB1,故(4)正確.答案:C知識點一知識點二知識點三解答這類問題,抓住旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等形是關(guān)鍵.

知識點一知識點二知識點三知識點三旋轉(zhuǎn)作圖進行旋轉(zhuǎn)作圖時可按照下列步驟進行:(1)在已知圖形上找一些關(guān)鍵點(如三角形的三個頂點).(2)作出這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點,對應(yīng)點的作法是:①將各關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心連接;②以旋轉(zhuǎn)中心為頂點,以上述連線為一邊,向旋轉(zhuǎn)方向作角,使這些角都等于旋轉(zhuǎn)角,且使另一邊的長度都等于關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的長度,則這些“另一邊的端點就是對應(yīng)點”.(3)順次連接這些對應(yīng)點.知識點一知識點二知識點三名師解讀:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)線段相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應(yīng)點,順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.知識點一知識點二知識點三例3

如圖,△ABC繞O點旋轉(zhuǎn)后,頂點B的對應(yīng)點為E,試確定頂點A,C旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點位置,以及旋轉(zhuǎn)后的三角形位置.分析:連接BO,OE,則∠BOE就是旋轉(zhuǎn)角,點E就是B點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點,作∠BOE=∠AOF,且OF=OA,點F就是A點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點,則按照此方法可找到C的對應(yīng)點G.順次連接各點,即可得到旋轉(zhuǎn)后的三角形.知識點一知識點二知識點三解:如圖所示.知識點一知識點二知識點三作一個圖形的旋轉(zhuǎn)后的圖形,先確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角,然后分別作出各個關(guān)鍵點(如:線段的端點、三角形和四邊形的頂點、圖形的拐點、公共點等)的對應(yīng)點,最后按照原有順序連接各點即可.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的運用例1

下列圖中,已知等邊三角形ABC和等邊三角形DBC有公共的底邊BC.(1)以圖1中的某個點為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)△DBC,使它與△ABC重合,則旋轉(zhuǎn)中心有哪些點?(寫出所有滿足條件的點)(2)如圖2,已知B1是BC的中點,現(xiàn)沿著由B到B1的方向,將△DBC平移到△D1B1C1的位置,如圖3,連接AC1,BD1得到的四邊形ABD1C1是什么特殊四邊形?說明你的理由.拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),得到四邊形ABDC是菱形,從而再根據(jù)菱形是中心對稱圖形,得到旋轉(zhuǎn)中心有B點、C點、BC的中點;(2)根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判斷.解:(1)∵等邊三角形ABC和等邊三角形DBC有公共的底邊BC,∴AB=AC=CD=BD,∴四邊形ABDC是菱形.∴要旋轉(zhuǎn)△DBC,使△DBC與△ABC重合,旋轉(zhuǎn)中心有三點,分別為:B點、C點、BC的中點.(2)四邊形ABD1C1是平行四邊形.理由如下:根據(jù)平移的性質(zhì),得到BB1=CC1,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),得到AC=B1D1,∠BB1D1=∠ACC1,∴△BB1D1≌△C1CA,∴AC1=BD1,又AB=C1D1,∴四邊形ABD1C1是平行四邊形.拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,在理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上,抓住旋轉(zhuǎn)前后圖形中的“變”與“不變”,然后與其他相關(guān)知識結(jié)合,進行綜合分析.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)作圖例2

△ABC三個頂點A,B,C在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示.(1)將△ABC向右平移3個單位,畫出平移后的△A1B1C1;(2)將△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C,并寫出A2的坐標(biāo).拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)把△ABC的各頂點向右平移3個單位長度,順次連接得到的各點即為平移后的三角形;(2)以點C為旋轉(zhuǎn)中心,把A,B兩點順時針旋轉(zhuǎn)90°,得點A2,B2,順次連接點A2,B2,C即可得到旋轉(zhuǎn)后的圖形,根據(jù)點A2所在象限及距離原點的水平距離和豎直距離可得相應(yīng)坐標(biāo).拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)如圖所示.(2)如圖所示,從圖形可得A2的坐標(biāo)為(8,3).拓展點一拓展點二拓展點三圖形的平移或旋轉(zhuǎn)要歸結(jié)為圖形關(guān)鍵點(頂點)的平移或旋轉(zhuǎn),在坐標(biāo)系中的平移和旋轉(zhuǎn),只需在坐標(biāo)系或網(wǎng)格中,利用坐標(biāo)系或網(wǎng)格的特點,作出這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點,按照原有的順序連接即可.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的綜合題例3

