廣東省廣州大學(xué)附中2023-2024學(xué)年強(qiáng)基計(jì)劃班高三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)入學(xué)試卷

oo

廣東省廣州大學(xué)附中2023-2024學(xué)年強(qiáng)基計(jì)劃班高三上冊(cè)數(shù)學(xué)入學(xué)試

卷

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—總分

評(píng)分

閱卷人

OO——、填空題(本大題共20小題，共100.0分)

得分

1.設(shè)m為實(shí)數(shù)，集合力={%|-3〈％<2},B-{x\m<%<2m-1],滿足3U4則

n|p

即

TH的取值范圍是.

2丫2_oX>2

~在R上單調(diào)遞增，貝南的取值范圍

{ax+3,x<2

是.

3.定義在R上的奇函數(shù)〃久)滿足f(l)=1,若八支+2)也為奇函數(shù)，貝I]

OO/(2021)=.

4.定義在R上的函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)久都有“久+6)=/(%),當(dāng)％e[-3,-1)

時(shí),/(x)=-(x+2)*2,當(dāng)3)時(shí)，/(%)=%,則/(l)+/(2)+f(3)+“?+

段

/(2015)=

照媒

5.已知常數(shù)a>0,函數(shù)/(%)=一^的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(p,2)、Q(q,-1),若2P+，=

2+ax55

16pq,貝!Ja=

彝

和

6.設(shè)a>0,平行于％軸的直線&y=a分別與函數(shù)y=2%和y=2%+i的圖像交于點(diǎn)力，

O

OB,若函數(shù)y=2%的圖像上存在點(diǎn)C,滿足△力BC為等邊三角形，則。=.

7.設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線y=1與函數(shù)/(%)=/一印+&有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍

是.

則

8.設(shè)COSX11+sin%

氐sinx—1、COSX

、，41

9.設(shè)a為實(shí)數(shù)，滿足3sina+cosa=0,則-n―；—=?

cosLa-\-sin2a

10.函數(shù)/(%)=2cos2、—的最大值為.

11.設(shè)t為實(shí)數(shù)，滿足3t+1,C+2構(gòu)成一個(gè)鈍角△ABC的三邊長，貝心的取值范圍

O

O為_________

12.在△力中，的2號(hào)=等三，則△力BC的形狀為三角形.

22c---------

13.設(shè)4為實(shí)數(shù)，設(shè)向量2=(1,2),b=(4,2),c=Aa+b,若五和2夾角等于b和力夾

角,則a=.

14.設(shè)數(shù)列5｝和｛"｝都為等差數(shù)列，記它們的前ri項(xiàng)和分別為％和〃，滿足器=

若|，貝庠=_________.

zn+i1n

15.已知P是橢圓黑+4=1上的點(diǎn)，％、4分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若常常與

259gHPFzl

則AFiPF2的面積為.

16.如圖，在正六邊形力BCDEF中，則以F,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A,E,D,B的雙曲線

17.設(shè)點(diǎn)%,七分別為雙曲線C：馬—g=l(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)％作直

線交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)4B,滿足用=屈，用?無豆=0，則雙曲線的離心

率e=.

18.已知P為拋物線了=，/上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在久軸上的射影為M,點(diǎn)4的坐標(biāo)是(2,0),

則|PA|+|PM|的最小值是.

19.已知函數(shù)在R上滿足/(%)=2/(2—x)——+8x—8,則曲線y=/(x)在點(diǎn)

(1,f(l))處的切線方程是.

20.已知函數(shù)/'(%)=/+h+02在久=1處取得極值I。，則/(_1)=.

2/13

oo答案解析部分

L【答案】(―8,|]

【知識(shí)點(diǎn)】子集與真子集；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題

4【解析】【解答】解：當(dāng)8=0時(shí)，m>2m-1,解得zn<1,此時(shí)符合題意；

當(dāng)3W0時(shí)，由題意，得一34租42租一1<2,解得所以的取值范圍是

(-8,升

oo故答案為：(—8,親.

n|p【分析】當(dāng)B=0時(shí)，當(dāng)BH0時(shí)分類討論，利用包含關(guān)系列出不等式求解即可.

那

2.【答案】(0,1]

fa

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

(2比2—3%>2

【解析】【解答】解：由題意函數(shù)/(%)="在R上單調(diào)遞增，得

Iax+3,x<2

(2a+3<2x22-3,解得0<。<1，所以a的取值范圍是(0,4

oo

故答案為：(0,1].

段

【分析】利用分段函數(shù)是增函數(shù)列出不等式組，計(jì)算求解即可.

