第2章 對(duì)稱(chēng)圖形-圓 蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元復(fù)習(xí)測(cè)試(含答案)

【單元復(fù)習(xí)】第2章對(duì)稱(chēng)圖形——圓知識(shí)精講第2章對(duì)稱(chēng)圖形—圓一、圓的定義及其相關(guān)概念（1）定義：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸，因此圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。1）半徑：圓上一點(diǎn)與圓心的連線段。2）直徑：連接圓上兩點(diǎn)有經(jīng)過(guò)圓心的線段。3）弦：連接圓上兩點(diǎn)線段(直徑也是弦)。4）?。簣A上兩點(diǎn)之間的曲線部分。半圓周也是弧。劣?。盒∮诎雸A周的弧。優(yōu)弧：大于半圓周的弧。在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。（2）圓的幾何表示以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”（3）弦、弧等與圓有關(guān)的定義（1）弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的AB）（4）直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（5）半圓圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（6）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧?；∮梅?hào)“⌒”表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作“”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）二、圓的對(duì)稱(chēng)性(1)圓是滿足x軸對(duì)稱(chēng)的，這樣只需要計(jì)算原來(lái)的1/2點(diǎn)的位置;(2)圓是滿足y軸對(duì)稱(chēng)的，這樣只需要計(jì)算原來(lái)的1/2點(diǎn)的位置;(3)圓是滿足y=xory=-x軸對(duì)稱(chēng)的，這樣只需要計(jì)算原來(lái)的1/2點(diǎn)的位置;圓的軸對(duì)稱(chēng)性：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。圓的中心對(duì)稱(chēng)性：圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形。三、確定圓的條件1.定理：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.定理中“不在同一直線”這個(gè)條件不可忽略，“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”.2.通過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心為三角形的外心，這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形.只要三角形確定，那么它的外心和外接圓半徑也隨之確定了.四、圓周角圓周角定理:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。證明(分類(lèi)思想，3種，半徑相等)①圓周角度數(shù)定理:圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。②同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相等圓周角所對(duì)的弧也相等。(不在同圓或等圓中其實(shí)也相等的。注:僅限這一條。）五、直線與圓的位置關(guān)系①直線和圓無(wú)公共點(diǎn)，稱(chēng)相離。AB與圓O相離，d>r。②直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d③直線和圓有且只有一公共點(diǎn)，稱(chēng)相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。AB與⊙O相切，d=r。(d為圓心到直線的距離)直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交d<r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d>r；六、正多邊形與圓1)把一個(gè)圓的圓周分成n等份，順次連接各分點(diǎn)所得圖形，即為圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正n邊形的外接圓。2)正多邊形的相關(guān)概念：正多邊形的中心——是正多邊外接圓的圓心。正多邊形的半徑——是正多邊形內(nèi)切圓半徑。(rn)正多邊形的中心角——是正多邊形的邊所對(duì)的外接圓的圓心角。(αn)七、弧長(zhǎng)及扇形的面積弧長(zhǎng)公式:n是圓心角度數(shù)，r是半徑，α是圓心角弧度。l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r在半徑是R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就等于圓周長(zhǎng)C=2πR，所以n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l=n°πR÷180°。八、圓錐的側(cè)面積S=πRL圓錐側(cè)面積=n/360×π×R2=1/2LR(n指扇形頂角度數(shù),R是圓錐底面半徑,L指母線)圓錐的側(cè)面積推導(dǎo),需要把圓錐展開(kāi).圓錐的側(cè)面積和全面積1.圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與側(cè)面積計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)、弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)、圓心是圓錐的頂點(diǎn).如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(zhǎng)(扇形半徑)是l,底面圓周長(zhǎng)(扇形弧長(zhǎng))為c,那么它的側(cè)面積是:與圓有關(guān)的輔助線1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過(guò)弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個(gè)圓有切線的條件,常作過(guò)切點(diǎn)的半徑(或直徑)為輔助線.圓內(nèi)接四邊形：若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征:①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ);②圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角.考點(diǎn)例析【考點(diǎn)1】圓【例1】（2022·江蘇·九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，則此點(diǎn)可能是（