如圖,在正方形ABCD中作∠EAF=45°,分別交邊BC,CD于點E,F(不與頂點重合),把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,落在△ADG的位置.(1)請你在圖中畫出△ADG(不寫作法);(2)試說明線段BE,DF與EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)過A作AE的垂線,與CD的延長線的交點就是G,據(jù)此即可作出;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明△AFG≌△AFE即可.解:(1)作圖如下.拓展點一拓展點二拓展點三(2)BE+DF=EF.證明:∵△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE.又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°,∴∠GAF=∠FAE.∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF.拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,可以在畫好圖形后利用測量的方法進行初步的推測,然后分析圖形的變化,找出圖形中的全等形,最后驗證并推出所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

知識點一知識點二知識點三知識點一中心對稱及相關(guān)概念把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心(簡稱中心).這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點叫做關(guān)于對稱中心的對稱點.名師解讀:中心對稱是針對兩個圖形之間的關(guān)系,是特殊的旋轉(zhuǎn),是旋轉(zhuǎn)角等于180°的旋轉(zhuǎn),理解時可與軸對稱對比:23.2.1中心對稱知識點一知識點二知識點三例1

下列圖形中哪兩個圖形成中心對稱

(

)A.(1),(3) B.(2),(3) C.(1),(4) D.(1),(2)解析:根據(jù)中心對稱的概念判斷即可.答案:D知識點一知識點二知識點三判斷兩個圖形是否成中心對稱,關(guān)鍵看能否找到一個點,繞著該點旋轉(zhuǎn)180°后,一個圖形和另一個圖形能重合.

知識點一知識點二知識點三知識點二中心對稱的性質(zhì)中心對稱的性質(zhì):(1)中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心,而且被對稱中心所平分.(2)中心對稱的兩個圖形是全等形.名師解讀:由于成中心對稱的兩個圖形是全等形,所以對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等.對稱中心是對應(yīng)點連線的中點.知識點一知識點二知識點三例2

如圖,四邊形ABCD與四邊形FGHE關(guān)于點O成中心對稱,下列說法中錯誤的是(

)A.AD∥EF,AB∥GFB.BO=GOC.CD=HE,BC=GHD.DO=HO知識點一知識點二知識點三解析:根據(jù)中心對稱的定義和中心對稱的性質(zhì)分析:A,∵AD與EF關(guān)于點O成中心對稱,∴AD∥EF,同理可得AB∥GF,所以說法正確;B,∵B與G關(guān)于點O成中心對稱,∴BO=GO,所以說法正確;C,∵CD與HE關(guān)于點O成中心對稱,∴CD=HE,同理可得BC=GH,所以說法正確;D,∵D與E關(guān)于點O成中心對稱,∴DO=EO,所以DO=HO錯誤.答案:D知識點一知識點二知識點三解答這類問題,利用中心對稱的性質(zhì)直接得出部分正確結(jié)論,然后根據(jù)這些結(jié)論“數(shù)形結(jié)合”進行推理,看能否得出題目其他結(jié)論正確.

知識點一知識點二知識點三知識點三中心對稱的作圖作一個圖形的中心對稱圖形的一般步驟:(1)確定對稱中心;(2)找出原圖形的關(guān)鍵點(圖形的頂點、拐點等,如:作三角形的對稱圖形時,三角形的三個頂點),分別作出這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點;(3)按照原有次序連接,標(biāo)注字母并且指明圖形是對稱圖形.知識點一知識點二知識點三名師解讀:作中心對稱圖形的常見的兩種方法:方法一:由于中心對稱是特殊的旋轉(zhuǎn),所以可以利用旋轉(zhuǎn)的作圖方法,將原圖旋轉(zhuǎn)180°所得出的新圖形即為所求作的對稱圖形;方法二:由中心對稱的性質(zhì)知道對稱中心是對稱點連線的中點,所以可以利用這一特性找到已知圖形上各個關(guān)鍵點的對稱點,再按照原圖的順序依次連接即可得出所求作圖形的對稱圖形.知識點一知識點二知識點三例3