塌媒

3.【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的周期性

彝【解析】【解答】解：因?yàn)?(%)是奇函數(shù)，所以/(—%)=—/(久)，/(x+2)也為奇函數(shù),

和

所以/■(-%+2)=-/(%+2),所以/'(-久+4)=-f(x)=/(-%),即/(%+4)=f(x),

oo

所以/(%)的周期為4,因?yàn)?所以/(2021)=/(505X4+1)=/(1)=1.

故答案為：1.

【分析】根據(jù)〃久)為奇函數(shù)，2)也是奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義變形可得〃久+

氐-￡

4)=/(%),所以函數(shù)/(久)的周期為4,然后利用周期可求得結(jié)果.

4.【答案】336

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的周期性

oo【解析】【解答】解：函數(shù)〃久)的定義域?yàn)镽,/(%+6)=/(%),得函數(shù)的周期為6,

當(dāng)3,—1)時(shí)/(%)=—(久+2)2,f(3)=/(—3)=-1,/(4)=f(—2)=0,，當(dāng)

%G[-1,3)時(shí)，f(x)=x,得/(I)=1,f(2)=2,/(5)=/(-l)=-1,f(6)=

f(0)=0,所以〃l)+f(2)+f(3)+f(4)+〃5)+"6)=l,所以f(l)+〃2)+f(3)+

…+f(2015)=336[/(l)+f(2)+/(3)+f(4)+f(5)+/(6)]-f(6)=336.

故答案為：336.

【分析】由題意推出〃1)+/(2)+/(3)+八4)+/'(5)+/(6)=1,利用函數(shù)的周期性求

解即可.

5.【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

【解析】【解答】解：函數(shù)〃無)=--的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(p,2、Q(q,-i),則

2+ax55

芫篇=今即黃=一番號(hào)^=4即黃=-6,得到a2Pq=2「+4,由已知條件

2p+q=16pq,所以

a2=16,結(jié)合a>0,解得a=4.

故答案為：4.

【分析】將點(diǎn)P(p,各、Q(q,―3代入解析式，結(jié)合/+q=16pq,計(jì)算求解即可.

6.【答案】國+孚

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)；對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

【解析】【解答】解：由題意得*=a,解得久=log2a,即小log2%a)，由2,+1=a,解

得x=log2a—1,即B(log2a-La)，所以AB=1,如圖，取AB的中點(diǎn)為。，連接

CD,

4/13

由題意△ABC為等邊三角形，所以=?，所以C(log2a—：,。一字｝代入y=2久,

得a—5=負(fù)，解得a=遮+乎?

故答案為：43+-

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)互化關(guān)系求出4(log2a,a),B(log2a-

l,a),由AB=1結(jié)合已知條得到C(log2a—，a—嗡代入y=2巴計(jì)算求解即可.

7.【答案】(1,1)

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

Q[P

*；【解析】【解答】解：直線y=1與函數(shù)"%)=%2-|x|+a有四個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于

直線y=a與函數(shù)g(%)=-/+|x|+1有四個(gè)不同的交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中，畫出它們

的圖象，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)1＜。＜叔時(shí)，直線y=a與函數(shù)g(%)=-/+|%|+1有四

4

個(gè)不同的交點(diǎn)，所以。的取值范圍是(1,1).

5

4

故答案為：(1,1).

【分析】直線y=1與函數(shù)/(%)=，一+a有四個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于直線y=a與

函數(shù)。(%)=—/+陽+1有四個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，求解即可.

8.【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】解：由已知*=由同角三角函數(shù)關(guān)系得尊等=

(l+sin%)(l—sin%)_1—sin%

cosx(l—sinx)-cosx(l—sinx)-1—sinx-3

故答案為：

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，即可得解.

9.【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】解：已知3sina+cosa=0,所以tana=-},所以同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系得_____1______cos2a+sin2a_1+tan2a_1+：_10

八cos2a+sin2acos2a+2sinacosa1+2tanai—13

故答案為：學(xué).

【分析】根據(jù)已知條件，求出tana=-上再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.

10.【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域與最值

【解析】【解答】解：/(%)=2cos2%—y/3sin2x=1+cos2x—y/3sin2x=1+

2cos(2x+所以2%+5=2/cm即％=/CTI—keZ時(shí)，函數(shù)/(%)=2cos2%—

V^s譏2%的最大值為3.

故答案為：3.

【分析】根據(jù)已知條件，利用二倍角余弦公式化簡“X)=1+2C0S(2久+分再利用余

弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值作答.

