數(shù)列通項公式的求法之構(gòu)造輔助數(shù)列教師版

數(shù)列通項公式的求法之構(gòu)造輔助數(shù)列預(yù)習(xí)案：1．?dāng)?shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)，故由得，即，得新數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，，即通項。整理：一階線性遞推的一般形式及其解決方法：思路：利用待定系數(shù)法，將化為的形式，從而構(gòu)造新數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列。〔待定系數(shù)法，構(gòu)造等比數(shù)列〕教學(xué)案：題型一：遞推公式滿足型數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式。設(shè)，解得，求得。小結(jié)：當(dāng)為一次函數(shù)時,思路：利用待定系數(shù)法，構(gòu)造等比數(shù)列設(shè)例2.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)，比擬系數(shù)得，，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，那么小結(jié)：當(dāng)為二次函數(shù)時，思路：構(gòu)造等比數(shù)列利用待定系數(shù)法設(shè)例3.數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，那么，故數(shù)列是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列，得，所以數(shù)列的通項公式為。例4..數(shù)列滿足，〔〕，求數(shù)列的通項公式。解法1：設(shè)為等比數(shù)列從而。解法2：由知，令，那么∴，從而。例5.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè).，比擬系數(shù)得，，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此小結(jié)：當(dāng)為類指數(shù)函數(shù)，思路：觀察的形式，如果的底數(shù)與的系數(shù)相同時，那么把兩邊同時除以，從而構(gòu)造出一個等差數(shù)列；如果的底數(shù)與的系數(shù)不相同時，可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造一個等比數(shù)列例6.數(shù)列滿足，求的通項公式。解：，兩邊取倒數(shù)有，即數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列；例7.在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。解：由可知，對，；兩邊取倒數(shù)得，即，又。數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，。小結(jié)：①遞推公式滿足型，取倒數(shù)，構(gòu)造數(shù)列，使其為等差數(shù)列。②遞推公式滿足型或型，構(gòu)造數(shù)列，使其為等比數(shù)列。穩(wěn)固案：1、數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。，即。2、數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式。解：在兩邊乘以得：令，那么，解之得：，所以。3、，當(dāng)時，，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)，∴解得：∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列；∴∴。4、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè).，比擬系數(shù)得，，那么數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，那么，故。5、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)，比擬系數(shù)得，，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，那么。6、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。注：假設(shè)中不含常數(shù)1時，那么直接構(gòu)造等差數(shù)列即可，但含常數(shù)1時那么需累加。解：兩邊除以，得，那么，故因此，那么7、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè).，比擬系數(shù)得，，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此。8.數(shù)列中，其中，且當(dāng)時，，求數(shù)列的通項公式。解：將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即。9.