如圖,請畫出?ABCD關(guān)于點O對稱的圖形.(保留作圖痕跡)分析:連接AO并延長至A',使A'O=AO,連接BO并延長至B',使B'O=BO,連接CO并延長至C',使C'O=CO,連接DO并延長至D',使D'O=DO,然后順次連接即可得解.知識點一知識點二知識點三解:如圖所示,?A'B'C'D'即為所求作的?ABCD關(guān)于點O對稱的圖形.知識點一知識點二知識點三根據(jù)題目所給的對稱中心,分別作出各關(guān)鍵點(本題中四邊形的四個頂點)的對應(yīng)點,然后按照原來順序連接即可.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一中心對稱性質(zhì)的運用例1

如圖所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,請你利用中心對稱的性質(zhì),把梯形ABCD轉(zhuǎn)化成與原梯形面積相等的三角形,并簡要說明變換理由.分析:由于中心對稱所得的圖形是全等形,所以可以把梯形的一部分旋轉(zhuǎn)180°,使之轉(zhuǎn)變成全等的圖形,根據(jù)中心對稱的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可.拓展點一拓展點二拓展點三解:如圖所示,取CD的中點M,連接AM并延長交BC延長線于點N,得到△ABN即為與原梯形面積相等的三角形.理由如下:∴△ADM≌△NCM(ASA),△NCM可以看作是△ADM關(guān)于點M的對稱圖形,∴△ABN即為與原梯形面積相等的三角形.拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,注意利用中心對稱圖形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì),正確根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得出△ADM≌△NCM是解題關(guān)鍵.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二坐標(biāo)系或網(wǎng)格中的中心對稱例2

如圖,在由邊長為1的小正方形組成的方格紙中,有兩個全等的三角形,即△A1B1C1和△A2B2C2.(1)請你指出在方格紙內(nèi)如何運用平移、旋轉(zhuǎn)變換,將△A1B1C1重合到△A2B2C2上;(2)在方格紙中將△A1B1C1經(jīng)過怎樣的變換后可以與△A2B2C2成中心對稱?畫出變換后的三角形并標(biāo)出對稱中心.拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)將△A1B1C1先向上平移4個單位,再向右平移3個單位后繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°即可得到△A2B2C2;(2)對稱中心就是對稱點連線的交點,據(jù)此即可作出.解:(1)將△A1B1C1先向上平移4個單位,再向右平移3個單位后繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°即可得到△A2B2C2.(2)如圖,把△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°即可得到與△A2B2C2成中心對稱的△DEC1,對稱中心為點P.拓展點一拓展點二拓展點三在網(wǎng)格中作對稱圖形時,根據(jù)網(wǎng)格的特點,一般:①先確定一組對應(yīng)點;②確定圖形中的關(guān)鍵點;③分別確定圖中所有關(guān)鍵點的對應(yīng)點;④按原圖形順序依次連接對應(yīng)點,所得到的圖形即為所求作的圖形.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與中心對稱有關(guān)的綜合題例3

某個圖形分別關(guān)于兩平行直線的軸對稱圖形,可以由原圖形經(jīng)過一次平移而得到.假如把這兩條平行直線換成相交直線,又能得到什么結(jié)論呢?如圖,已知△ABC,直線a,b相交于點O,作出△ABC關(guān)于直線a對稱的△A'B'C',然后作出△A'B'C'關(guān)于直線b對稱的△A″B″C″,你能發(fā)現(xiàn)△ABC和△A″B″C″有什么關(guān)系嗎?猜想:在此圖中,若再增加什么條件,能使得△ABC與△A″B″C″關(guān)于點O成中心對稱呢?拓展點一拓展點二拓展點三分析:由軸對稱的性質(zhì)可得OA=OA'=OA″,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可;根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得OA=OA″,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得OA=OA'=OA″,然后判斷出△AA'A″是直角三角形,AA'⊥A'A″,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)判斷即可.拓展點一拓展點二拓展點三解:根據(jù)題意知OA=OA'=OA″,∴△ABC繞兩直線的交點旋轉(zhuǎn)可得到△A″B″C″.猜想:添加條件為a⊥b.理由如下:∵△ABC與△A″B″C″關(guān)于點O成中心對稱,∴OA=OA″.∵△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線a對稱,△A'B'C'與△A″B″C″關(guān)于直線b對稱,∴OA=OA'=OA″,∴△AA'A″是直角三角形,∴AA'⊥A'A″,由軸對稱的性質(zhì),知AA'⊥a,A'A″⊥b,∴a⊥b.拓展點一拓展點二拓展點三在理解中心對稱的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)的基礎(chǔ)上,判斷出對應(yīng)頂點構(gòu)成的三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