11.【答案】(1,3)

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理

【解析】【解答】解：設(shè)AABC的內(nèi)角C為最大角，由題，t>0且cosC=

222

t+(*二*)<o,即產(chǎn)—2t—3<0,解得0<t<3,再由三角形三邊關(guān)系可得

t+t+1>t+2,解得t>l,所以.

故答案為：(1,3).

【分析】根據(jù)余弦定理以及三角形三邊關(guān)系可得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

12.【答案】直角

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；余弦定理；三角形的形狀判斷

【解析】【解答】解：由已知條件的2號(hào)=空，得l+cosB=l+$即。=%。$6,

22cc

6/13

oo由余弦定理得a=c〃+c2一/,整理得a2+/=c2,所以△ABC是直角三角形.

2ac

故答案為：直角.

【分析】根據(jù)已知條件，利用二倍角的余弦公式得a=ccosB,結(jié)合余弦定理化簡可得答

4

13.【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

oo【解析】【解答】解：由已知向量為--(1,2),b-(4,2),c=4a+b=2(1,2)+

(4,2)=(4+4,24+2),

n|p

那.ci,cb,c->—I7

由明□工夾角等于后和工夾角，得忡同=「何，結(jié)合b=2同，所以21”=人)即

fa

2(4+4+4A+4)=4(4+4)+2(22+2),解得2=2.

故答案為：2.

【分析】利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出"=卜+4,22+2),再利用向量夾角公式，計(jì)

oo算求解即可.

14.【答案】品

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

段

【解析】【解答】解：設(shè)數(shù)列5｝和也｝都為等差數(shù)列，皆=籌|，令斯=

塌媒。九Z.lL\_L

k(2n—1),ai=k,則勾=以2九+1)，則阮=3k,所以含=養(yǎng)*=舞患就=

彝n+2,

和

故答案為：

oo^2.

【分析】設(shè)%i=k(2n-1),bn=k(2n+1),求出首項(xiàng)％=k,必=3k,再利用等差數(shù)

列前n項(xiàng)和公式求解作答.

氐

-￡15.【答案】3V3

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；橢圓的簡單性質(zhì)；余弦定理

【解析】【解答】解：由橢圓方程得a=5,5=3,c=yja2—b2=4,所以儼&|+

oo

\PF7\=10，若cos<PF「PF2>=乎1P>=J,所以匕F1PF2=60。結(jié)合余弦定理

\PF1\'\PF2\

721272

COS<PFr,PF2>=小.?產(chǎn)產(chǎn)寸,可推出鬲

■\PF2\=12>則AF/Fz的

2|PFLI

面積；際11?際2|sin60。=；X12X苧=3四

故答案為：3舊.

【分析】由向量的夾角公式可得“PF?=60。，利用余弦定理可得仍%|.雇2|=12,再

由三角形面積公式計(jì)算求解即可.

16.【答案】V3+1

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：令正六邊形4BCDEF的邊長為r,連接CF,DF,所以DC=r,FC=

2r,DF-V3r

2

,由題意2a=CF—DC=(舊一l)r,2c=2r,所以雙曲線的離心率e=公r=再三=

故答案為：V3+1.

【分析】根據(jù)給定圖形，結(jié)合雙曲線定義分別寫出2a=(V3-l)r,2c=2r,結(jié)合離心

率定義計(jì)算求解即可.

17.【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)B位于第一象限，因?yàn)橛?布，貝M為線段FiB的中點(diǎn)，又因

為。為％七的中點(diǎn)，貝！lOAIIFzB,因?yàn)橛?用=0，則FiBl4B,所以。4所

以。B=0F1=0F2,

又乙4。&=乙BOF2=Z-BF2O,所以△DOF?是等邊三角形，

則ZB0F2=*tanzBOF2=:=8，因此，該雙曲線的離心率為c=c=口+/=

8/13

故答案為：2.

【分析】設(shè)點(diǎn)B位于第一象限，由題意得出。4IIF2B,結(jié)合已知條件求出ZB0F2=半進(jìn)

而可求得tanzBOF2=，=舊，所以該雙曲線離心率e=2.

18.【答案】V5-1

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的定義；拋物線的簡單性質(zhì)

n|p

那

【解析】【解答】解：拋物線y=#的焦點(diǎn)F（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-1,

[延長PM交準(zhǔn)線于N,連PF,由拋物線定義知：\PA\+\PM\=\PA\+\PN\-1=

..*

§：\PA\+\PF\-1>\AF\-1

媒，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段AF與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得|4F|=

:V5,所以|P4|+|PM|的最小值為逐—1.