）A．P點(diǎn) B．Q點(diǎn) C．M點(diǎn) D．N點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心O的距離大于半徑，可判定出點(diǎn)在圓外，即可得到答案．【詳解】∵平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，5＞3．∴該點(diǎn)在圓外，∴點(diǎn)N符合要求．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心距離與半徑的大小關(guān)系可作出判斷．【考點(diǎn)2】圓的對(duì)稱(chēng)性【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，則高度CD的長(zhǎng)為（）A．2m B．4m C．6m D．8m【答案】B【分析】由垂徑定理可知，CD垂直平分AB，再用勾股定理算出答案即可．【詳解】∵CD垂直平分AB，∴AD＝＝8m∴OD＝＝6m∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，找出CD垂直平分AB是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】確定圓的條件【例3】（2022·山東聊城·二模）用尺規(guī)作圖作三角形的外接圓時(shí)，用到了哪些基本作圖（

）A．作一條線段等于已知線段 B．作一個(gè)角等于已知角C．作一個(gè)角的平分線 D．作一條線段的垂直平分線【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外心的定義可知，三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即作三邊的垂直平分線性即可，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵由三角形的外心的定義可知，三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴三角形的外心在三邊的垂直平分線上，所以用到了基本作圖：作一條線段的垂直平分線．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外心的定義，理解三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4】圓周角【例2】（2022·黑龍江綏化·九年級(jí)期末）如圖所示，在中，，，則的度數(shù)是（

）A．55° B．110° C．125° D．150°【答案】B【分析】連接OC，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，根據(jù)∠BOD=∠BOC+∠DOC即可求解．【詳解】如圖，連接OC，已知，，由圓周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=50°+60°=110°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5】直線與圓的位置關(guān)系【例5】（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）如圖，若⊙O的直徑為6，點(diǎn)O到某條直線的距離為6，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵若⊙O的直徑為6，∴圓O的半徑為3，∵點(diǎn)O到某條直線的距離為6，∴這條直線與圓相離，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?。寒?dāng)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r，②直線l和⊙O相切?d＝r，③直線l和⊙O相離?d＞r．【考點(diǎn)6】正多邊形與圓【例6】（2022·河北保定·九年級(jí)期末）如圖，有一個(gè)直徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個(gè)最大正六邊形紙片，則這個(gè)正六邊形紙片的邊心距是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】連接OA、OB，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC=30°，由OA=2cm，得到AC=1cm，根據(jù)勾股定理求出OC即可．【詳解】如圖，連接OA、OB，則△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，∵△AOB是等邊三角形，∴∠OAB=60°，∴∠AOC=30°，∵OA=2cm，∴AC=1cm，OC=，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7】弧長(zhǎng)及扇形面積【例7】（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖．將扇形翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開(kāi)后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CO，且直線l與AO交于點(diǎn)D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面積，再算出的面積，即可求出陰影部分面積．【詳解】連接CO，且直線l與AO交于點(diǎn)D，如圖所示，∵扇形中，，∴，∵點(diǎn)A與圓心O重合，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∵，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，添加輔助線是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8】圓錐的側(cè)面積【例8】（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來(lái)標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）．電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅0.1千克，電鍍1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要多少千克鋅？（π的值取3.14）（

）A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000【答案】A【分析】求出圓錐的表面積，圓柱的表面積，進(jìn)一步求出組合體的表面積為：，即可求出答案．【詳解】解：如圖：由勾股定理可知：圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)底圓半徑為r，則由圖可知，圓錐的表面積：，圓柱的表面積：，∴組合體的表面積為：，∵每平方米用鋅0.1千克，∴電鍍1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要鋅．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查組合體的表面積，解題的關(guān)鍵是求出圓錐的表面積和圓柱的表面積，掌握勾股定理，表面積公式．舉一反三一、選擇題（共4小題）1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長(zhǎng)為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式求出答案．【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長(zhǎng)為：π．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長(zhǎng)公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在⊙O中，AB是弦，半徑于點(diǎn)D，若OC＝10，AB＝16，則CD的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】連接OA，如圖，利用垂徑定理得到AD=BD=AB=8，再利用勾股定理計(jì)算出OD，然后計(jì)算OC-OD即可．【詳解】解：連接OA，如圖，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=在Rt△OAD中，OD=∴CD=OC-OD=10-6=4．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出1個(gè)正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．【詳解】解：如圖所示，∵正六邊形的中心角為60°，∴每個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形由六個(gè)全等的等邊三角形組成，∴，，，因此每個(gè)正六邊形的面積為：，圖中未涂色部分面積等于16個(gè)正六邊形的面積：．整個(gè)圖形是一個(gè)矩形，長(zhǎng)為12，寬為，矩形的面積為：，因此圖中陰影部分的面積是：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形相關(guān)計(jì)算，利用等邊三角形計(jì)算出每個(gè)正六邊形的面積是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過(guò)球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（