知識點一知識點二知識點一中心對稱圖形

把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心.名師解讀:(1)中心對稱圖形的判別方法:由中心對稱圖形的定義可知,能找到一個點,使該圖形繞它旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合,這個圖形就是中心對稱圖形,因此,可以簡單認為“找到對稱中心的圖形就是中心對稱圖形,找不到對稱中心的圖形就不是中心對稱圖形”.23.2.2中心對稱圖形知識點一知識點二(2)中心對稱圖形與中心對稱的區(qū)別與聯(lián)系:區(qū)別:①中心對稱圖形是指一個具有某種性質(zhì)的圖形,中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系.②成中心對稱的兩個圖形中對稱點分別在兩個圖形中,而中心對稱圖形的對稱點在一個圖形上.聯(lián)系:把中心對稱圖形分成兩個圖形,則它們又可成中心對稱,如果把成中心對稱的兩個圖形看成一個整體(即為一個圖形),則它又可成為中心對稱圖形.知識點一知識點二例1

下列圖形中,中心對稱圖形有(

)A.4個 B.3個 C.2個 D.1個解析:根據(jù)中心對稱圖形的定義和各圖的特點進行分析:第四個圖只是軸對稱圖形,第1、第2和第3個圖形是中心對稱圖形.故中心對稱圖形有3個.答案:B知識點一知識點二判斷一個圖形是否是中心對稱圖形,可以簡單地認為,能找到對稱中心(一個點,圖形繞著該點旋轉(zhuǎn)180°后能夠和原圖形重合)的圖形就是中心對稱圖形,找不到對稱中心的圖形就不是中心對稱圖形.

知識點一知識點二知識點二中心對稱圖形的性質(zhì)由中心對稱圖形的概念可知,中心對稱圖形上的每一對對稱點的連線都被它的對稱中心平分.知識點一知識點二名師解讀:中心對稱圖形與軸對稱圖形的關(guān)系相同點:都是對稱圖形.不同點:(1)中心對稱圖形是對一點而言,而軸對稱圖形是對一直線而言的;(2)運動方式不同:中心對稱圖形是繞定點(即對稱中心)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°,而軸對稱圖形是沿定直線(即對稱軸)折疊;(3)中心對稱圖形的對稱中心是對稱點連線的中點,而軸對稱圖形的對稱軸是兩對稱點連線的垂直平分線;(4)中心對稱圖形一般只有一個對稱中心,而軸對稱圖形可能有幾條或無數(shù)條對稱軸.知識點一知識點二例2

如圖,四邊形ABCD是關(guān)于點O的中心對稱圖形,請你說明四邊形ABCD一定是平行四邊形.分析:連接AC,BD,根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)可知AC和BD都經(jīng)過點O,OA=OC,OB=OD,再根據(jù)平行四邊形的判定可得.解:如圖所示,連接AC,BD.∵四邊形ABCD是關(guān)于點O的中心對稱圖形,∴AC和BD都經(jīng)過點O,且OA=OC,OB=OD,∴四邊形ABCD為平行四邊形.知識點一知識點二本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)和平行四邊形的判定,由中心對稱圖形的性質(zhì)得出AC和BD都經(jīng)過點O,OA=OC,OB=OD是解題的關(guān)鍵.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一中心對稱圖形與中心對稱例1

如圖所示的各圖中,不是中心對稱圖形的是(

)解析:這幾個圖形都是由基本圖形組合而成的,基本圖形的個數(shù)是偶數(shù)個才可能是中心對稱圖形,或者基本圖形是中心對稱圖形并且組合后對稱中心重合的是中心對稱圖形.答案:B拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四由于中心對稱圖形上的每一對對稱點都和對稱中心均在同一條直線上,且對稱點的連線被對稱中心平分.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點二中心對稱圖形與軸對稱圖形例2

仔細觀察如圖所示的圖案,然后回答下列問題:(填序號)(1)僅是軸對稱圖形的有

;

