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平均值不等式及其證明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多方法，這里，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結(jié)論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節(jié)和討論，如數(shù)學(xué)歸納法、變量替換、恒等變形和分析綜合方法等，這些也是證明不等式的常用方法和技巧。平均值不等式一般地，假設(shè)a1，a2A幾何平均值記為G算術(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系。a即A當(dāng)且僅當(dāng)a上述不等式成為平均值不等式，或簡稱為均值不等式。平均值不等式的表達(dá)形式簡單，容易記住，但它的證明和應(yīng)用非常靈活、廣泛，有多重不同的方法。為使大家理解和掌握，這里我們選擇了其中的幾種典型的證明方法。供大家參考學(xué)習(xí)。1.2平均值不等式的證明證法一（歸納法）當(dāng)n=2時，已知結(jié)論成立。假設(shè)對n=k（正整數(shù)k≥2）時命題成立，即對aa那么，當(dāng)n=k+1時，由于A關(guān)于a1，a2，?，ak+1是對稱的，任意對調(diào)A所以A=即Ak+1k≥A從而，有A證法二（歸納法）當(dāng)n=2時，已知結(jié)論成立。假設(shè)對n=k（正整數(shù)k≥2）時命題成立，即對aa那么，當(dāng)n=k+1
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