）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【答案】C【分析】連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，根據(jù)，，得四邊形ABDC是矩形，根據(jù)CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑得，，即，，根據(jù)邊之間的關(guān)系得，，在，由勾股定理得，，進(jìn)行計(jì)算可得，即可得這種鐵球的直徑．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，∵，，，∴四邊形ABDC是矩形，∵CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑，∴，，∴，，∵AB=CD=16cm，∴，∵，在，由勾股定理得，解得，，則這種鐵球的直徑＝，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．二、填空題（共4小題）5．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，線段，以O(shè)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作，B是平面上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)B作直線l垂直于，交于C，D兩點(diǎn)．若取最大值時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】8【分析】根據(jù)條件分析點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為以A為圓心，以AB長(zhǎng)度為半徑的圓，作出B的運(yùn)動(dòng)軌跡，過(guò)點(diǎn)B作直線l⊥AB，交于C，D兩點(diǎn)，此時(shí)CD為圓的弦，要使取最大值，即CD為直徑時(shí)，此時(shí)在根據(jù)勾股定理計(jì)算OB即可．【詳解】解：如圖所示，是點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡，過(guò)點(diǎn)B作直線l⊥AB，交于C，D兩點(diǎn)，此時(shí)CD為圓的弦，要使取最大值，即CD為直徑時(shí)，∵CD⊥AB，∴△AOB是直角三角形，∴，故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦最大情況，根據(jù)題意，將圖形畫(huà)出，進(jìn)而將線段長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為圓的弦最值問(wèn)題，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可．6．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，點(diǎn)P表示筒車(chē)的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車(chē)工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，則筒車(chē)工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為_(kāi)_____m．【答案】4【分析】過(guò)O點(diǎn)作半徑OD⊥AB于E，如圖，由垂徑定理得到AE=BE=8，再利用勾股定理計(jì)算出OE，然后即可計(jì)算出DE的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)O點(diǎn)作半徑OD⊥AB于E，如圖，∴AE=BE=AB=×16=8，在Rt△AEO中，OE=，∴ED=OD-OE=10-6=4（m），故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，能熟練應(yīng)用垂徑定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過(guò)圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，則可判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，連接OP，則點(diǎn)E是弧AEP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)O為弧AOP的中點(diǎn)，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S陰影=S扇形BOP==π．故答案為：π．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．8．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）在活動(dòng)課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車(chē)．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長(zhǎng)度即可．【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．二、簡(jiǎn)答題（共4小題）9．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB是⊙O的直徑，CB是弦，OD⊥CB于E，交于D，連接AC．(1)請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)不同類(lèi)型的正確結(jié)論；(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半徑．【答案】(1)結(jié)論見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)垂徑定理即可證明出BE=CE，，∠BED=90°；（2）設(shè)圓的半徑等于R，利用垂經(jīng)定理和勾股定理列方程可求出圓的半徑．【詳解】（1）不同類(lèi)型的正確結(jié)論有：①BE=CE；②；③∠BED=90°．證明如下：∵CB是弦，OD⊥CB于E，∴BE=CE，，∠BED=90°．（2）∵OD⊥CB∴BE=CE==4設(shè)半徑等于R，則OE=OD－DE=R－2在Rt△OEB中，由勾股定理得，即解得R=5∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，求圓的弦，半徑，弦心距的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理．10．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．