(2)僅是中心對稱圖形的有

;

(3)既是軸對稱又是中心對稱圖形的有

.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四解析:要抓住各圖形的特點,結(jié)合軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別方法來確定.①是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形,②是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形,③是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形,④既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.答案:(1)①

(2)②③

(3)④拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四解答這類問題時,要注意仔細觀察,不要憑想當(dāng)然,如其中的圖形②就容易被誤認成既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點三網(wǎng)格中的中心對稱圖形例3

如圖所示,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點,以格點為頂點分別按下列要求畫三角形.(1)在圖1中,畫一個三角形,使它的三邊長都是無理數(shù);(2)在圖2中,畫出一個直角三角形,使它的三邊長都是整數(shù);(3)在圖3中,畫出一個中心對稱圖形.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四分析:(1)利用勾股定理,找長為無理數(shù)的線段,畫三角形即可.(2)畫一個邊長分別為3,4,5的三角形即可;(3)畫一個平行四邊形即可.解:(1)三邊分別為:(2)三邊分別為:3,4,5(如圖2);(3)畫一個平行四邊形(如圖3).拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四本題的答案不唯一,需仔細分析題意,結(jié)合圖形,利用勾股定理進行計算并結(jié)合中心對稱圖形的定義可解決問題.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點四中心對稱圖形的應(yīng)用例4

如圖所示,有一個平行四邊形和圓,你能作一直線,把它們分成周長和面積都相等的兩部分嗎?試試看.分析:要作的圖形是一條直線,根據(jù)兩點確定一條直線,只要找出這條直線上的兩點即可,由于平行四邊形和圓都是中心對稱圖形,且過其對稱中心的直線把圖形分成周長和面積都相等的兩部分,因而只要畫出經(jīng)過兩個圖形對稱中心的直線即可.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四解:如圖所示.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四過中心對稱圖形的對稱中心的直線,一定將圖形分成全等的兩部分,所以如果出現(xiàn)要求將圖形分成面積或周長相等的兩部分,只要過對稱中心畫一條直線即可.

知識點知識點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)兩個點關(guān)于原點對稱時,它們的坐標(biāo)符號相反,即P(x,y)關(guān)于原點的對稱點為P'(-x,-y).名師解讀:由關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征可知,要得到一個點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo),只要橫坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的相反數(shù),縱坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的相反數(shù)即可.23.2.2中心對稱圖形知識點例題

若點P(a,2)與Q(-1,b)關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,則a,b分別為(

)A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2解析:平面直角坐標(biāo)系中任意一點P(x,y),關(guān)于原點的對稱點是(-x,-y),又點P(a,2)與Q(-1,b)關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,∴a,b分別為1,-2.答案:B知識點結(jié)合點(x,y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(x,-y)和點(x,y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(-x,y),可簡單記為:關(guān)于橫軸對稱的點“橫不變,縱相反”,關(guān)于縱軸對稱的點“縱不變,橫相反”,關(guān)于原點對稱的點“全相反”.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一坐標(biāo)系中的中心對稱圖形例1

已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點A(2,3),把點A沿x軸向左平移3個單位長度,再以O(shè)點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,然后以y軸為對稱軸得到點A',則點A'的坐標(biāo)為(

)A.(-2,-3) B.(-1,-3) C.(-3,1) D.(-2,3)解析:點A沿x軸向左平移3個單位長度后坐標(biāo)是(-1,3),再以O(shè)點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°對應(yīng)點的坐標(biāo)是(1,-3),(1,-3)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是(-1,-3).答案:B拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,掌握點的坐標(biāo)的平移變化規(guī)律和關(guān)于原點中心對稱的兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系以及關(guān)于y軸對稱的兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二在坐標(biāo)系中作關(guān)于原點對稱的圖形例2

在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2).(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1.(2)畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A2B2C2.(3)畫出△ABC繞O順時針旋轉(zhuǎn)90°的△A3B3C3.拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征寫出點A,B,C的對應(yīng)點A1,B1,C1的坐標(biāo),然后描點連線即可得到△A1B1C1;(2)根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征寫出點A,B,C的對應(yīng)點A2,B2,C2的坐標(biāo),然后描點連線即可得到△A2B2C2;(3)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點A,B,C的對應(yīng)點A3,B3,C3,連線即可得到△A3B3C3.拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)如圖,△A1B1C1為所作.(2)如圖,△A2B2C2為所作.(3)如圖,△A3B3C3為所作.拓展點一拓展點二拓展點三在網(wǎng)格中或坐標(biāo)系中作圖,要充分發(fā)揮網(wǎng)格或坐標(biāo)系的特點,根據(jù)網(wǎng)格找出對應(yīng)的格點或者點的坐標(biāo).

