中考數(shù)學幾何模型專項復習 模型32 平行四邊形-對角互補模型-（原卷版+解析）

模型(三十二)——對角互補模型模型解密◎結論1:如圖，∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC,【證明】【關鍵：把互補轉化成相等，看到互補的條件，找其中一角的鄰補角，轉化成相等】旋轉相等邊的央角旋轉相等邊的央角AD.CD夾角90°,旋轉90°,∴△BED是等腰直角三角形(3)由(1)得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=459,∴BD是角平分線.◎結論2:如圖，∠ABC=60°,∠ADC=120°,AD=DC,【證明】滿足對角互補，鄰邊相等重重∴BD是角平分線∵△OCF為等邊三角形易證△CDO≌△CEF◎結論3:如圖，∠ABC=α,∠ADC=180e-α,AD=DC,AD,CD夾角180—a,旋轉180—a延長BC至點E,使CE=AB,連接DE(把圖形抽離出來)所以△DAB的面積=△DCE的面積(把圖形抽離出來)由①過程可知E∴BD為角平分線。再以點C為旋轉中心把。CBD旋轉到VCAE,則給出下列結論：①D,A,E三點共線；②DC平分∠BDA;③∠E=∠BAC;④DC=DB+DA.其中正確的有().AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,SmcA=10,則BE的長為四邊形ABCD的面積為4√3,則AC=3.(2023·陜西·交大附中分校八年級開學考試)問題探究((1)如圖①,已知∠A=45°,∠ABC=30°,∠ADC=40°,則∠BCD的大小為(2)如圖②,在四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°,對角線BD=6.求四邊形ABCD的面積；小明這樣來計算.延長DC,使得CE=AD,連接BE,通過證明△ABD≌△CBE,從而可以計算四邊形ABCD的面積.請你將小明的方法完善.并計算四邊形ABCD的面積；問題解決(3)如圖③,四邊形ABCD是正在建設的城市花園，其中AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,DC=40米，AD=30米.請計算出對角線BD的長度. 真題熱身 旋轉，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點.下列結論其中正確結論的個數(shù)是【】(1)如圖①,四邊形ABCD為對直角四邊形，∠B=90°,若AB2-AD2=4,求CD2-BC2的值；(2)如圖②,四邊形ABCD中，∠ABC=90°,AB=BC,若BD平分∠ADC,求證：四邊形ABCD為對直(3)在(2)的條件下，如圖③,連結AC,;求tan∠ACD的值.平行四邊形模型(三十二)——對角互補模型模型解密◎結論1:如圖，∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC,AD.CD夾角90°,旋轉90°,延長BC至E,使CE=AB,連接DE,(3)由(1)得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=459,∴BD是角平分線◎結論2:如圖，∠ABC=609,∠ADC=120°,AD=DC,【證明】滿足對角互補，鄰邊相等AD.CD夾角120°,旋轉120°則，①CD=CE②0D+0E=0C∵△OCF為等邊三角形◎結論3:如圖，∠ABC=α,∠ADC=1809-α,AD=DC,,,②,AD,CD夾角180—a,旋轉180-a延長BC至點E,使CE=AB,連接DE(把圖形抽離出來)②【證明】由上可知△DAB≌△DCE,(把圖形抽離出來)∴BD為角平分線。E三點共線；②DC平分∠BDA;③∠E=∠BAC;④DC=DB+DA.其中正確的有().AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,SCD=10,則BE的長為BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.將△OBC繞O點旋轉90,∴點B落在A處，點C落在D處有一種化一般為特殊的方法，因為答案一定可考慮CB⊥y軸的情況，此時四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時，也可以起到事半功倍的效果.分析將△ACD繞點A順時針旋轉60°,得到△ABE.證明△AEC是等邊三角形，四邊形ABCD面積等于△AEC面積，根據(jù)等邊△AEC面積特征可求解AC長.【詳解】解：將△ACD繞點A順時針旋轉60°,得到△ABE.∵四邊形內角和360°,∴E、B、C三點共線.∴△AEC是等邊三角形.;解得AC=4.故答案為4.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質、旋轉的性質，解題的關鍵是根據(jù)AB=AD及∠BAD=60°,對△ACD進行旋轉，把四邊形轉化為等邊三角形求解.3.(2023·陜西·交大附中分校八年級開學考試)問題探究((1)如圖①,已知∠A=45°,∠ABC=30°,∠ADC=40°,則∠BCD的大小為(2)如圖②,在四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°,對角線BD=6.求四邊形ABCD的面積；小明這樣來計算.延長DC,使得CE=AD,連接BE,通過證明△ABD≌△CBE,從而可以計算四邊形ABCD的面積.請你將小明的方法完善.并計算四邊形ABCD的面積；問題解決(3)如圖③,四邊形ABCD是正在建設的城市花園，其中AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,DC=40米，AD=30米.請計算出對角線BD的長度.答案：(1)115°;(2)S圖2圖3圖2ABCD=18;(3)對角線BD的長度為50米.分析(1)利用外角的性質可求解；(2)延長DC,使得CE=AD,連接BE,通過證明△ABD≌△CBE,從而可以計算四邊形(2)將△BCD繞點B逆時針旋轉60°,得到△BAF,連接FD,由旋轉的性質可得BF=BD,AF=CD=40,∠BDC=∠BFA,由三角形內角和定理可求∠FAD=90°,由勾股定理可求解.【詳解】解：(1)如圖1,延長BC交AD于E,(2)延長DC,使得CE=AD,連接BE,在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°,∴S?BDE=SACBE+SADBC=SAABD+SADBC=S形ABCD=18;(4)如圖，將△BCD繞點B逆時針旋轉60°,得到△BAF,連接FD,答：對角線BD的長度為50米. 真題熱身 設AB=AC=a,AE=b,則AF=BE=a如圖，過點E作EI⊥AD于點I,過點F作FG⊥AD于點G,過點F作FH⊥BC于點H,ADEF相交于點O.∴EO≥EI(EF⊥AD時取等于)=FH=GD,OF≥GH(EF⊥AD時取等于)=AG.又當EF是Rt△ABC中位線時，根據(jù)三角形中位線定理知AD與EF互綜上所述，結論①②⑤正確.故選C.(1)如圖①,四邊形ABCD為對直角四邊形，∠B=90°,若AB2-AD2=4,求CD2-BC2的值；(2)如圖②,四邊形ABCD中，∠ABC=90°,AB=BC,若BD平分∠ADC,求證：四邊(3)在(2)的條件下，如圖③,連結AC,①②③分析(1)利用勾股定理即可解決問題；(2)如圖②中，作BE⊥CD于E,BF⊥DA交DA的延長線于F.只要證明∠EBF=90°即可解決問題；(3)如圖③中，設AD=x,BD=y.構建方程即可解決問題.∵四邊形ABCD為對直角四邊形，∠B=90°,(2)證明：如圖②中，作BE⊥CD于E,B