(1)求證：BC⊥DE；(2)若AB＝4，∠A＝30°，填空：①線段AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____；②線段BF的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①2，②1【分析】（1）證明OD是△ABD的中位線，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可證明BC⊥DE；（2）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：連接BD、OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，AO=OB，∵AB=BC，∴AD=DC，∴OD是△ABD的中位線，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴BC⊥DE；（2）解：①∵AB=4，∠A=30°，∠ADB=90°，∴DB=AB=2，AD==2，②∵∠A=30°，∴∠BOD=60°，∴△OBD是等邊三角形，∴∠ODB=60°，∵OD⊥DE，∴∠BDF=30°，∵BC⊥DE，∴∠DFB=90°，∴BF=BD=1，故答案為：①2，②1．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形中位線定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的外接圓，切于點(diǎn)，與直徑的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．（Ⅰ）如圖①，若，求的大?。唬á颍┤鐖D②，當(dāng)，時(shí)，求的大小和的半徑．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），半徑為2【分析】（Ⅰ）連接，根據(jù)圓周角定理求得，然后利用三角形外角和切線的性質(zhì)求解；（Ⅱ）連接，設(shè)，根據(jù)圓周角定理及切線的性質(zhì)列方程求解，然后再利用含30°的直角三角形性質(zhì)求解圓的半徑．【詳解】解：（Ⅰ）連接．∵切于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．（Ⅱ）連接，設(shè)．∵，∴，∵，∴，∴．∵是的切線，∴，即，在中，，即，解得，∴．在中，，∵，∴，∵，∴，即的半徑為2．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及切線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH．（1）求證：MH為⊙O的切線．（2）若MH=，=，求⊙O的半徑．（3）在（2）的條件下分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與⊙O相切于N點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2；（3）．【分析】（1）連接OH、OM，易證OH是△ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，從而可知MH是⊙O的切線；（2）由切線長(zhǎng)定理可知：MH=HC，再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)可知AC=3，由=，所以BC=4，從而可知⊙O的半徑為2；（3）連接CN，AO，CN與AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切線可知AO⊥CN，利用等面積可求出可求得CI的長(zhǎng)度，設(shè)CE為x，然后利用勾股定理可求得CE的長(zhǎng)度，利用垂徑定理即可求得NQ．【詳解】解：（1）連接OH、OM，∵H是AC的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)∴OH是△ABC的中位線，∴OH∥AB，∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB又∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO，∴∠COH=∠MOH，在△COH與△MOH中，∵OC=OM，∠COH=∠MOH，OH=OH∴△COH≌△MOH（SAS），∴∠HCO=∠HMO=90°，∴MH是⊙O的切線；（2）∵M(jìn)H、AC是⊙O的切線，∴HC=MH=，∴AC=2HC=3，∵=，∴BC=4，∴⊙O的半徑為2；（3）連接OA、CN、ON，OA與CN相交于點(diǎn)I，∵AC與AN都是⊙O的切線，∴AC=AN，AO平分∠CAD，∴AO⊥CN，∵AC=3，OC=2，∴由勾股定理可求得：AO=，∵AC?OC=AO?CI，∴CI=，∴由垂徑定理可求得：CN=，設(shè)OE=x，由勾股定理可得：，∴，∴x=，∴CE=，由勾股定理可求得：EN=，∴由垂徑定理可知：NQ=2EN=．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．實(shí)戰(zhàn)演練一、選擇題（共4小題）1．（2022·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期中）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點(diǎn)D，再將沿BD翻折交BC于點(diǎn)E，連接DE．若AD＝2OD，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接AC，CD，OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．首先證明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接AC，CD，OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．∵在同圓或等圓中，∠ABC所對(duì)的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝，在Rt△ACH中，AC＝，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，翻折變換，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．2．（2022·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期中）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來(lái)，深度CD為1寸，鋸長(zhǎng)AB為1尺（10寸），問(wèn)圓材直徑幾寸？則該問(wèn)題中圓的直徑為（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸【答案】C【分析】設(shè)圓材的圓心為O，延長(zhǎng)CD，交于點(diǎn)E，連接OA，由題意知CE過(guò)點(diǎn)O，且，，設(shè)圓形木材半徑為r，可知，，根據(jù)列方程求解可得．【詳解】解：設(shè)圓材的圓心為O，延長(zhǎng)CD，交于點(diǎn)E，連接OA，如圖所示：由題意知：CE過(guò)點(diǎn)O，且，則．設(shè)圓形木材半徑為r，則，．∵，∴，解得，即的半徑為13寸，∴的直徑為26寸．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧·撫順市順城區(qū)長(zhǎng)春學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，一個(gè)圓弧形橋拱，其跨度為10米，拱高為1米．求橋拱的半徑．（