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三坐標(biāo)系中與對稱有關(guān)的綜合題例3

在直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC各個頂點坐標(biāo)分別為(0,0),(2,3),(5,4),(8,2).(1)畫出平面直角坐標(biāo)系,并畫四邊形OABC.(2)試確定圖中四邊形OABC的面積.(3)如果將四邊形OABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°,試確定旋轉(zhuǎn)后四邊形上各個頂點的坐標(biāo).(4)橫坐標(biāo)乘以-1得的圖形與原圖形重合嗎?拓展點一拓展點二拓展點三分析:(1)畫出平面直角坐標(biāo)系,描出各點,順次連接各點得到四邊形OABC;(2)利用組合圖形的面積轉(zhuǎn)化為基本平面圖形的面積的和與差,求出即可;(3)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形,寫出坐標(biāo)即可;(4)橫坐標(biāo)乘以-1得的圖形與原圖形關(guān)于y軸對稱,不能與原圖形重合.拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)如圖,四邊形OABC即為所求.拓展點一拓展點二拓展點三(3)如圖,旋轉(zhuǎn)后四邊形上各個頂點的坐標(biāo)分別為(0,0),(-2,-3),(-5,-4),(-8,-2).(4)橫坐標(biāo)乘以-1得的圖形與原圖形關(guān)于y軸成軸對稱,不能與原圖形重合.點評:本題考查了坐標(biāo)與圖形變換——旋轉(zhuǎn):圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo).拓展點一拓展點二拓展點三解答這類綜合題,綜合運用旋轉(zhuǎn)及坐標(biāo)系的相關(guān)知識加以分析,然后根據(jù)問題的要求作出圖形并作出判斷即可.

知識點一知識點二知識點一識別圖案中的幾何變換圖案一般都是由基本圖案經(jīng)過一次或多次變換得出的.名師解讀:識別圖案的變換時,應(yīng):(1)先確定基本圖案;(2)確定變換方式和變換順序.23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計知識點一知識點二例1

在下列某品牌T恤的四個洗滌說明圖案的設(shè)計中,沒有運用旋轉(zhuǎn)或軸對稱知識的是(

)解析:根據(jù)軸對稱及旋轉(zhuǎn)的定義,結(jié)合各選項進行判斷:A,即運用了軸對稱也利用了旋轉(zhuǎn),故本選項錯誤;B,即運用了軸對稱也利用了旋轉(zhuǎn),故本選項錯誤;C,沒有運用旋轉(zhuǎn),也沒有運用軸對稱,故本選項正確;D,利用了軸對稱,故本選項錯誤.答案:C知識點一知識點二解答這類問題,根據(jù)題目的要求,逐一判斷即可.

知識點一知識點二知識點二設(shè)計簡單的圖案我們可以利用平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)中的一種進行設(shè)計,還可以利用它們中的組合進行圖案設(shè)計.名師解讀:設(shè)計簡單的圖案可以按照以下步驟進行:(1)圖案設(shè)計要有意義、有主題;(2)確定基本圖案;(3)圖形變換:運用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的方式,實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合,并對圖案進行適當(dāng)?shù)男揎?知識點一知識點二例2

如圖所示的圖案都是在一個圖案的基礎(chǔ)上,在“幾何畫板”軟件中拖動一點后形成的,它們中每一個圖案都可以由一個“基本圖案”通過連續(xù)旋轉(zhuǎn)得來,旋轉(zhuǎn)的角度正確的是(

)A.30° B.45° C.60° D.90°解析:每一個圖案都可以被通過中心的射線平分成6個全等的部分,則旋轉(zhuǎn)的角度是60°.答案:C知識點一知識點二觀察每一個圖案都可以由一個“基本圖案”通過連續(xù)旋轉(zhuǎn)得到,就是看這個圖形可以被通過中心的射線平分成幾個全等的部分,即可確定旋轉(zhuǎn)的角度.