?故答案為：V5—1.

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)F（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-1,再利用拋物線定義得伊小+

\PM\>\AF\-1,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算求解即可.

19.【答案】y=2%-1

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

：【解析】【解答】解：由/0)=2〃2-尢)一汽2+8尢-8,有/(2-K)=2,(%)—

：(2—久產(chǎn)+8(2——8,

:即“2-%)=2/(%)-%2-4%+4,將f(2-久)代入f(久)=2/(2-%)-%2+8%-8,得

O到/(%)=4/(%)-3/,所以/'(%)=",f\x)=2x,所以y=f(x)在(1,f(l))處的切

線斜率為r(1)=2,則曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線萬程y=2x-l.

故答案為：y=2x—1.

【分析】將％換為2-%可得/(2-x)=2/(%)-x2-4%+4,再代入/(%)=2/(2-%)-

%2+8x-8化簡可得/(%)=x2,求導(dǎo)/'(%)=2%,求出斜率，即可得到曲線y=/(%)在

點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程.

20.【答案】30

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【解析】【解答】解：函數(shù)/(%)=x3+ax2+bx+小的導(dǎo)函數(shù)為廣(%)=3%2+2ax+

b,由于函數(shù)/(尤)在x=1處取極值10,所以=1°,解得a=-3,

b=3或a=4,b=-ll

,驗(yàn)證：當(dāng)a=3,b=3時(shí)，/(%)=3/一6%+3=3(%-1尸之0且不恒為零，則函數(shù)

/(%)在定義域R上為增函數(shù)，無極值，不符合題意；當(dāng)a=4,b=-ll時(shí)，=3x2+

8%-11=(%-1)(3%+11),當(dāng)％e(-8,+8)時(shí)，//(%)>0,即函數(shù)

/(久)在區(qū)間(一8,—導(dǎo))，(1,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)久c(—?,1)時(shí)，ro)<。，即

函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，所以函數(shù)/(久)在％=1取極小值，符合題意，所以/(—1)=—1+4+

11+16=30.

故答案為：30.

【分析】先求函數(shù)/(%)=%3+ax2+bx+M的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在％=1處取極值，列

方程組「(I；」。：4；。：("；。，求得a,b的值，再結(jié)合極值點(diǎn)的定義驗(yàn)證，從而得

函數(shù)/(%)的解析式，即可求得f(-1).

10/13

O試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：100分

鄭

客觀題（占比）35.0(35.0%)

分值分布

主觀題（占比）65.0(65.0%)

O客觀題（占比）7(35.0%)

題量分布

?主觀題（占比）13(65.0%)

n|p

那:

2、試卷題量分布分析

空

大題題型題目量（占比）分值（占比）

:

點(diǎn)填空題（本大題共

恭

20小題，ft100.020(100.0%)100.0(100.0%)

分）

O

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

?

序號(hào)難易度占比

段

*

堞1普通(90.0%)

*

2容易(10.0%)

應(yīng)

和:4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

O

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1函數(shù)的周期性10.0(10.0%)3,4

*￡2函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用5.0(5.0%)7

3橢圓的簡單性質(zhì)5.0(5.0%)15

4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5.0(5.0%)13

O

..

..

.

.

Oo

..

5集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題5.0(5.0%)1.

..

.

..

含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域與最.

65.0(5.0%)10..

值.

鄒

鄭

.

..

7子集與真子集5.0(5.0%)1..

..

..

..

..

8雙曲線的簡單性質(zhì)10.0(10.0%)16,17..

..

..

Oo

9同角二角函數(shù)間的基本關(guān)系10.0(10.0%)8,9.

.※.

.※.

.髭

10利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程5.0(5.0%)19.※.

.※

.趣.

.※

.※

11拋物線的定義5.0(5.0%)18氐*K

.※

.※.

.鄭

分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的.

125.0(5.0%)2.※.

作法.※

..

.t※a

.※

13雙曲線的定義5.0(5.0%)16O騏

※o

.※

.出.

.※

14余弦定理15.0(15.0%)11,12,15.

.※.

.靦

.※.

.※

15三角形的形狀判斷5.0(5.0%)12.

堞

塌K※-

.※.

.患.

16函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間5.0(5.0%)2..

.X.

..

..

..

17等差數(shù)列的前n項(xiàng)和5.0(5.0%)14..

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Oo

18利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值5.0(5.0%)20

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19函數(shù)解析式的求解及常用方法5.0(5.0%)19..