）A．6 B．10 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理得到，再設(shè)半徑為R，利用勾股定理列出關(guān)于R的一元二次方程，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)半徑為R，根據(jù)勾股定理得,∵,∴，解得故選D【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、一元二次方程，根據(jù)題意列方程，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題是解題關(guān)鍵．4．（2022·遼寧本溪·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（

）（提示：圓心角為n°的扇形的面積為，R為扇形所在的圓的半徑）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理得到AB=，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出S扇形ABD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S陰影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=，∴S扇形ABD=．又∵Rt△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S陰影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形的面積公式，勾股定理的應(yīng)用，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形ABD的面積是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共4小題）5．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為_(kāi)_________．【答案】

##【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得的長(zhǎng)；根據(jù)圖形可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的長(zhǎng)為:2π；∵AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，∴AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′，∴AB掃過(guò)的圖形的面積=．故答案為：2π；．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，弧長(zhǎng)公式以及扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為_(kāi)_________．【答案】【分析】連接AC，根據(jù)∠ABC=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【詳解】解：連接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圓周角，∴AC是圓形鏡面的直徑，由勾股定理得：，所以圓形鏡面的半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得出AC是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，∠AOB=40°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】20°##20度【分析】根據(jù)圓周角定理即可直接求解．【詳解】解：∵∠AOB＝40°，∠C∠AOB，∴∠C40°＝20°．故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．8．（2022·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，在半徑為10cm和6cm的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)______cm．【答案】16【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AC=AB，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵AB是小圓O的切線，∴OC⊥AB，∵AB是大圓O的弦，∴AC=AB，在Rt△AOC中，AC===8（cm），則AB=2AC=16（cm），故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．三、簡(jiǎn)答題（共4小題）9．（2022·浙江麗水·九年級(jí)期中）如圖，在⊙O中，直徑AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于點(diǎn)D，若∠C＝45°，求：(1)BD的長(zhǎng)為多少？(2)求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)1【分析】（1）連接AD，可得AD⊥BC．再根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，可得BD＝CD，，即可求解；（2）根據(jù)AD=BD，可得弧BD=弧AD，從而得到弓形BD的面積＝弓形AD的面積，進(jìn)而得到陰影部分的面積＝Rt△ADC的面積，即可求解．【詳解】（1）解∶如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC．又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BD＝CD，，∴AD＝BD＝CD＝；（2）解：∵AD=BD，∴BD?=AD?，∴弓形BD的面積＝弓形AD的面積，∴陰影部分的面積＝Rt△ADC的面積＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，求扇形面積，勾股定理，根據(jù)題意，作適當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B是y軸x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB的垂直平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，MA長(zhǎng)為半徑的圓與x軸正半軸、y軸的負(fù)半軸分別交于D、C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線與CD交于點(diǎn)F．(1)若∠BOE＝28°，求∠CDB的度數(shù)；(2)求證：F是CD的中點(diǎn)；(3)若A（0，4），B（3，0），連接MF，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，MF的值是否發(fā)生變化，若不變，求出MF的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)28°(2)見(jiàn)解析(3)不變，【分析】（1）由同角的余角相等得，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，結(jié)合求解；（2）由（1）得到，又根據(jù)對(duì)頂角相等得到，進(jìn)而得到，同理可得，進(jìn)而得到即可求解；（3）連接CM并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)P，連接PD、MF，由等角的余角相等易得，進(jìn)而得到，再利用三角形中位線的定理求得，然后由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)得到AB的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴．∵∴，∴；（2）證明：由（1）得到．

又∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵∴，∴．又∵，∴，∴，∴，∴F是CD的中點(diǎn)；（3）解：，MF的值不發(fā)生變化．連接CM并延長(zhǎng)交圓于