知識點一知識點二例3

在如圖所示的圖形中,既包含圖形的旋轉(zhuǎn),又有圖形的軸對稱設(shè)計的是(

)解析:根據(jù)軸對稱圖形與圖形旋轉(zhuǎn)的定義作答.答案:C知識點一知識點二旋轉(zhuǎn)是繞某個點旋轉(zhuǎn)一定角度得到新圖形,軸對稱是沿某條直線翻折得到新圖形.觀察時要緊扣圖形變換特點,進行分析判斷.

拓展點一拓展點二拓展點一幾何變換例1

如圖所示,圖形①經(jīng)過

變換得到圖形②;圖形①經(jīng)過

變換得到圖形③;圖形①經(jīng)過

變換得到圖形④(填平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱).

解析:根據(jù)題意,通過觀察圖形,可知圖形①經(jīng)過軸對稱變換得到圖形②;圖形①經(jīng)過順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形③;圖形①經(jīng)過平移變換得到圖形④.答案:軸對稱

旋轉(zhuǎn)

平移.拓展點一拓展點二解題時,要先確定出圖案中的一個基本圖形,再利用這個基本圖形,通過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱分別去嘗試.由基本圖形經(jīng)過變換形成圖形的變換過程一般是不確定的,可以有多種不同的變換途徑,一般選擇比較簡單的一種方法來說明.

拓展點一拓展點二拓展點二生活中的圖案例2

五一節(jié)前,市園林部門準(zhǔn)備在文化廣場特設(shè)直徑均為4米的八個圓形花壇,在內(nèi)放置面積相同的兩種顏色的盆栽花草,要求各個花壇內(nèi)兩種花草的擺設(shè)不能相同,如圖中的①,②.請你再至少設(shè)計出四種方案.拓展點一拓展點二分析:利用圖形的旋轉(zhuǎn)、平移及對稱設(shè)計出圖案即可.解:如圖所示.拓展點一拓展點二這類問題的答案不唯一,因設(shè)計意圖和變換的方式不同而不同,熟知這三種圖形變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

章末專題整合專題一專題二專題三專題四專題一旋轉(zhuǎn)及旋轉(zhuǎn)作圖

例1

如圖,△OAB是邊長為2的等邊三角形.(1)寫出△OAB各頂點的坐標(biāo);(2)以點O為旋轉(zhuǎn)中心,將△OAB按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△OA'B',寫出點A',B'的坐標(biāo).專題一專題二專題三專題四分析:(1)作BC⊥x軸于C,如圖,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB=2,AC=OC=1,則易得A點坐標(biāo)和O點坐標(biāo),再利用勾股定理計算出BC=,然后根據(jù)第二象限點的坐標(biāo)特征可寫出B點坐標(biāo);(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOA'=∠BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',則點A'與點B重合,于是可得點A'的坐標(biāo)為(-1,),再說明點B與點B'關(guān)于y軸對稱,于是可得到點B'的坐標(biāo).專題一專題二專題三專題四解:(1)作BC⊥x軸于C,如圖所示,∵△OAB是邊長為2的等邊三角形,∴OA=OB=2,AC=OC=1,∴A點坐標(biāo)為(-2,0),O點坐標(biāo)為(0,0),專題一專題二專題三專題四(2)∵△OAB按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△OA'B',∴∠AOA'=∠BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',∴點A'與點B重合,即點A'的坐標(biāo)為(-1,),∵BO與y軸的正半軸的夾角為30°,而∠BOB'=60°,OB=OB',∴點B與點B'關(guān)于y軸對稱,∴點B'的坐標(biāo)為(1,).專題一專題二專題三專題四圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo).常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°;解決本題的關(guān)鍵是正確理解題目,按題目的敘述一定要把各點的大致位置找準(zhǔn)確,正確地作出圖形.

專題一專題二專題三專題四專題二中心對稱及中心對稱圖形例2

如圖,△ABC的三個頂點都在格點上,每個小方格邊長均為1個單位長度,建立如圖坐標(biāo)系.(1)請你作出△ABC關(guān)于點A成中心對稱的△AB1C1(其中B的對稱點是B1,C的對稱點是C1),并寫出點B1,C1的坐標(biāo).(2)連接